函数展开为泰勒级数

设函数00()()n

n n f x a x x ∞==?∑，0x x R ?<，已知右端求左端，

这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。

一、泰勒级数与迈克劳林级数：

设函数

()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级

数： 0x ()000

20000()30000()()!()()()()()1!2!

()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞

=?′′′=+?+?′′′+?+???+?+???∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。 0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0

(0)(0)(0)()()1!2!

(0)(0)()()3(!

0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++???++???∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。

二、函数展开称幂级数的条件：

定理1：

设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞

()0lim n n R x →∞=三、直接法把函数展开成幂级数的步骤：

第一.步：求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。第二.步：求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，…………

(0)f ′′()(0)n f 第三.步：写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!!

n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++???++??? 并求出收敛半径R 。

第四.步：考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限：

(1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ

在0与X 之间。如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展

开式为：2()3(0)(0)()(0)()()1!2!

(0)(0)()()3!!

n n f f f x f x x f f x x n ′′′=++′′′++???++??? 四、间接法把函数展开称泰勒级数

例1：把cos x 展开成X 的幂级数 sin cos x x ′=

35211sin (1)3!5!(21)!

n n x x x x x n ??=?++???+?????? 则

242cos 1(1)2!4!2!n

n x x x x n =?++????

五、补充知识

()sin

sin()2n x x n π=+?

常用泰勒公式

简介在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]

些常用函数及其泰勒展开式的图像

图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

其中，。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y

函数展开为泰勒级数

函数展开为泰勒级数设函数00()()n n n f x a x x ∞==?∑，0x x R ?<，已知右端求左端，这是幂级数求和，已知左端求右端，这是求函数的幂级数展开式，除按定义之外，它们的方法是相同的。一、泰勒级数与迈克劳林级数：设函数 ()f x 在点的某一临域内具有任意阶导数，则级数： 0x ()000 20000()30000()()!()()()()()1!2! ()()()()3!!n n n n n f x x x n f x f x f x x x x x f x f x x x x x n ∞ =?′′′=+?+?′′′+?+???+?+???∑0 称为函数()f x 在点的泰勒（Taylor ）级数。 0x 特别的，如果，上式变成迈克劳林(Maclaurin)级数: 00x =2()3()0 (0)(0)(0)()()1!2! (0)(0)()()3(! 0)()!!n n n n n f f f f x x f f x x n n x ∞=′′′=++′′′++???++???∑ 此时，这个级数的敛散性不明确。

二、函数展开称幂级数的条件：定理1：设函数()f x 在点0x 的某一临域内具有各阶导数，则函数0()U x ()f x 在该邻域内能展开称泰勒级数的充分必要条件是函数()f x 的泰勒公式的余项()n x R 当n 时的极限为0.即： →∞ ()0lim n n R x →∞=三、直接法把函数展开成幂级数的步骤：第一.步：求出 ()f x 的各阶导数()f x ′，()f x ′′，……()()n f x …… 如果在X=0处导数不存在，就停止进行。第二.步：求出函数及其各阶导数在X=0处的值，即： (0)f ′，，………… (0)f ′′()(0)n f 第三.步：写出幂级数: 2()3(0)(0)(0)()()1!2!(0)(0)()()3!! n n f f f x x f f x x n ′′′++′′′++???++??? 并求出收敛半径R 。第四.步：考察当X 在区间（-R,+R ）内时，余项()n x R 的极限： (1)1()()lim (1)!lim n n n n n f R x x n ξ++→∞→∞=+ ξ 在0与X 之间。如果极限为0，则函数()f x 在区间（-R,+R ）内的幂级数展

06-函数展开成泰勒级数的方法--间接展开法PPT

函数展开成幂级数的间接展开法

一、基本初等函数的间接展开法根据唯一性，利用常见展开式，通过变量代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法，求展开式。 ?基本公式：).,( ,)!12()1(sin ). ,( , !).1,1( 1101 200 +∞-∞∈+-=+∞-∞∈=-∈=-∑∑∑∞=+∞=∞ =x n x x x n x e x x x n n n n n x n n ，

二、典型例题例1. )( 的幂级数展开成将x a x f x =由于令注意到解 . ln , ln a x u e a a x x ==).,( ,! 1!2112+∞-∞∈+++++=u u n u u e n u ),(!ln !2ln ln 122+∞-∞∈+++++=x x n a x a a x a n n x 代入上式得将 ln a x u =

++-+-+-=+)! 12()1(!51!31sin 1253n x x x x x n n , ),( 时解：当+∞-∞∈x 例2、. cos )( 的幂级数展开成将x x x f =对上式逐项求导得 +-+-+-=)! 2()1(!41!211cos 242n x x x x n n

.11)( )1(:x x f +='解例3、. 的幂级数展开成将下列函数x ∑?? ∞ =-=+=+000)1(1)1ln( n x n n x dt t t dt x 则). 1,1( ,1 )1(10-∈+-=+∞=∑x x n n n n ).1,1( ,)1()(1111 0 -∈-=--=+∑∞=x x x x n n n 又.arctan )()2( ; )1ln()( (1)x x f x x f =+=板书

常见泰勒公式展开式

泰勒公式泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都

可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

常用十个泰勒展开公式

常用bai泰勒展开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下:1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+…….(- ∞

阶导数)泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都可展成幂级数。在数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还对于此处，这里o(x^5)和o(x^6)都是可以的∵sinx继续往后展开的次数为x^7∴可以写o(x^5)，也可以写o(x^6)但是写o(x^6)对这个无穷小的阶更准确通常的展开是分别按x，x，x，..展开的∴如果展开到x^n，那么后面一般就写o(x^n)就可以了

泰勒级数展开

泰勒级数展开若干方法何琼（绍兴文理学院数学系，浙江绍兴 312000）摘要：泰勒级数的各项是由结构简单、性质明了的幂函数组成．把一个函数展开成泰勒级数或幂级数，有着广泛的应用．本文对泰勒级数的若干展开方法进行探究、综述，有助于我们对这部分知识的深入理解．关键词：泰勒级数；幂级数；余项 §１引言泰勒级数是数学分析中级数部分的重要内容，其主要内容包括两个方面：（１）幂级数的收敛理论；（２）如何把一个函数展开成泰勒级数．本文是对后者进行较全面的归纳和总结．我们知道把一个函数展开成泰勒级数的方法大致上可分为两类，即直接展开法和间接展开法．直接展开法可按下列步骤进行：第一步：求出函数的各阶导数;),(),("),(') (L L x f x f x f n 第二步：求函数?(χ)及其各阶导数在),(0x f ;),(),("),('0) (00L L x f x f x f n 第三步：写出泰勒级数 L L +?++?+ ?+n n x x n x f x x x f x x x f x f )(! )()(!2)("))((')(00)(2 00000 第四步：考察余项)(x R n 在0x 的某一领域)(0x U 内极限是否为零. 按照Taylor 定理，直接展开法是一种基本的方法，但有时是比较繁杂的方法，实际应用中通常利用间接展开法. 1 代换法这种方法的特点是：进行适当变量替换使得被展函数符合某个已知泰勒展开式．这是一种在实际应用中被广泛使用的间接展开法．例1 求x e 处1=x 的泰勒级数解已知t e 在0=t 处的泰勒级数为 L L +++++=! !212n t t t e n t ， ),(+∞?∞∈x 而 11 1?+??==x x x e e e e 设1?=x t 代入（1）得 ∑∞ =?=0 !)1(n n x n x e e ， ),(+∞?∞∈x 2 等比级数求和法利用公式 L L +++++=?n x x x x 2111 由于本公式应用广泛，所以专列一条.

麦克劳林公式展开式

麦克劳林公式展开式麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。麦克劳林简介麦克劳林,Maclaurin(1698-1746), 是18世纪英国最具有影响的数学家之一。 1719年Maclaurin在访问伦敦时见到了Newton，从此便成为了Newton的门生。 1742年撰写名著《流数论》,是最早为Newton流数方法做出了系统逻辑阐述的著作。他以熟练的几何方法和穷竭法论证了流数学说，还把级数作为求积分的方法，并独立于Cauchy以几何形式给出了无穷级数收敛的积分判别法。他得到数学分析中著名的Maclaurin级数展开式，并用待定系数法给予证明。他在代数学中的主要贡献是在《代数论》（1748，遗著）中，创立了用行列式的方法求解多个未知数联立线性方程组。但书中记叙法不太好，后来由另一位数学家Cramer又重新发现了这个法则，所以被称为Cramer法则。 Maclaurin的其他论述涉及到天文学，地图测绘学以及保险统计等学科，都取得了很多创造性的成果。 Maclaurin终生不忘牛顿Newton对他的栽培，死后在他的墓碑上刻有“曾蒙Newton的推荐”以表达他对Newton的感激之情。麦克劳林bai级数”是“泰勒级数”的du特殊形式，是展开zhi 位置为0的泰勒dao级数）。

一阶导数，系数=1/(x+1)=1/(1+x0)。二阶导数，系数=-1/(1+x)^2=-1/(1+x0)^2 数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

一些常用函数及其泰勒Taylor展开式的图像

一些常用函数及其泰勒 T a y l o r展开式的图像 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式泰勒公式，泰勒公式[1]真的非常有名，我相信上过高数课的一定都记得它的大名。即使你翘掉了所有的课，也一定会在考前重点里见过。我对它的第一映像就是比较难，而且感觉没有太多意思，就是一个近似的函数而已。最近重温了一下有了一些新的心得，希望尽我所能讲解清楚。泰勒公式的用途在看具体的公式和证明之前，我们先来了解一下它的用途，然后带着对用途的理解再去思考它出现的背景以及原理会容易许多。这也是我自学这么久总结出来的规律。泰勒公式本质解决的是近似的问题，比如说我们有一个看起来很复杂的方程，我们直接计算方程本身的值可能非常麻烦。所以我们希望能够找到一个近似的方法来获得一个足够近似的值。从这里，我们得到了两个重点，一个是近似的方法，另一个是近似的精度。我们既需要找到合适的方法来近似，同时也需要保证近似的精度是可控的。否则一切都没有意义，结合实际其实很好理解，比如我们用机床造一个零件。我们都知道世界上不存在完美的圆，实际上我们也并不需要完美，但是我们需要保证偏差是可控的，并且在一定的范围内。泰勒公式也是一样，它既可以帮助我们完成近似，也可以保证得到的结果是足够精确的。

泰勒公式的定义我们下面来看看泰勒公式的定义，我们已经知道了它的用途是求一个函数的近似值。但是我们怎么来求呢，其实一个比较朴素的思路是通过斜率逼近。举个例子：这是一张经典的导数图，从上图我们可以看到，随着Δx的减小，点P0 和P 也会越来越接近，这就带来了Δy 越来越接近Δx f'(x0)。当然，当Δx 比较大的时候显然误差就会比较大，为了缩小误差，我们可以引入二阶导数、三阶导数以及高阶导数。由于我们并不知道函数究竟可以有多少阶导数，我们不妨假设f(x)在区间内一直有(n+1)阶导数，我们试着写出一个多项式来逼近原函数：我们希望这个式子与原值的误差越小越好，究竟要多小才算足够好呢？数学家们给出了定义，希望它是