拓扑学基础测试卷

拓扑学基础测试题

1、叙述拓扑空间的定义。叙述一点紧化的定义，并验证定义的合理性。

2、叙述邻域的定义。设W是拓扑空间X的邻域。证明W是开集当且仅当它是

它的每一点的邻域。

3、叙述聚点的定义。设X={a,b,c},T={X,{a},ф}，A={a}。求A的聚点。

4、叙述拓扑基以及第二可数空间的定义。请给出一个不是第二可数空间的例子。

5、叙述并证明粘接引理。

6、叙述T1空间的定义并证明拓扑空间X是T1空间当且仅当X的单点集是闭集。

7、叙述紧致空间的定义并证明紧致空间的闭子集紧致。

8、叙述Hausdorff空间的定义并证明Hausdorff空间的紧致子集是闭集。

9、证明拓扑空间X和Y的乘积空间X ×Y是Hausdorff空间当且仅当X和Y

都是Hausdorff空间。

注：此份试卷只做参考，大家低调传阅

各位同学：

大家好！拓扑学基础试卷已印制完毕，现将试卷结构通报给大家，以期有益于大家的复习。

一、填空共10空，20分

二、判断共10题，20分

三、计算共三类题，16分

四、问答共3题，25分

五、证明共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。

提前给大家祝贺新年，最后祝大家考试成功！

李彦博

拓扑学试卷结构：一、填空，共10空，20分；二、判断，共10题，20分；三、计算，共三类题，16分；四、问答，共3题，25分；五、证明，共3题，19分，其中最后一题5分，与拓扑群相关，想拿高分者可做准备。考试时间：1月7日下午2点半至4点半，地点G721.考试结束后请同学们留在考场与李彦博老师合影。时间紧迫，希望大家积极配合，不要耽误老师回家。

点集拓扑学

点集拓扑学注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。集合概念的发展历程：集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。集合的表示方式: 1枚举法一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法用文字语言来表达构成集合的要求：某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。又比如：

拓扑学复习题与参考答案精讲

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题2分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案-拓扑学基础a

东北大学秦皇岛分校课程名称：拓扑学基础（答案）试卷： A 考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学考试日期： 2013年 7月试卷：共 3 页一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链平凡拓扑，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。（注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为无穷。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的。二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。（4分）答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分）答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<；外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=；闭包 A A =。 3．在上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。答：αβ在13处的值是4 9 。装订线装订线内不要答题学号姓名班级

点集拓扑学试题(含答案)

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③ 2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（）是X 上的拓扑. ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 答案：③ 7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（） ①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④ 8、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（）

基础拓扑学讲义11的习题答案

习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈

点集拓扑学考试题目及答案

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例） 1、拓扑空间中有限集没有聚点。答：这个说法是错误的。反例：{}c b a X ,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。 2、欧式直线1E 是紧致空间。答：这个说法是错误的。反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。 3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路

连通空间。答：这个说法是正确的。证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X 和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。答：这个说法是正确的。下面用反证法证明，反设I 与1S 同胚，则 ? ???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ? ?????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。 5、紧致性具有可遗传性质。答：这个说法是错误的。反例：[]1,0紧致但()1,0不紧致。三、证明题（每题10分，共50分）

1、规定[)111,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引理，f 连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集，但()()()()()()()0,0,0,11∞-=∞-=∞---f f 不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。 2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X 的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。 3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。

拓扑学测试题

拓扑学测试题一一、选择题（每小题2分，共10分）下列拓扑性质中，不满足连续不变性的是（） A. 列紧 B. 序列紧 C. 可数紧 D. 紧致下列拓扑性质中，没有遗传性的是（） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间下列拓扑性质中，有限积性不成立的是（） A. 1T 空间 B. 2T 空间 C. 3T 空间 D. 4T 空间设X 多于两点， 21,ττ是X 的两个拓扑，则下列命题不成立的是（） (A) 21ττ?是X 的某个拓扑的基; (B) 21ττ?是X 的一个拓扑; (C) 21ττ?是X 的一个拓扑; (D) 21ττ?是X 的某个拓扑的基。设A 为度量空间 ),(d X 的任一非空子集,则下列命题不成立的是（） (A) x 为A 的边界点当且仅当 (,)(,)0d x A d x X A =-= (B) x 为A 的聚点当且仅当 (,)0d x A = (C) x 为A 的内点当且仅当 (,)0d x X A ->; (D) A x ∈当且仅当 0),(=A x d . 二、二、判断题（每小题5分，共25分）三、仿紧空间是度量空间.（）四、商映射一定是闭映射或开映射. （）五、局部道路连通空间不一定是道路连通空间. （）

六、连通空间一定是局部连通空间. （）七、若 11:f S →连续，则 1t ?∈，使 1()f t -不可数. （）八、三、解答题（第1小题10分，第2小题15分，共25分）九、举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 十、设 {}0,1,2X =，试写出 X 上的所有拓扑. 十一、四、证明题（每小题10分，共40分）十二、若 X 满足 1T 公理，则 X 中任一子集的导集都是闭集. 十三、证明欧氏平面除去可数个点后仍是道路连通的. 十四、证明至少有两个点的T 4空间的连通子集一定是不可数集. 十五、证明 X 为Hausdorff 空间当且仅当 {(,)|}x x x X ?=∈是 X X ?的闭集. 答案一、选择题 1、A 2、D 3、D 4、C 5、B 二、是非题 1、ⅹ 2、ⅹ 3、√ 4、ⅹ 5、√ 三、解答题 1. 举例说明拓扑空间中的有限子集可以有聚点. 解例如 {}0,1X =， {},0,X τ=?， {}{}01'=. 2. 设 {}0,1,2X =，试写出X 上的所有拓扑. 解 2个开集的共有1个：{Φ,{0,1,2}}, 3个开集的共有6个： {Φ,{0},{0,1,2}},{Φ,{1},{0,1,2}},{Φ,{2},{0,1,2}}，{Φ,{1,2},{0,1,2}},{Φ,{0,1},{0,1,2}},{Φ,{0,2},{0,1,2}} 4个开集的共有9个： {Φ,{0},{0,1},{0,1,2}}，{Φ,{0},{0,2},{0,1,2}}，

上学期拓扑学考试试卷及答案

大学拓扑学考试试卷参考答案（A ）一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共15分) 1、1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（）是X 上的拓扑. A. {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T B. {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T C. {,,{},{,}}X a a b φ=T D. {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（） & A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（） A. φ B. Z C. R -Z D. R 4、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（） A. 若A φ=,则d A φ= B. 若0{}A x =,则d A X = C. 若A={12,x x },则d A X A =- D. 若12{,}A x x =,则d A A = 5、平庸空间的任一非空真子集为( ) A. 开集 B. 闭集 C. 既开又闭 D. 非开非闭 & 二、简答题（每题3分，共15分） 1、2 A 空间 2、1T 空间： 3、不连通空间 4、序列紧致空间 … 5、正规空间三、判断，并给出理由（20分，每题5分，判断2分，理由3分）

1、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（） 2、设拓扑空间X 满足第二可数性公理，则X 满足第一可数性公理（） 3、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则d A φ=（） 4、Hausdorff 空间中的每一个紧致子集都是闭集 ( ) < 四、证明题（共50分） 1、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试证明 :g f X Z →也是连续映射。(10分) 2、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. (10分) 3、设X 是Hausdorff 空间，:f X X →是连续映射.证明{|()}A x X f x x =∈=是X 的闭子集. (10分) ) 4、设X 为非空集合，令 {}{}|,C A A X C ==-??余可数其中为至多可数集试证：(1) (), X 余可数是一个拓扑空间；(5分) (2) 若X 不可数，(),X 余可数是连通空间；(5分) (3) ()X,余可数为1 T 但非2 T 空间；(5分) (4) (), X 余可数是Lindel?ff 空间(提示：即证X 的任一个开覆盖有至多可数覆盖)。(5分) /

基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑；（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理；（3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；（5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中综上所述：τ是R 上的拓扑（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈

网络基础考试试题及答案

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案。每小题2分，共50分)。 1、快速以太网的介质访问控制方法是（A ）。 A．CSMA/CD B．令牌总线 C．令牌环D．100VG-AnyLan 2、X.25网络是（A）。 A．分组交换网B．专用线路网 C．线路交换网D．局域网 3、Internet 的基本结构与技术起源于（B ） A.DECnet B.ARPANET C.NOVELL D.UNIX 4、计算机网络中，所有的计算机都连接到一个中心节点上，一个网络节点需要传输数据，首先传输到中心节点上，然后由中心节点转发到目的节点，这种连接结构被称为（ C ） A．总线结构B．环型结构 C．星型结构D．网状结构 5、在OSI的七层参考模型中，工作在第二层上的网间连接设备是（ C ） A．集线器B．路由器 C．交换机D．网关 6、物理层上信息传输的基本单位称为( B ) 。 A. 段 B. 位 C. 帧 D. 报文 7、100BASE-T4的最大网段长度是：（ B ） A.25米 B. 100米 C.185米 D. 2000米 8、ARP协议实现的功能是：（ C ） A、域名地址到IP地址的解析 B、IP地址到域名地址的解析 C、IP地址到物理地址的解析 D、物理地址到IP地址的解析 9、学校内的一个计算机网络系统，属于（ B ） A.PAN https://www.360docs.net/doc/452537940.html,N C.MAN D.WAN 10、下列那项是局域网的特征（D ） A、传输速率低 B、信息误码率高

C、分布在一个宽广的地理范围之内 D、提供给用户一个带宽高的访问环境 11、ATM采用信元作为数据传输的基本单位，它的长度为（ D ）。 A、43字节 B、5字节 C、48字节 D、53字节 12、在常用的传输介质中，带宽最小、信号传输衰减最大、抗干扰能力最弱的一类传输介质是（C ） A.双绞线 B.光纤 C.同轴电缆 D.无线信道 13、在OSI/RM参考模型中，（ A ）处于模型的最底层。 A、物理层 B、网络层 C、传输层 D、应用层 14、使用载波信号的两种不同频率来表示二进制值的两种状态的数据编码方式称为( B ) A.移幅键控法 B.移频键控法 C.移相键控法 D.幅度相位调制 15、在OSI的七层参考模型中，工作在第三层上的网间连接设备是（B ） A．集线器B．路由器 C．交换机D．网关 16、数据链路层上信息传输的基本单位称为( C ) 。 A. 段 B. 位 C. 帧 D. 报文 17、下面说法错误的是（ C ） A.Linux操作系统部分符合UNIX标准，可以将Linux上完成的程序经过重新修改后移植到UNIX主机上运行。 B.Linux操作系统是免费软件，可以通过网络下载。 C.Linux操作系统不限制应用程序可用内存的大小 D.Linux操作系统支持多用户，在同一时间可以有多个用户使用主机 18、交换式局域网的核心设备是（B ） A.中继器 B.局域网交换机 C.集线器 D.路由器 19、异步传输模式（ATM）实际上是两种交换技术的结合，这两种交换技术是（ A ） A. 电路交换与分组交换 B. 分组交换与帧交换 C.分组交换与报文交换 D.电路交换与报文交换 20、IPv4地址由（ C ）位二进制数值组成。 A.16位 B.8位 C.32位 D.64位

《基础拓扑学试卷》

《基础拓扑学试卷》试卷2 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________. 2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________. 3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间. 4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点. 5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________. 6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=. 7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________. 8. 设12n X X X X =???为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间. 9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间. 10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________. 二、单项选择题 (每小题2分, 共20分) 11. 设:,,f X Y A B Y →?, 则下面不正确的命题是（） A. 1(())A f f A -= B. 111()()()f A B f A f B ---= C. 111()()()f A B f A f B ----=- D. 111()() ()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ?, 则下面不正确的命题是( ) A. d d B A ? B. 00B A ? C. B A ''? D. B A ? 13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( ) A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一. B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.

拓扑学基础复习题

《拓扑学基础》复习题单项选择题下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ） A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集 B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集 C 、Y 中的任何一个子集A ，有1 1()()f A f A --? D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射设X 是一个拓扑空间，A X ?，则()A ?=（ D ） A 、A A -'? B 、00A A ''? C 、0()A ? D 、()X A ?- 下列拓扑性质中，没有继承性的是( D ) A 、1T 空间 B 、2T 空间 C 、3T 空间 D 、4T 空间下列有关实数空间，不正确的是（ D ） A 、它满足第一可数性公理 B 、它满足第二可数性公理 C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D 、它的任何一个子空间都是连通的设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ） A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-= B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ= C 、对x A ?∈，且有(,)B x A εφ?≠，则A 为X 中的一个开集 D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ= 填空题若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称是一个可分空间。拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质。实数空间中的有理数集Q ，则()d Q = 。设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。实数空间的一个基是 {( ,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。设X 是一个拓扑空间，D X ?，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。名词解释紧致空间：设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

基础拓扑学第4章答案

《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例子。答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。（充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y

的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻域U ，y ?的邻域V ，有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。

拓扑学基础试卷1

拓扑学基础（数学教育本科）试卷一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是 A 、)()()( B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A = 2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则 A 、]1,0[=A B 、)1,0(=A C 、)1,0[=A D 、]1,0(=A 3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么 A 、X 是T 0空间，非T 1空间 B 、X 是T 1空间 C 、X 是正则空间 D 、X 是正规空间 4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间 A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、 B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立 B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立 C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集 D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A 5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则 A 、R 是道路连通空间 B 、X 是道路连通空间 C 、R 是不连通空间 D 、X 是连通空间 6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间 A 、实数空间 B 、平庸空间 C 、包含着不可数多个点的离散空间 D 、满足第二可数性公理的空间 7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是 A 、正规?正则 B 、正则?正规 C 、正则?T 2 D 、完全正则?正则 8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质 A 、第一可数性 B 、连通性 C 、紧致性 D 、可分性 9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立 A 、可数紧致?紧致 B 、紧致?可数紧致 C 、列紧?紧致 D 、局部紧致?紧致 10、下列命题错误的是 A 、A 是闭集?A A = B 、A 是闭集A A d ??)( C 、A 是闭集?A '是开集 D 、A 是闭集?A A =

拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题一、单项选择题（每题 2 分） 1、已知X {a,b,c,d,e},下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{ a,b},{a,c,e}} ②T {X, ,{a,b,c},{a,b,d},{a,b,c,e}} ③T { X, ,{a},{ a,b}} ④T {X, ,{a},{b},{c},{d},{e}} 2、设X {a,b,c}，下列集族中,（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{a,b},{c}} ②T {X, ,{a},{a,b},{a,c}} ③T {X, ,{a},{b},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 3、已知X {a,b,c,d},下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{a},{a,b},{a,c,d}} ②T {X, ,{a,b,c},{a,b,d}} ③T {X, ,{a},{ b},{a,c,d}} ④T {X, ,{a},{b}} 4、设X {a, b, c}，下列集族中，（）是X上的拓扑? ①T {X, ,{b},{c},{a,b}} ②T {X, ,{a},{b},{a,b},{a,c}} ③T {X, ,{a},{b},{a,c}} ④T {X, ,{a},{b},{c}} 5、已知X {a,b,c,d},下列集族中，（）是X上的拓扑? ① T {X, ,{a,b},{a,c,d}} ② T {X, ,{a,b},{a,c,d}} ③ T {X, ,{a},{b},{a,c,d}} ④ T {X, ,{a},{c},{a,c}} 6、设X {a,b,c}，下列集族中，（）是X上的拓扑? ① T {X, ,{a},{b},{b,c}} ② T {X, ,{a,b},{b,c}} ③ T {X, ,{a},{a,c}} ④ T {X, ,{a},{b},{c}}

拓扑学A卷

第 1 页共 1 页拓扑学 A 卷注：一、二题答在试题上，三题答在答题纸上. 一、填空题（每小题2分，共20分） 1，实数空间R 的度量是 . 2，设X 是拓扑空间，则它的开集的个数最少为 . 3，拓扑学的中心任务是研究 . 4，设X ={ 0, 1}，拓扑?={φ，{0}，X }，则 1 的邻域系为 . 5，R 是实数空间，A ={ 1 n }n Z +∈，则()d A = . 6，设X 是拓扑空间，A X ?，若()A ?={2，3}，则('A ?)= . 7，设{1,2,3,4}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φ?=，{2,4}Y =，则Y ?= . 8，平庸空间的任何一个商空间都是空间. 9，设1C ，2C 是拓扑空间X 仅有的两个不同的连通分支，则12C C = . 10，设X 是拓扑空间，A X ?，A 的邻域的定义是 . 二、选择题（每小题4分，共32分） 1，下列（）不是R 中的开集. A. [0, )+∞ B. (3,- 0) C. (3,- 0) (0, )+∞ D. (,-∞ )+∞ 2，设{,X a = }b ，则X 有（）个拓扑. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3，设X 是拓扑空间，D X ?，则下列关系正确的为（）. A. ()d D D ? B. D D ? C. D D ? D. ()D D ?? 4，设X 是多于一点的平庸空间，{}i x 为X 中的序列，下列说法正确的是（）. A. {}i x 不收敛 B. {}i x 收敛且极限唯一 C. {}i x 收敛但极限不唯一 D. {}i x 可能收敛也可能不收敛 5，设1{(,1)12}Y x x =-≤≤，2{(,1)}Y x x R =∈，3{(0,)}Y y y R =∈，下列（）是2R 的连通子集. A . 12Y Y B. 23Y Y C. 31Y Y D. 123Y Y Y 6，设X 是离散拓扑空间，且{1,2,3}X =，则X 的连通分支的个数是（）. A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 7，下列（）可遗传. A. 平庸空间 B. 连通空间 C. Lindeloff 空间 D. 4T 空间 8，设{1,2,3}X =，拓扑{,{1},{2.3},}X φ?=，则(,)X ?不是（）. A. 2A 空间 B. 可分空间 C. 1T 空间 D. 正则空间三、证明题(每小题8分，共48分） 1，证明：仅含有有限个点的度量空间都是离散的度量空间. 2，设(,)X ?是拓扑空间，∞是任何一个不属于X 的元素, 令 {}X X *=∞ , {{}}{}A A φ*?=∞∈? . 证明: (,)X * * ?是拓扑空间. 3，设X , Y 是拓扑空间，证明：积空间X Y ?同肧于积空间Y X ?. 4，设Y 是多于一个点的离散空间，证明：若X 为连通空间，则每一个连续映射 :f X Y →都是常值映射。 5，设X 是一不可数集，拓扑{'u X u ?=?可数}{}φ . 证明：(,)X ?不是1A 空间. 6，设X 是0T 空间，Y 是拓扑空间. 证明：如果:f X Y →为同肧映射, 则Y 也是0T 空间.

拓扑学复习题与参考答案

点集拓扑学练习题一、单项选择题(每题2分) 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T ③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 2、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T 4、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T ③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T 6、设{,,}X a b c =,下列集族中,( )就是X 上的拓扑、 ① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T ③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T 7、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )

北京理工大学数学专业一般拓扑学期末试题(MTH17083)

课程编号：MTH17083 北京理工大学2015-2016学年第二学期 2013级一般拓扑学A 卷一、选择题（15分） 1.已知{},,,,X a b c d e =，下列集族中，（）是X 上的拓扑。 ①{}{}{}{},,,,,,,T X a a b a c e φ= ②{}{}{}{},,,,,,,,,,,T X a b c a b d a b c e φ= ③{}{}{},,,,T X a a b φ= ④{}{}{}{}{}{},,,,,,T X a b c d e φ= 2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（） ①平庸性 ②连通性 ③离散性 ④第一可数性公理 3.设{}{}{}1,2,3,,,1,3X T X φ==，则(),X T 是（） ①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对 4.下列叙述中正确的个数为（） ①1 ②2 ③3 ④4 （Ⅰ）单位圆周1 S 是连通的（Ⅱ）{}0- 是连通的（Ⅲ）(){}20,0- 是连通的（Ⅳ）2 和同胚 5.拓扑空间X 的任何一个有限集都是（）①闭集 ②紧致子集 ③非紧致子集 ④开集二、判断题（15分） 1.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。 2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。 3.设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭集A,B ，使得,A B A B X φ== 。 4.具有可数基的正则空间是正规空间。 5.在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。三、（30分）设X 为一个集合，a X ∈，令{}{},c X G G a G τφ=? 为有限集或。试证明（1）(),X τ为一个拓扑空间；（2）(),X τ为T 2拓扑空间；（3）(),X τ是否为A 1空间？试分别对X 是有限集，可数集情况进行讨论。四、（10分）设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，Y X ?。证明：如果A Y A ??，则Y 也是X 的一个紧致子集。五、（10分）设X 是Hausdorff 空间，:f X X →为一连续映射，试证明其不动点集(){}Fixf x X f x x =∈=是一个闭集。六、（10分）如果:f X Y →是一个闭的双射（即一一映射），而X 是Hausdorff 空间，则Y 也是Hausdorff 空间。七、（10分）设X 为拓扑空间，记(){} F x F F x =是的闭邻域，则X 为T 2空间当且仅当(){},F F x x X F x ∈?∈= 。