直线与平面平行的判断与性质

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直线、平面平行的判定与性质

2014高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系．

复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”．

要点梳理：

1

定义定理

a?α，bα，

a∥b

2.

定义定理

[难点正本疑点清源]

1．证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行．但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．

2．在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用．

3．辅助线(面)是解(证)线面平行的关键．为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)．

基础自测

1．已知不重合的直线a，b和平面α，

①若a∥α，b?α，则a∥b；

②若a∥α，b∥α，则a∥b；

③若a∥b，b?α，则a∥α；

④若a∥b，a∥α，则b∥α或b?α.

上面命题中正确的是________(填序号)．

2．已知α、β是不同的两个平面，直线a?α，直线b?β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的____________条件．

3．已知平面α∥平面β，直线a?α，有下列命题：

①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任意一条直线

都不垂直．

其中真命题的序号是________．

4．(2011·浙江)若直线l不平行于平面α，且lα，则() A．α内的所有直线与l异面

B．α内不存在与l平行的直线

C．α内存在唯一的直线与l平行

D．α内的直线与l都相交

5．(2012·四川)下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

题型分类

题型一直线与平面平行的判定与性质

例1正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.

思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平探究提高判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(aα，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性质(α∥β，a β，a∥α?a∥β)．

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝2，P A＝1，P A⊥平面ABCD，E是PC的中点，F是AB的中点．求证：BE∥平面PDF.

题型二平面与平面平行的判定与性质

B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，

例2如图，在三棱柱ABC—A

A1B1，A1C1的中点，求证：

(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EF A 1∥平面BCHG .

思维启迪：要证四点共面，只需证GH ∥BC ；要证面面平行，可证一 个平面内的两条相交直线和另一个平面平行．

探究提高 证明面面平行的方法： (1)面面平行的定义；

(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；

(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；

(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化．

证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的

交线．

解 已知：直线a ∥平面α，直线a ∥平面β，α∩β＝b . 求证：a ∥b . 证明：

题型三 平行关系的综合应用

例3 如图所示，在四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和

CD ，试问截面在什么位置时其截面面积最大？

思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截 面形状，再建立目标函数求最值． 解 ∵AB ∥平面EFGH ，

平面EFGH 与平面ABC 和平面ABD 分别交于FG 、EH . ∴AB ∥FG ，AB ∥EH ，∴FG ∥EH ，同理可证EF ∥GH ， ∴截面EFGH 是平行四边形．

设AB ＝a ，CD ＝b ，∠FGH ＝α (α即为异面直线AB 和CD 所成的角或其补角)．

又设FG ＝x ，GH ＝y ，则由平面几何知识可得x a ＝CG BC ，y b ＝BG BC ，两式相加得x a ＋y

b ＝1，

即

y ＝b

a

(a －x )， ∴S ?EFGH ＝FG ·GH ·sin α

＝x ·b a ·(a －x )·sin α＝b sin αa

x (a －x )．

∵x >0，a －x >0且x ＋(a －x )＝a 为定值，

∴当且仅当x ＝a －x 时，b sin αa x (a －x )＝ab sin α4，此时x ＝a 2，y ＝b

2

.

即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大．探究提高利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．

如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面P AO?

解当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面P AO.证明如下：

∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，∴QB∥P A.

∵P、O分别为DD1、DB的中点，∴D1B∥PO.

又∵D1B平面P AO，PO平面P AO，

QB平面P AO，P A?平面P AO，

∴D1B∥平面P AO，QB∥平面P AO，

又D1B∩QB＝B，D1B、QB?平面D1BQ，

∴平面D1BQ∥平面P AO.

立体几何中的探索性问题

典例：(12分)如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的

中点．

(1)求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．

审题视角(1)可过E作平面ABB1A1的垂线、作线面角；(2)先探求出

点F，再进行证明B1F∥平面A1BE.注意解题的方向性．

规范解答

解(1)如图(a)所示，取AA1的中点M，连接EM，BM.因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.[2分]

图(a)

又在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥平面ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM为BE

和平面ABB 1A 1所成的角．[4分]

设正方体的棱长为2，则EM ＝AD ＝2，BE ＝22＋22＋12＝3.于是，在Rt △BEM 中，

sin ∠EBM ＝EM BE ＝2

3

，[5分]

即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为2

3.[6分]

(2)

图(b)

在棱C 1D 1上存在点F ，使B 1F ∥平面A 1BE .

事实上，如图(b)所示，分别取C 1D 1和CD 的中点F ，G ，连接B 1F ，EG ，BG ，CD 1，FG .

因A 1D 1∥B 1C 1∥BC ，且A 1D 1＝BC ，所以四边形A 1BCD 1是平行四边形，因此D 1C ∥A 1B . 又E ，G 分别为D 1D ，CD 的中点， 所以EG ∥D 1C ，从而EG ∥A 1B .

这说明A 1，B ，G ，E 四点共面．所以BG ?平面A 1BE .[8分]

因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形，F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点， 所以FG ∥C 1C ∥B 1B ，且FG ＝C 1C ＝B 1B ， 因此四边形B 1BGF 是平行四边形， 所以B 1F ∥BG ，[10分]

而B 1F 平面A 1BE ，BG ?平面A 1BE ， 故B 1F ∥平面A 1BE .[12分]

对于探索类问题，书写步骤的格式有两种： 一种：第一步，探求出点的位置． 第二步，证明符合要求． 第三步，给出明确答案．

第四步，反思回顾．查看关键点，易错点和 答题规范．

另一种：从结论出发，“要使什么成立”， “只需使什么

成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似 于分析法．

温馨提醒(1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力．(2)第(1)问常见错误是无法作出平面ABB1A1的垂线，以致无法确定线面角．(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难．(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰．

方法与技巧

1．平行问题的转化关系

2．直线与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．

3．平面与平面平行的主要判定方法

(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β?α∥β.

失误与防范

1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

3．解题中注意符号语言的规范应用．

A组专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．若直线m 平面α，则条件甲：“直线l∥α”是条件乙：“l∥m”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案 D

2．已知直线a，b，c及平面α，β，下列条件中，能使a∥b成立的是() A．a∥α，b αB．a∥α，b∥α

C．a∥c，b∥c D．a∥α，α∩β＝b

答案 C

解析由平行公理知C正确，A中a与b可能异面．B中a，b可能相交或异面，D中a，b可能异面．

3．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是()

A ．平行

B ．平行和异面

C ．平行和相交

D ．异面和相交 答案 B 解析

∴CD 和平面α内的直线没有公共点．

4．设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是 ( ) A ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α

B ．若m ?α，n ?β，m ∥β，n ∥α，则α∥β

C ．若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β

D ．若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n β，则n ∥β 答案 D

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共

有________条． 答案 6

6.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是

下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，

AP ＝a

3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ

＝________.

答案 223

a

7 . 如图所示，在正四棱柱ABCD —A

1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件_____________时，有MN ∥平面B 1BDD 1. 答案 M ∈线段HF 三、解答题(共22分)

8．(10分)如图，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，

M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面，交平面BDM 于GH . 求证：P A ∥GH .

9 . (12分)如图，已知平行四边形ABCD 中，BC ＝6，正方形ADEF 所在平面与平面ABCD 垂直，G ，H 分别是DF ，BE 的中点．

(1)求证：GH ∥平面CDE ；

(2)若CD ＝2，DB ＝42，求四棱锥F —ABCD 的体积．

B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是

( )

A ．m ∥β且l 1∥α

B ．m ∥l 1且n ∥l 2

C ．m ∥β且n ∥β

D ．m ∥β且n ∥l 2

答案 B

2．下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是

( )

A ．①②

B ．①④

C ．②③

D ．③④

答案 A

3．给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ?α，m ?β，则α∥β； ②若α∥β，l ?α，m ?β，则l ∥m ；

③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为

( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

答案 C

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过点P 的直线m 与α、β分别交于A 、C ，过点P 的直线n 与α、β分别交于B 、D 且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．

答案 24或24

5

5 . 一个正方体的展开图如图所示，B 、C 、D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中

点．在原来的正方体中，CD 与AB 所成角的余弦值为________．

答案

1010

6．对于平面M 与平面N ，有下列条件：①M 、N 都垂直于平面Q ；②M 、N 都平行于平面

Q；③M内不共线的三点到N的距离相等；④l为一条直线，且l∥M，l∥N；⑤l，m 是异面直线，且l∥M，m∥M；l∥N，m∥N，则可判定平面M与平面N平行的条件是________(填正确结论的序号)．

答案②⑤

三、解答题

7．(13分)如图，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E为PC的中点．

(1)求三棱锥A—PDE的体积；

(2)AC边上是否存在一点M，使得P A∥平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，

请说明理由．