云南大学《数学分析》2009——2010学年第一学期试题

云南大学2009——2010第1学期数学分析期末考试试卷

一、叙述题：（每小题6分，共18分）

1、 牛顿-莱不尼兹公式

2、 ∑∞

=1

n n a 收敛的cauchy 收敛原理

3、 全微分

二、计算题：（每小题8分，共32分） 1、4

2

2

sin lim

x

dt t x

x ?

→

2、求由曲线2x y =和2y x =围成的图形的面积和该图形绕x 轴旋转而成的几何体的体积。

3、求∑

∞

=+1

)

1(n n

n n x

的收敛半径和收敛域，并求和

4、已知z

y

x u = ，求

y

x u ???2

三、（每小题10分，共30分）

1、写出判别正项级数敛散性常用的三种方法并判别级数

∑

∞

=1

!n n

n

n

2、讨论反常积分?

+∞

--0

1

dx e

x

x

p 的敛散性 3、讨论函数列),(1)(2

2

+∞-∞∈+

=

x n

x x S n 的一致收敛性

四、证明题（每小题10分，共20分） 1、设)2,1(11,

01 =-

>>+n n

x x x n

n n ，证明∑∞

=1

n n x 发散

2、证明函数??

?

?

?=+≠++=0

0),(2

2

2

22

2

y

x y x y x xy y x f 在（0，0）点连续且可偏导，但它

在该点不可微。，

参考答案

一、1、设)(x f 在连续，)(x F 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数，则成立

)()()(a F b F dx x f b

a

-=?

2、,0.0>?>?N ε使得N n m >>?，成立ε<+++++m n n a a a 21

3、设2R D ?为开集，],[b a D y x y x f z ∈=),(),,(是定义在D 上的二元函数，

),(000y x P 为D 中的一定点，若存在只与点有关而与y x ??,无关的常数A 和B ，使得

)(2

2y x o y B x A z ?+?+?+?=?则称函数f 在点),(000y x P 处是可微的，并称

y B x A ?+?为在点),(000y x P 处的全微分

二、1、分子和分母同时求导

316sin 2lim

sin lim

5

4

6

2

2

=

=→→?

x

x x x

dt t x x

x （8分）

2、 、两曲线的交点为（0，0），（1，1）（2分） 所求的面积为：3

1

)(1

02

=

-?dx x x （3分） 所求的体积为：10

3)(1

5

ππ

=

-?

dx x x （3分）

3、 解：设∑

∞

=+=

1

)

1()(n n

n n x

x f ，1)

1(1)

2)(1(1

lim

=+++∞

→n n n n n ，收敛半径为1，收敛域

[-1，1]（2分）

),

10(),1ln(11)

1()(12

1

'

<<--

-

=+=

∑∞

=-x x x

x

n x

x f n n )10(),1ln(11)()(0

'

<<--+

==

?

x x x

x dt t f x f x

(3分）

x =0级数为0，x =1，级数为1，x =-1，级数为1-2ln2（3分） 4、解：

y

u ??=z

x x

z

y

ln （3分）

=???y

x u 2zx

x

x x

z

y

z

y

1ln 1

+-(5分）

三、1、解、有比较判别法，Cauchy,D’Alembert,Raabe 判别法等（应写出具体的内容4分）

1

1

)

1

11(lim !)

1()!1(lim

-∞

→+∞

→=+-

=++e

n n

n n n n

n n n n （4分）由D’Alembert 判别法知级数收敛（1分）

2、解：

?

?

?

+∞

----+∞

--+

=

1

1

1

1

1

dx e

x

dx e

x

dx e

x

x

p x

p x

p （2分）

，对?

--1

1

dx e x x

p ，由于)0(11

1+→→---x e

x

x

x

p p

故p >0时?--1

1

dx e

x

x

p 收敛（4分）

；?+∞

--1

1dx e

x

x

p ，由于

)(01

2+∞→→--x e

x

x x

p （4分）故对一切的p ?

+∞--1

1

dx e

x

x

p 收敛，综上所述p >0，积分

收敛

3、解：2

2

1)(n

x x S n +

=收敛于x （4分）0)(sup

lim

)

,(=-+∞-∞∈∞→x x S n x n 所以函数列一致

收敛性（6分）

四、证明题（每小题10分，共20分） 1、证明：

1

11

23

2212

1

3

423-=

-->=-n n n x x x x x x x x n n n

)2(,1

12>->

n x n x n （6分）

∑

∞

=-2

1

1n n 发散，由比较判别法知级数发散（4分）

2、证明：||||

02

2

xy y

x xy ≤+≤（4分）

2

2

)

0,0(),(lim

y

x xy y x +→=0所以函数在（0，0）点

连续，（3分）又00lim

=?→?x

x ，)0,0(),0,0(y x f f 存在切等于0，（4分）但

2

2

)

0,0(),(lim

y

x y x y x ?+???→??不存在，故函数在（0，0）点不可微（3分）