集合的概念与运算例题及答案

1 集合的概念与运算（一）

目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题

2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，

3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．

重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;

2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．

基本知识点：

知识点1、集合的概念

（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）

（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素

知识点2、常用数集及记法

（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N

（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N

（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z

（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}

整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}

数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0

（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *

知识点3、元素与集合关系（隶属）

（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A

（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?

注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写

知识点4、集合中元素的特性

（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里， 或者不在，不能模棱两可

（2）互异性：集合中的元素没有重复

（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）

知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……

例题精析1：

1、下列各组对象能确定一个集合吗？

（1）所有很大的实数 （不确定）

（2）好心的人 （不确定）

（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）

2、设a,b 是非零实数，那么

b b a a +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__ 3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）

（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素

4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：

(1) 当x ∈N 时, x ∈G;

(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x

1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,

则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G

证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，

∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）

∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2

∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z

∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z

∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，

又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且2

2222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G

知识点6、集合的表示方法：

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合

例如，由方程012

=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}

注：（1）有些集合亦可如下表示：

从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)

所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素

（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括 号内表示集合的方法

格式：{x ∈A| P （x ）}

含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合 例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x

所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x

注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分

如：{直角三角形}；{大于104的实数}

（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}

（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法

思考：何时用列举法？何时用描述法？

⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+

⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法

如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}

例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？ 答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12

+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集

例题精析2：

1、用描述法表示下列集合

①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且

②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且

2、用列举法表示下列集合

①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}

②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}

{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}

注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}

③???=-=+}4

22|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}

⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}

⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x

{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}

3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集

4、用描述法表示下列集合：

(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;

(2) { 0,±

21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：

1、数集{}

21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}

23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。 3、已知集合{}22,2A a a a =++，若3A ∈，求a 的值。 变式：已知集合{}

2|320,A x R a x a R x =∈-+=∈。 ⑴若A 是空集，求a 的取值范围；

⑵若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；

R Q Z

N ⑶若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围

4、设集合{}2|1,A a a n N n ==

+∈，集合{}2|45,B b b k k N k ==-+∈，若a A ∈，试判断a 与集合B 的关系。

5、设,a b Z ∈，集合()(){}2

,|36P x y b y x a =+≤-，点()2,1P ∈，点()1,0P ?， 点()3,2P ?，求,a b 的值。

知识点7、集合的分类：

（1）有限集：含有有限个元素的集合

（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2

=+∈x R x 知识点8、集合与集合之间的关系：

（一）、子集

（1）子集定义：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．

一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A

记作:A B B A ??或 ，A ?B 或B ?A 读作：A 包含于B 或B 包含A

B A B x A x ?∈?∈，则若任意

当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ?/B 或B ?/A

注：B A ?有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合

（2）集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．

一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．

一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B （3）真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A

（4）子集与真子集符号的方向 不同与同义；与如B A B A A B B A ????

（5）空集是任何集合的子集Φ?A

规定：空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ

A 任何一个集合是它本身的子集A A ? （6）易混符号：

①“∈”与“?”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ??-∈Φ?R ，{1}?{1，2，3}

②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合

如 Φ?{0}不能写成Φ={0}，Φ∈{0}

例题精析3：

1（1） 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示

（2） 判断下列写法是否正确①Φ?A ②Φ A ③A A ? ④A A 解（1）：N ?Z ?Q ?R

（2）①正确；②错误，因为A 可能是空集；③正确；④错误

2 （1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ，Φ___{0}

（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ?B 正确吗？

（3）是否对任意一个集合A ，都有A ?A ，为什么？

（4）集合{a,b}的子集有那些？

（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 .

解：（1）N ?Z, N ?Q, R ?Z, R ?Q ， Φ{0}

（2）∵A={x ∈R|x 2-3x-4=0}＝{-1,4},

B={x ∈Z||x|<10}={-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

∴A ?B 正确

（3）对任意一个集合A ，都有A ?A ，

（4）集合{a,b}的子集有：Φ、{a}、{b}、{a,b}

（5）A 、B 的关系为B A ?.

3 解不等式x+3<2，并把结果用集合表示出来.

解：{x ∈R|x+3<2}={x ∈R|x<-1}.

巩固提升：

1、设{}1,2A =，{}|B x x A =?，问A 与B 是什么关系？并用列举法写出集合B

2、已知集合2{1}P y x ==+，2{|1}Q y y x ==+，2{|1}E x y x ==+，

2{(,)|1}F x y y x ==+，{|1}G x x =≥，则 （ D ）

()A P F = ()B Q E = ()C E F = ()D Q G =

解法要点：弄清集合中的元素是什么，能化简的集合要化简．

3、设集合1{|,}24k M x x k Z ==+∈， 1{|,}42

k N x x k Z ==+∈，则（ B ） ()A M N = ()B M N ?≠ ()C M N ?

4、若集合{}2|10,A x x ax x R =++=∈，集合{}1,2B =，且A B ?，求实数a 的取值范围．([2,2)-)

5、已知2{|2530}M x x x =--=，{|1}N x mx ==，若N M ?，则适合条件的实数m 的集合P 为

1{0,2,}3-；P 的子集有 8 个；P 的非空真子集有 6 个． 6、已知：2()f x x ax b =++，{}{}|()22A x f x x ===，则实数a 、b 的值分别为2,4-．

（二）全集与补集

1 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ?），由S 中所有不属于A

的元素组成的集合，叫做S 中子集A 的补集（或余集），记作A C S ，

即C S A=},|{A x S x x ?∈且

2、性质：C S （C S A ）=A ，C S S=φ，C S φ=S S A

3、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示

例题精析3：

1、（1）若S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，求C S A

（2）若A={0}，求证：C N A=N *

（3）求证：C R Q 是无理数集

解（1）∵S={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，

∴由补集的定义得C S A={2，4，6}

证明（2）∵A={0}，N={0,1,2,3,4,…}，N *={1,2,3,4,…}

∴由补集的定义得C N A=N *

证明（3）∵ Q 是有理数集合，R 是实数集合

∴由补集的定义得C R Q 是无理数集合

2、已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A

解：∵A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝＝｛x|0≤X ＜4｝，U ＝R

0 4 x

∴C U A ＝｛x ｜x ＜0，或x ≥4｝

3、 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，

B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与

C S B 的关系

解：∵S ＝｛x|－3≤x ＜6｝，A ＝｛x|0≤x ＜3｝， B ＝｛x|3≤x ＜6｝

∴C S B ＝｛x|－3≤x ＜3｝

∴A ?C S B

知识点9、子集的个数：

由例与练习题，可知

(1)集合{a,b}的所有子集的个数是4个，即

?,{a},{b},{a,b}

(2) 集合{a,b,c}的所有子集的个数是8个，即

?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}

猜想：(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少？(1624

=)

(2)集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是多少？(n 2) 结论提炼：含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n

2，所有真 子集的个数是n 2-1，非空真子集数为22-n

例题精析4：

1、满足条件{}{}1,21,2,3,4,5M ??的集合M 的个数是( )

A 3

B 6

C 7

D 8

2、已知集合{},,A a b c =，且B A ?，则满足条件的集合B 的个数是（ ）

A 5

B 6

C 7

D 8

高考链接：定义集合运算：{}|(),,A B z z xy x y x A y B ?==+∈∈。设集合{}0,1A =， {}2,3B =，则集合A B ?的所有元素之和为（ ）

A 0

B 6

C 12

D 18

思想方法提炼：

1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么,抓住集合中元素的3 个性质（对互异性要注意检验），(类型与特性)；

2．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化；

3．求集合问题，要充分发挥数轴或文氏图的作用；

4．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出问题；

5．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键．