优化探究10-4

A组考点基础演练

一、选择题

1．若在同等条件下进行n次重复试验得到某个事件A发生的频率f(n)，则随着n的逐渐增加，有()

A．f(n)与某个常数相等

B．f(n)与某个常数的差逐渐减小

C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小

D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定

解析：随着n的增大，频率f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的关系．

答案：D

2．装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是()

“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”．()

A．①②B．①③

C．②③D．①②③

解析：从口袋内一次取出2个球，这个试验的基本事件空间Ω＝{(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)}，包含6个基本事件，当事件A“两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A发生时，③可以发生，故不是互斥事件．

答案：A

3．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1，则此射手在一次射击中不超过8环的概率为()

A．0.5 B．0.3

C．0.6 D．0.9

解析：依题设知，此射手在一次射击中不超过8环的概率为1－(0.2＋0.3)＝0.5.

答案：A

4．在第3,6,16路公共汽车的一个停靠站(假定这个车站只能停靠一辆公共汽车)，有一位乘客需在5分钟之内乘上公共汽车赶到厂里，他可乘3路或6路公共汽车到厂里，已知3路车和6路车在5分钟之内到此车站的概率分别为0.20和0.60，则该乘客在5分钟内能乘上所需要的车的概率为()

A．0.20 B．0.60

C ．0.80

D ．0.12

解析：“能乘上所需要的车”记为事件A ，则3路或6路车有一辆路过即事件发生，故P (A )＝0.20＋0.60＝0.80.

答案：C

5．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上．下列结果正确的是( )

A ．P (M )＝13，P (N )＝1

2

B ．P (M )＝12，P (N )＝1

2

C ．P (M )＝13，P (N )＝3

4

D ．P (M )＝12，P (N )＝3

4

解析：Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故P (M )＝12，P (N )＝3

4

.

答案：D 二、填空题

6．口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.65，摸出黄球或白球的概率是0.6，那么摸出白球的概率是________．

解析：设摸出红球、白球、黄球的事件分别为A 、B 、C ，由条件知P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.65，

P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝0.6，

又P (A ∪B )＝1－P (C )，∴P (C )＝0.35， ∴P (B )＝0.25. 答案：0.25

7．中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为1

4

，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________．

解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37＋14＝1928

.

答案：1928

8．盒中有3张分别标有1,2,3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽

取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为________．

解析：对立事件为：两次抽取的卡片号码都为奇数，共有2×2＝4种抽法．而有放回的两次抽取卡片共有3×3＝9种基本事件，因此所求事件概率为1－49＝5

9

.

答案：59

三、解答题

9．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是13，黑球或黄球的概率是512，绿球或黄球的概率也是5

12，求从中任取一球，得到黑球、

黄球和绿球的概率分别是多少？

解析：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A ，B ，C ，D ，则事件A ，B ，C ，D 彼此互斥，所以有

P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝512

，

P (D ＋C )＝P (D )＋P (C )＝512，P (B ＋C ＋D )＝P (B )＋P (C )＋P (D )＝1－P (A )＝1－13＝2

3，解

得P (B )＝14，P (C )＝16，P (D )＝1

4

.

故从中任取一球，得到黑球、黄球和绿球的概率分别是14，16，14

.

10．(2014年高考大纲全国卷)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立．

(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率；

(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用．若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值．

解析：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i ＝0,1,2， B 表示事件：甲需使用设备， C 表示事件：丁需使用设备，

D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，

E 表示事件：同一工作日4人需使用设备，

F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k . (1)D ＝A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C ，

P (B )＝0.6，P (C )＝0.4，P (A i )＝C i 2×0.52，i ＝0,1,2， 所以P (D )＝P (A 1·B ·C ＋A 2·B ＋A 2·B ·C )

＝P (A 1·B ·C )＋P (A 2·B )＋P (A 2·B ·C )

＝P (A 1)P (B )P (C )＋P (A 2)P (B )＋P (A 2)P (B )P (C ) ＝0.31.

(2)由(1)知，若k ＝2，则P (F )＝0.31＞0.1. 又E ＝B ·C ·A 2，

P (E )＝P (B ·C ·A 2)＝P (B )P (C )P (A 2)＝0.06. 若k ＝3，则P (F )＝0.06＜0.1. 所以k 的最小值为3.

B 组 高考题型专练

1．从1,2，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个数都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．

在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③

D ．①③

解析：从1,2，…，9中任取两数，包括一奇一偶、二奇、二偶，共三种互斥事件，所以只有③中的两个事件才是对立的．

答案：C

2．4张卡上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )

A.12

B.13

C.23

D.34

解析：因为从四张卡片中任取出两张共有6种情况，其中两种卡片上数字和为偶数的共有2种情况，所以两张卡片上的数字为偶数的概率为13

.

答案：B

3．(2014年高考新课标全国卷Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )

A.18

B.38

C.58

D.78

解析：由题意知4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，

而4位同学都选周六有1种情况，4位同学都选周日有1种情况，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为P ＝24－1－124＝1416＝7

8

，故选D.

答案：D

4．某中学部分学生参加全国高中数学竞赛取得了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)，并且绘制了条形统计图(如图所示)，则该中学参加本次数学竞赛的人数为________，如果90分以上(含90分)获奖，那么获奖的概率大约是________．

解析：由题图可知，参加本次竞赛的人数为4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人数为7＋5＋2＝14，所以获奖的频率为14

32

＝0.437 5，即本次竞赛获奖的概率大约是0.437 5.

答案：32 0.437 5

5.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39,32,33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示．

现随机选取一个成员，他属于至少2小组的概率是________，他属于不超过2个小组的概率是________．

解析：“至少2个小组”包含“2个小组”和“3个小组”两种情况，故他属于至少2个小组的概率为P ＝

11＋10＋7＋86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝3

5

.

“不超过2个小组”包含“1个小组”和“2个小组”，其对立事件是“3个小组”． 故他属于不超过2个小组的概率是 P ＝1－86＋7＋8＋8＋10＋10＋11＝13

15

.

答案：35 1315

6．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．若生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________．

解析：记“生产中出现甲级品、乙级品、丙级品”分别为事件A ，B ，C .则A ，B ，C 彼此互斥，由题意可得P (B )＝0.03，P (C )＝0.01，所以P (A )＝1－P (B ＋C )＝1－P (B )－P (C )＝1－0.03－0.01＝0.96.

答案：0.96