二次函数的应用题(含答案)

二次函数的应用题

考点1：二次函数的数学应用题

1. （2011湖北黄石，16，3分）初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m，n）表示第m行第n列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m，n），如果调整后的座位为（i，j）,则称该生作了平移[a,b]=[m－i，n－j]，并称a+b为该生的位置数。若某生的位置数为10，则当m+n取最小值时，m·n的最大值为。

【答案】36

2.（2011浙江金华，23，10分）在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC，相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c(a<0)过矩形顶点B、C.

（1）当n＝1时，如果a=－1，试求b的值；

（2）当n＝2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O，

①试求出当n=3时a的值；

②直接写出a关于n的关系式.

∴142111

2 1.42

a b a b =++???=++??， 解得4,38.3a b ?=-????=??

∴所求抛物线解析式为248

133

y x x =-

++；……4分 （3）①当n =3时，OC=1，BC =3， 设所求抛物线解析式为2

y ax bx =+，

过C 作CD ⊥OB 于点D ，则Rt △OCD ∽Rt △CBD ， ∴13OD OC CD BC ==,

设OD =t ，则CD =3t ， ∵222

OD CD OC +=， ∴2

2

2

(3)1t t +=，

∴10

t =

=

, ∴C

, 又 B

0），

∴把B 、C 坐标代入抛物线解析式，得

0101.1010a a ?=?

=+，

解得:a =； ……2分 ②a = ……2分

3. （2011山东日照，24，10分）如图，抛物线y=ax 2+bx （a 0）与双曲线y =

x

k

相交于点A ，B . 已知点B 的坐标为（－2，－2），点A 在第一象限内，且tan ∠AOx =4. 过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ．

（1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC 的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，请你写出点D 的坐标；若不存在，请你说明理由．

【答案】（1）把点B （－2，－2）的坐标，代入y =

x

k

， 得：－2=

2

-k

，∴k =4． 即双曲线的解析式为：y =

x

4

． 设A 点的坐标为（m ，n ）。∵A 点在双曲线上，∴mn =4．…① 又∵tan ∠AOx =4，∴

n

m

=4， 即m =4n ．…② 又①，②，得：n 2=1,∴n =±1.

∵A 点在第一象限，∴n =1,m =4 ， ∴A 点的坐标为（1，4）

把A 、B 点的坐标代入y=ax 2

+b x ，得：?

??-=-+=b a b a 242,4解得a =1，b =3；

∴抛物线的解析式为：y=x 2+3x ；（2）∵AC ∥x 轴，∴点C 的纵坐标y =4， 代入y=x 2+3x ，得方程x 2+3x －4=0，解得x 1=－4，x 2=1（舍去）． ∴C 点的坐标为（－4，4），且AC =5， 又△ABC 的高为6，∴△ABC 的面积=

2

1×5×6=15 ； （3）存在D 点使△ABD 的面积等于△ABC 的面积. 过点C 作CD ∥AB 交抛物线于另一点D ．

因为直线AB 相应的一次函数是：y =2x +2，且C 点的坐标为（－4，4），CD ∥AB ， 所以直线CD 相应的一次函数是：y =2x +12.

解方程组???+=+=,

122,32x y x x y 得???==,18,3y x 所以点D 的坐标是（3，18）

4. （2011浙江温州，22，10分）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 的坐标是（－2，4），过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，连结OA ．

(1)求△OAB 的面积；

(2)若抛物线22y x x c =--+经过点A ． ①求c 的值；

②将抛物线向下平移m 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB 的内部（不包括△OA B 的边界），求m 的取值范围（直接写出答案即可）．

【答案】 解：(1) ∵点A 的坐标是（－2，4），AB ⊥y 轴， ∴AB =2，OB ＝4， ∴11

24422

OAB S AB OB ?=

??=??= (2)①把点A 的坐标（－2，4）代入22y x x c =--+， 得2(2)2(2)4c ---?-+=，∴c ＝4 ②∵2224(1)4y x x x =--+=-++，

∴抛物线顶点D 的坐标是(－1，5)，AB 的中点E 的坐标是（－1，4），OA 的中点F 的坐标是（－1，2）， ∴m 的取值范围为l

5．（2011湖南益阳，20，10分）如图9，已知抛物线经过定点．．A （1，0），它的顶点P 是y 轴正半轴上的一个动点．．，P 点关于x 轴的对称点为P′，过P′ 作x 轴的平行线交抛物线于B 、D 两点（B 点在y 轴右侧），直线BA 交y 轴于C 点．按从特殊到一般的规律探究线段CA 与CB 的比值：

（1）当P 点坐标为（0，1）时，写出抛物线的解析式并求线段CA 与CB 的比值；

（2）若P 点坐标为（0，m ）时（m 为任意正实数），线段CA 与CB 的比值是否与⑴所求的比值相同？请说明理由．

【答案】解：⑴ 设抛物线的解析式为21(0)y ax a =+≠ ，

抛物线经过()1,0A ，01,1a a ∴=+=- ，

21y x ∴=-+.

(),0,1P P x P '、关于轴对称且,()01P '∴点的坐标为，－

P B '∥x 轴,1B ∴-点的纵坐标为,

由21x x -=-=+1 解得

)

1B

∴-,P B '∴=

OA P B '//，CP B '∴?∽COA ?，

CA OA CB P B ∴

==' ⑵ 设抛物线的解析式为2(0)y ax m a =+≠ ()01A 抛物线经过，，0,a m a m ∴+=-＝ 2y mx m ∴=-+．

P B '∥x 轴B m ∴-点的纵坐标为， 2y m mx m m =--+=-当时，

()

220m x ∴-=，

0m >，220x ∴-=，x ∴=，

)

B

m ∴-，P B '∴=

同⑴得

CA OA CB P B =='

CA m CB ∴=

为任意正实数时，． 6. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线2

12

y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上.

(1)求a 的值； (2)求A ,B 两点的坐标;

(3)以AC ,CB 为一组邻边作□ABCD ,则点D 关于x 轴的对称点D′是否在该抛物线上?请说明理由.

【答案】解：(1)∵二抛物线2

12

y x x a =-+的顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，∴x=1,∵顶点在直线y=－2x 上，所以y=－2,即顶点坐标为（1，－2），∴－2=

12－1+a,即a =－3

2

4;(2)二次函数的关系式为213

22

y x x =

--，当y=0时， 213

022

x x --=，解之得：121,3x x =-=，即A （－1，0），B （3，0）；（3）如图所示：直线BD//AC,AD//BC,

因为A(－1.0),C(0,32-

),所以直线AB 的解析式为3322y x =--,所以设BD 的解析式为3

2

y x b =-+,因为

B(3,0),所以b=

92,直线BD 的解析式为:3922y x =-+,同理可得:直线AD 的解析式为:11

22

y x =+,因此直线BD 与CD 的交点坐标为:(2,32),则点D 关于x 轴的对称点D′是(2,－32),当x=2时代入213

22

y x x =--得,y=32-

,所以D′在二次函数213

22

y x x =--的图象上

.

7．（2011湖南永州，24，10分）如图，已知二次函数c bx x y ++-=2的图象经过A （2-，1-），B （0,7）两点．

⑴求该抛物线的解析式及对称轴； ⑵当x 为何值时，0>y ？

⑶在x 轴上方作平行于x 轴的直线l ，与抛物线交于C ，D 两点（点C 在对称轴的左侧），过点C ，D 作x 轴的垂线，垂足分别为F ，E ．当矩形CDEF 为正方形时，求C 点的坐标．

【答案】解：⑴把A （2-，1-），B （0,7）两点的坐标代入c bx x y ++-=2，得 ???=-=+--7124c c b 解得?

?

?==72

c b 所以，该抛物线的解析式为722++-=x x y ，

又因为8)1(7222+--=++-=x x x y ，所以对称轴为直线1=x ． ⑵当函数值0=y 时，0722=++-x x 的解为221±=x ， 结合图象，容易知道221221+<<-x 时，0>y ． ⑶当矩形CDEF 为正方形时，设C 点的坐标为（m ，n ）， 则722++-=m m n ，即722++-=m m CF

（第24题）

因为C ，D 两点的纵坐标相等，所以C ，D 两点关于对称轴1=x 对称，设点D 的横坐标为p ，则11-=-p m ，所以m p -=2，所以CD=m m m 22)2(-=--

因为CD=CF ，所以72222++-=-m m m ，整理，得0542=--m m ，解得1-=m 或5． 因为点C 在对称轴的左侧，所以m 只能取1-． 当1-=m 时，722++-=m m n =7)1(2)1(2+-?+--=4 于是，得点C 的坐标为（1-，4）．

8. （2011山东东营，23，10分）(本题满分10分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角形ABC 放在第一象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0,2），点C （1,0），如图所示；抛物线2

2y ax ax =--经过点B 。

（1） 求点B 的坐标； （2） 求抛物线的解析式；

（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使ΔACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所以点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）过点B 作BD ⊥x 轴，垂足为D ，∵∠BCD+∠ACO=90° ，∠ACO+∠OAC =90°； ∴∠BCD=∠CAO ； 又∵∠BDC=∠COA=90°；CB=AC ，

∴ △BDC ≌△CAO=90°，∴BD=OC=1，CD=OA=2；∴点B 的坐标为(3,1) （2）抛物线2

2y ax ax =--经过点B(3,1)，则得1932a a =-- 解得1

2

a =， 所以抛物线的解析式为211

222

y x x =

-- （3）假设存在点P ，似的△ACP 是直角三角形:

①若以AC 为直角边，点C 为直角顶点；则延长BC 至点P 1 使得P 1C=BC,得到等腰直角三角形ACP 1，过点P 1作P 1M ⊥x 轴，如图（1）。

∵CP 1=BC ，∠MCP 1=∠BCD ， ∠P 1MC=∠BDC=90°，∴△MCP 1≌△BCD ∴ CM=CD=2，P 1M=BD=1，可求得点P 1（－1，－1）； 经检验点P 1（－1，－1）在抛物线为211

222

y x x =

--上；

②若以AC 为直角边， 点A 为直角顶点；则过点A 作AP 2⊥CA ，且使得AP 2=AC ，得到等腰直角三角形ACP 2，过点P 2作P 2N ⊥y 轴，如图（2）。同理可得△AP 2N ≌△CAO ；∴NP 2=OA=2，AN=OC=1，可求得点P 2（－2，1），；经检验点P 2（－2，1）也在抛物线211

222

y x x =

--上； ③若以AC 为直角边， 点A 为直角顶点；则过点A 作AP 3⊥CA ，且使得AP 3=AC ，得到等腰直角三角形ACP 3，过点P 3作P 3H ⊥y 轴，如图（3）同理可得△AP 3H ≌△CAO ；∴HP 3=OA=2，AH=OC=1，可求得点P 3（2，3），；经检验点P 3（2，3）不抛物线211

222

y x x =

--上； 故符合条件的点有P 1（－1，－1），P 2（－2，1）两个。

9. （2011河北，26，12分）如图15，在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，沿x 轴向右以每秒一个单位长的速度运动t 秒（t ＞0），抛物线c bx x y 2

++=经过点O 和点P.已知矩形ABCD 的三个顶点为A （1，0），B （1，－5），D （4，0）.

(1)求c ，b （用t 的代数式表示）；

（2）当4＜t ＜5时，设抛物线分别与线段AB,CD 交于点M,N.

①在点P 的运动过程中，你认为∠AMP 的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP 的值；

②求△MPN 的面积S 与t 的函数关系式，并求t 为何值时，s=

8

21

； （3）在矩形ABCD 内部（不含边界），把横纵坐标都是整数的点称为“好点”.若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t 的取值范围。

1

O

B

C

A D P

M N

【答案】（1）C=0,b=－t

（2）①不变。当x=1时，y=1－t ，故M(1，1－t)，∵tan ∠AMP=1，∴∠AMP=45°。 ②S=PAM NDAM DPN S S S ??-+梯形 =()()()()[]()()1t 1t 2131t 16t 42116t 44t 21

---?-+-+-- =

6t 2

15

t 232+- 解

6t 215t 232+-=821，得2

9t 21t 21==， ∵4＜t ＜5，∴21t 1=舍去，∴t=2

9

（3）

27＜t ＜3

11

考点2：二次函数的实际应用题

1. （2011河北，8，3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下列函

数关系式：61t 5h 2

+--=）（

，则小球距离地面的最大高度是（ ） A ．1米 B ．5米

C ．6米

D ．7米

【答案】C

2. （2011广东株洲，8，3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=－x 2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )

A ．4米

B ．3米

C ．2米

D ．1米

【答案】D

3. （2011山东聊城，12，3分）某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m （如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）

A ．50m

B ．100m

C ．160m

D ．200m

【答案】C

4. （2011湖南怀化，16，3分）出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出（8－x ）个，则当x=________元时，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大.

【答案】4

5. （2011山东滨州，25，12分）如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O 落在水平面上，对称轴是水平线OC 。点A 、B 在抛物线造型上，且点A 到水平面的距离AC =4O 米，点B 到水平面距离为2米，OC =8米。

（1） 请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式；

（2）

为了安全美观，现需在水平线OC 上找一点P ，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支

柱P A 、PB 对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省（支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑）时的点P ？（无需证明）

（3）

为了施工方便，现需计算出点O 、P 之间的距离，那么两根支柱用料最省时点O 、P 之间的

距离是多少？（请写出求解过程）

【答案】

解：（1）以点O 为原点、射线OC 为y 轴的正半轴建立直角坐标系………………1分 设抛物线的函数解析式为2

y ax =,………………2分

由题意知点A 的坐标为（4，8）。且点A 在抛物线上，………………3分 所以8=a×2

4，解得a=

12,故所求抛物线的函数解析式为2

12

y x =………………4分 （2）找法：延长AC,交建筑物造型所在抛物线于点D, ………………5分 则点A 、D 关于OC 对称。

连接BD 交OC 于点P ，则点P 即为所求。………………6分 （3）由题意知点B 的横坐标为2，且点B 在抛物线上， 所以点B 的坐标为（2，2）………………7分

又知点A 的坐标为（4，8），所以点D 的坐标为（－4，8）………………8 设直线BD 的函数解析式为 y=kx+b ，………………9 则有22

48

k b k b +=??

-+=? (10)

解得k=－1,b=4.

故直线BD 的函数解析式为 y=－x+4，………………11 把x=0代入

y=－x+4，得点P 的坐标为（0，4）

两根支柱用料最省时，点O 、P 之间的距离是4米。 (12)

6. （2011四川重庆，25，10分）某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件．受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1(元)与月份x(1≤x≤9，且x取整数)之间的函数关系如下表：

2

x(10≤x≤12，且x取整数)之间存在如图所示的变化趋势：

(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x 之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

(2)若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤9，且x取整数)，10至12月的销售量p2(万件)p2＝－0.1x＋2.9(10≤x≤12，且x取整数)．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

(3)今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1 a%.这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．(参考数据：992＝9801，982＝9604，972＝9409，962＝9216，952＝9025)

【答案】(1)y1 与x之间的函数关系式为y1＝20x＋540，

y2与x之间满足的一次函数关系式为y2＝10x＋630．

(2)去年1至9月时，销售该配件的利润w＝p1(1000－50－30－y1)

＝(0.1x＋1.1)(1000?50?30?20x?540)

＝(0.1x＋1.1)(380?20x)＝－2x2＋160x＋418

＝－2( x－4)2＋450，(1≤x≤9，且x取整数)

∵－2＜0，1≤x≤9，∴当x＝4时，w最大＝450(万元)；

去年10至12月时，销售该配件的利润w＝p2(1000－50－30－y2)

＝(－0.1x＋2.9)(1000－50－30－10x－630)

＝(－0.1x＋2.9)(290－10x)＝( x－29)2，(10≤x≤12，且x取整数)，

当10≤x≤12时，∵x＜29，∴自变量x增大，函数值w减小，

∴当x ＝10时，w 最大＝361(万元)，∵450＞361， ∴去年4月销售该配件的利润最大，最大利润为450万元． (3)去年12月份销售量为：－0.1×12+0.9=1.7（万件）， 今年原材料的价格为：750+60=810（元）， 今年人力成本为：50×（1+20﹪）=60（元），

由题意，得5×[1000（1+a ﹪）－810－60－30]×1.7（1－0.1a ﹪）=1700，

设t= a ﹪，整理，得10t2－99t+10=0，解得t=99±940120，∵972＝9409，962＝9216，而9401更接近

9409．∴9401=97．

∴t1≈0.1或t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980．

∵1.7（1－0.1a ﹪）≥1，∴a2≈980舍去，∴a≈10． 答：a 的整数值为10．

7. （2011山东潍坊，22，10分）2011年上半年，某种农产品受不良炒作的影响，价格一路上扬，8月初国家实施调控措施后，该农产品的价格开始回落.其中，1月份至7月份，该农产品的月平均价格y 元/千克与月份x 呈一次函数关系；7月份至12月份，月平均价格元/千克与月份x 呈二次函数关系.已知1月、7月、9月和12月这四个月的月平均价格分别为8元/千克、26元/千克、14元/千克、11元/千克.

（1）分别求出当1≤x ≤7和7≤x ≤12时，y 关于x 的函数关系式；

（2）2011年的12个月中，这种农产品的月平均价格哪个月最低？最低为多少？

（3）若以12个月份的月平均价格的平均数为年平均价格，月平均价格高于年平均价格的月份有哪些？ 【解】（1）当17x ≤≤时，设y kx m =+， 将点（1，8）、（7，26）分别代入y kx m =+，得

8,726.

k m k m +=??

+=?解之，得5,

3.m k =??=? ∴函数解析式为35y x =+.

当712x ≤≤时，设2

y ax bx c =++，

将（7，26）、（9，14）、（12，11）分别代入2

y ax bx c =++，得：

49726,81914,1441211.a b c a b c a b c ++=??++=??++=?解之，得1,

22,131.a b c =??=-??=?

∴函数解析式为2

22131y x x =-+.

（2）当17x ≤≤时，函数35y x =+中y 随x 的增大而增大， ∴当1x =最小值时，3158y =?+=最小值.

当712x ≤≤时，()2

2

221311110y x x x =-+=-+，

∴当11x =时，10y =最小值.

所以，该农产品平均价格最低的是1月，最低为8元/千克. （3）∵1至7月份的月平均价格呈一次函数， ∴4x =时的月平均价格17是前7个月的平均值.

将8x =，10x =和11x =分别代入2

22131y x x =-+，得19y =，11y =和10y =. ∴后5个月的月平均价格分别为19，14，11，10，11. ∴年平均价格为177191411101146

15.3123

y ?+++++=

=≈（元/千克）.

当3x =时，1415.3y =<，

∴4，5，6，7，8这五个月的月平均价格高于年平均价格.

8. （2011四川成都，26,8分）某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD ．已知木栏总长为120米，设A B 边的长为x 米，长方形ABCD 的面积为S 平方米．

(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值；

(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为1O 和2O ，且

1O 到AB 、BC 、AD 的距离与2O 到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至

少要留够0.5米宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(l)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行?若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．

【答案】（1）1800)30(2)2120(2

+--=-=x x x S ，当30=x 时，S 取最大值为1800．

（2）如图所示，过1O 、2O 分别作到AB 、BC 、AD 和CD 、BC 、AD 的垂直，垂足如图，根据题意可知，I O H O G O J O F O E O 222111=====；当S 取最大值时，AB =CD =30，BC =60，

所以152

1

O O O O 2211=====AB I G J F ， ∴15O O 21==H E ，

∴301515602121=--=--=H O E O EH O O ，

∴两个等圆的半径为15，左右能够留0.5米的平直路面，而AD 和BC 与两圆相切，不能留0.5米的平直路面.

9. （2011江苏无锡，25，10分）(本题满分10分)张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y (元/吨)与采购量x (吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC 所示(不包含端点

A ，但包含端点C )。

(1)求y 与x 之间的函数关系式；

(2)已知老王种植水果的成本是2800元/吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w 最大？最大利润是多少？

【答案】

解：(1)当0 < x ≤ 20时，y = 8000．……………………………………………………(1分)

当20 < x ≤ 40时，设BC 满足的函数关系式为y = kx + b ，则?

??20k + b = 8 000

40k + b = 4 000 ．………………(2分)

解得k = ?200，b = 12 000，∴y = ?200x + 12 000． ………………………………(4分) (2)当0 < x ≤ 20时，老王获得的利润为w = (8000 ? 2800)x …………(5分) =5 200x ≤ 104 000，此时老王获得的最大利润为104 000元．…………(6分)

当20 < x ≤ 40时，老王获得的利润为w = (?200x + 12 000 ? 2800)x ………………(7分) = ?200(x 2 ? 46x ) = ?200(x ? 23)2 + 105 800．………………………………(8分)

∴当x = 23时，利润w 取得最大值，最大值为105 800元．………………………(9分)

∵105 800 > 104 000，∴当张经理的采购量为23吨时，老王获得的利润最大，最大利润为105 800元． 7. （2011湖北武汉市，23，10分）（本题满分10分）星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园．其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x 米．

（1）若平行于墙的一边的长为y 米，直接写出y 与x 之间的函数关系式及其自变量x 的取值范围； （2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值； （3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图像，直接写出x 的取值范围．

【答案】解：（1）y =30－2x (6≤x ＜15)

（2）设矩形苗圃园的面积为S 则S =xy=x (30－2x )=－2x 2＋30x

∴S =－2(x －7.5)2＋112.5由（1）知，6≤x ＜15∴当x =7.5时,S 最大值＝112.5

即当矩形苗圃园垂直于墙的边长为7.5米时，这个苗圃园的面积最大，最大值为112.5 （3）6≤x ≤11

10.（2011山东菏泽，20，9分）我市一家电子计算器专卖店每只进价13元，售价20元，多买优惠 ；凡是一次买10只以上的，每多买1只，所买的全部计算器每只就降低0.10元，例如，某人买20只计算器，于是每只降价0.10×(20－10)=1(元)，因此，所买的全部20只计算器都按照每只19元计算，但是最低价为每只16元．

(1) 求一次至少买多少只，才能以最低价购买？

(2) 写出该专卖店当一次销售x (时，所获利润y (元)与x (只)之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；

（3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？ 解：(1)设一次购买x 只，才能以最低价购买，则有： 0.1(x －10)=20－16，解这个方程得x =50； 答：一次至少买50只，才能以最低价购买．

(2) 220137(0501[(2013)0.1(10)]8(1050)101613=3(50)

x x x x y x x x x x x x x -=???

=---=-+??

?-?＜≤）

＜＜≥．

（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可） (3)将21810y x x =-

+配方得21

(40)16010

y x =--+， 所以店主一次卖40只时可获得最高利润，最高利润为160元．

11. （2011贵州贵阳，25，12分）

用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架（如图○1○2○3中的一种）．

设竖档AB =x 米，请根据以上图案回答下列问题：（题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与AD 、AB 平行）

（1）在图○1中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积为3平方米？ （2）在图○2中，如果不锈钢材料总长度为12米，当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？（

（3）在图○3中，如果不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档，那么当x 为多少时，矩形框架ABCD 的面积S 最大？最大面积是多少？

○1 ○2 ○3

（第25题图）

【答案】解：

（1）当不锈钢材料总长度为12米，共有3条竖档时，BC =12-3x

3=4－x ，

∴x （4－x ）=3． 解得，x =1或3．

（2）当不锈钢材料总长度为12米，共有4条竖档时，BC =12-4x 3，矩形框架ABCD 的面积S =x ·12-4x

3=

－4

3

x 2+4x ． 当x =－42×（-43

）

=3

2时，S =3．

∴当x =3

2

时时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为3平方米．

（3）当不锈钢材料总长度为a 米，共有n 条竖档时，BC =a -nx

3，矩形框架ABCD 的面积

S =x ·a -nx 3=－n 3x 2+a 3

x ．

当x =－

a

3

2×（-n 3

）

=a 2n 时，S =a 212n

∴当x =a 2n 时，矩形框架ABCD 的面积S 最大，最大面积为a 2

12n

平方米

12．（2011江苏盐城，26，10分）利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息: 请根据以上信息，解答下列问题： （1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

【答案】（1）设甲商品的进货单价是x 元，乙商品的进货单价是y 元．

根据题意，得?

??x +y =53(x +1)+2(2y -1)=19 解得?

??x =2

y =3

答：甲商品的进货单价是2元，乙商品的进货单价是3元． （2）设商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润为s 元，则 s =(1－m )(500+100×m 0.1)+(5－3－m )(300+100×m

0.1)

即 s =－2000m 2+2200m +1100 =－2000(m －0.55)2+1705. ∴当m =0.55时，s 有最大值，最大值为1705.

答：当m 定为0.55时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大，每天的最大利润是1705元.

13. （2011湖北鄂州，23，12分）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每投入x 万元，可获得利润()2

16041100

P x =-

-+（万元）

．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投入100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润()()2

99294101001601005

Q x x =-

-+-+（万元） ⑴若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？

⑵若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ ⑶根据⑴、⑵，该方案是否具有实施价值？

【答案】解：⑴当x=60时，P 最大且为41，故五年获利最大值是41×5=205万元．

⑵前两年：0≤x≤50，此时因为P 随x 增大而增大，所以x=50时，P 值最大且为40万元，所以这两年获利最大为40×2=80万元．

后三年：设每年获利为y ，设当地投资额为x,则外地投资额为100－x ，所以y=P ＋Q =()216041100x ??-

-+????+2992941601005x x ??-++????

=2

60165x x -++=()2301065x --+，表明x=30时，y 最大且为1065，那么三年获利最大为1065×3=3495万元，

故五年获利最大值为80＋3495－50×2=3475万元． ⑶有极大的实施价值．

13. （2011湖北荆州，23，10分）（本题满分10分）2011年长江中下游地区发生了特大旱情，为抗旱保丰收，某地政府制定民农户投资购买抗旱设备的补贴办法，其中购买Ⅰ型、Ⅱ型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系.

（1）分别求出1和2的函数解析式；

（2）有一农户同时对Ⅰ型、Ⅱ型两种设备共投资10万元购买，请你设计一个能获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额.

【答案】解：（1）由题意得：①5k=2，k=

52 ∴x y 5

2

1= ②???=+=+2.34164.224b a b a ，解之得：???

????

=

-=5851b a ，∴x x y 585122

+-=

（2）设购Ⅱ型设备投资t 万元，购Ⅰ型设备投资（10－t ）万元，共获补贴Q

万元 ∴t t y 524)10(521-=-=

，t t y 5

8

5122+-= 5

29)3(5158515242221+--=+--=+=t t t t y y Q

∴当t=3时，Q 有最大值为

5

29

，此时10－t=7(万元) 即投资7万元购Ⅰ型设备，投资3万元购Ⅱ型设备，共获最大补贴5.8万元.

14. （2011山东泰安，28 ，10分）某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为每件25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件。

（1）当售价定为每件30元时，一个月可获利多少元？

（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）获利：（30－20）[105－5（30－25）]=800（元） （2）设售价为每件x 元时，一个月的获利为y 元

由题意，得：y=(x －20)[105－5（30－25）]=－5x2+330x －4600=－5(x －33)2+845 当x=33时，y 的最大值是845

故当售价为定价格为33元时，一个月获利最大，最大利润是845元。

15. （2011四川南充，20，8分）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工厂每千度电产生利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数图象如图：

（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是多少？

（2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x (元/千度)与每天用电量m (千度)的函数关系为x =10m +500，且该工厂每天用电量不超过60千度，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？

【答案】解：（1）工厂每千度电产生利润y (元/千度)与电价x (元/千度)的函数解析式为：y =k x +b 该函数图象过点（0，300），（500，200）

∴ 200500300k b b =+??=? ，解得15300

k b ?=-???=? ∴y =－51x +300(x ≥0)

当电价x =600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y =－

5

1

*600+300=180（元/千度） （2）设工厂每天消耗电产生利润为w 元，由题意得：W=my=m(－51x +300)=m [－5

1

(10m +500)+300] 化简配方，得：w=－2(m －50)2+5000 由题意，m≤60, ∴当m=50时，w 最大=5000

即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润为5000元. 考点3：二次函数的综合探究题

【考点分析】这是综合性较强的一个考点，主要考查对二次函数、几何图形等有关知识的综合应用能力。

求点，探究相似三角形

1. （2011浙江义乌，16，4分）如图，一次函数y =－2x 的图象与二次函数y =－x 2+3x 图象的对称轴交于点B .

（1）写出点B 的坐标 ；

（2）已知点P 是二次函数y =－x 2+3x 图象在y 轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y =－2x 沿y 轴向上平移，分别交x 轴、y 轴于C 、D 两点. 若以CD 为直角边的△PCD 与△OCD 相似，则点P 的坐标为

.

【答案】（1）（32，－3）；（2）（2,2）、（12，54）、（114，1116）、（135，26

25

）

2. （2011江苏泰州，27，12分）已知：二次函数y =x 2＋bx －3的图像经过点P （－2,5）． （1）求b 的值，并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；

（2）设点P 1（m ,y 1）、P 2（m +1,y 2）、P 3(m +2,y 3)在这个二次函数的图像上． ①当m =4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形的三边的长？请说明理由；

②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由． 【答案】解：（1）把点P 代入二次函数解析式得5= （－2）2－2b －3，解得b=－2. 当1＜x≤3时y 的取值范围为－4＜y≤0.

（2）①m=4时，y 1、y 2、y 3的值分别为5、12、21，由于5+12＜21，不能成为三角形的三边长． ②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3的值分别为m 2－2m －3、m 2－4、m 2＋2m －3， 由于， m 2－2m －3＋m 2－4＞m 2＋2m －3，（m －2）2－8＞0， 当m 不小于5时成立，即y 1＋y 2＞y 3成立．

所以当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长， 求点，探究直角三角形

3．（2011四川绵阳24，12）已知抛物线:y=x2－2x +m －1 与x 轴只有一个交点，且与y 轴交于A 点, 如图，设它的顶点为B (1)求m 的值；

(2)过A 作x 轴的平行线，交抛物线于点C ，求证是△ABC 是等腰直角三角形；

(3)将此抛物线向下平移4个单位后，得到抛物线C'，且与x 轴的左半轴交于E 点，与y 轴交于F 点，如图.请在抛物线C'上求点P ，使得△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形.

【答案】（1）抛物线与x 轴只有一个交点，说明△=0，∴m=2

（2）∵抛物线的解析式是y=x2－2x+1,∴A （0，1），B （1，0）∴△AOB 是等腰直角三角形，又AC ∥OB,∴∠BAC=∠OAB=45°A ，C 是对称点，∴AB=BC ，∴△ABC 是等腰直角三角形。

（3）平移后解析式为y=x2－2x －3,可知E(－1,0),F(0,－3) ∴EF 的解析式为：y=－3x －3,

平面内互相垂直的两条直线的k 值相乘=－1， 所以过E 点或F 点的直线为y=13x+b

把E 点和F 点分别代入可得b=1

3

或－3，

∴y=13x+13或y=13x －3列方程得???y=13x+13 y=x2-2x-3

解方程x 1=－1,x 2=10

3

,

x 1 是E 点坐标舍去，把x 2=103代入得y=139,∴P 1（103，13

9

）