《概率论与数理统计》科学出版社课后习题答案

（概率课后习题答案详解）

1

第二章 随机变量

2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36

1/18

1/12

1/9

5/36

1/6

5/36

1/9

1/12

1/18

1/36

2.2解：根据1)(0

==∑∞

=k k X

P ，得10

=∑∞

=-k k

ae

，即

111

1

=---e

ae

。

故 1-=e a

2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 0

1

1

2

2

02

02

11

11

20

20

2

222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C

C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多

P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

（概率课后习题答案详解）

2

1

2

2

1

11

02

20

02

20

11

2

222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C

C C C C C ?+?+?=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=1232151515

5

++=

(2) P {0.5

2115

15

5

+=

2.5

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k

+++ =1

1[1()]

14413

14

k

k lim →∞-=-

（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=11

112

4

4

--=

2.6解：设i

A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，

1，2

123412131241

23{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====181716151220191817

19

???=

1123412342341234{1}{}{}{}{}21817161821716181821618171623220191817

20191817

20191817

20191817

95

P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???=

12323{2}1{0}{1}119

95

95

P X P X P X ==-=-==-

-

=

2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)

3

4

3

1

4

4

4(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C

C ≥==+==

+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)

（概率课后习题答案详解）

3

3

4

5

32

41

50

5

55(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C

C C ≥==+=+==

++=

2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)

1.5

1.5

{0}0!

P X e

-==

= 1.5

e

-

（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)

1

2

2

2

2

2

{2}1{0}{1}1130!

1!

P X P X P X e

e

e

---≥=-=-==-

-

=-

2.9解：设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X

。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于0.99，即

99

.0)(≥≤m X P ，也即

01

.0)1(≤+≥m X P

因为n =180较大，p =0.01较小，所以X 近似服从参数为

8.101.0180=?=λ的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。 故应至少配备6名设备维修人员。

（概率课后习题答案详解）

4

2.10解：一个元件使用1500小时失效的概率为

3

110001000)15001000(1500

1000

1500

1000

2

=

-

==

≤≤?

x

dx x

X P

设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)

3

1

,5(~B Y 。

所求的概率为

329

.03

80)32()31()2(532

25==?==C Y P

2.11解：(1)2ln )2()2(==

101)0()3()30(=-=-=<

25

.1ln 2ln 5.2ln )2()5.2()5.22(=-=-=≤

(2)

??

?<≤='=-其它

1)()(1

e x x x F x f

2.12

解：(1)由1)(=+∞F 及)0()(lim 0

F x F x =→，得???=+=0

1

b a a ，故

a =1,

b =-1.

(2)

?????<≥='=-0

0)()(2

2

x x xe

x F x f x

(3)

)

4ln ()16ln ()16ln 4ln (F F X P -=<<

（概率课后习题答案详解）

5

25

.04

1)1()1(2

4ln 2

16ln ==

---=-

-e

e

2.13（1）

假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

1

12

2

3

4

0.8

0.8

{0.81}12(1)(683)0.0272|

P X x x dx x x x <≤=

-=-+=?

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

1

12

2

3

4

0.9

0.9

{0.91}12(1)(683)0.0037

|

P X x x dx x x x <≤=

-=-+=?

2.14解:要使方程0

3222

=+++K Kx x

有实根则使

0)32(4)

2(2

≥+-=

?K K

解得K 的取值范围为],4[]1,[+∞--∞ ,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

3

1)

2(4]

34)2(1[=---+---=

p

2.15解：X~P(λ)= P(1200

)

(1)

1

11100100

200

200

2

1{100}1200

|

x P X e

dx e

e

-

--

≤=

==-?

（概率课后习题答案详解）

6

（2）113200

200

2

300

300

1{300}200

|

x P X

e

dx e

e

-

-

∞

-

∞

≥=

==?

（3）1113300

300

200

200

2

2

100

100

1{100300}200

|

x P X e

dx e

e

e

-

-

-

-

≤

≤=

==-?

1132

2

2

{100,100300}{100}{100300}(1)()P X X P X P X e e e

---≤≤≤=≤≤≤=--

2.16解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E (0.5)，则一个人打电话超过10分钟的概率为

5

10

5.010

5.05.0)10(-+∞-+∞

-=-==

>?

e

e

dx e

X P x

x

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则

),282(~5

-e

B Y 。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9

.12825

≈?=-e

λ的泊松分布。

所求的概率为

)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P

56625

.09.219.119

.19

.19

.1=-=--=---e

e

e

2.17解：(1))

42.0(1)42.0()12

110

105(

)105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X

P

3372

.06628.01=-=

（概率课后习题答案详解）

7

(2))

12

110

100(

)12

110

120(

)120100

(-Φ--Φ=≤≤X P

5934

.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-?=-Φ=-Φ-Φ=

2.18解：设车门的最低高度应为a 厘米，X~N(170,62)

{}1{}0.01170{}(

)0.99

6

P X a P X a a P X a ≥=-≤≤-≤=Φ≥

170 2.336

a -=

184

a ≈厘米

2.19解：X 的可能取值为1,2,3。

因为6.010

6)1(35

2

4==

=

=C

C X

P ；

1.010

11)3(35

==

=

=C

X P ；

所以X 的分布律为

X 的分布函数为

3

.01.06.01)2(=--==X P

（概率课后习题答案详解）

8

???

??

?

?≥<≤<≤<=31329.02

16.010

)(x x x x x F 2.20(1)

2

2

{0}{}0.2

2

{}{0}{}0.30.40.73{4}{}0.1

2

P Y P X P Y P X P X P Y P X π

ππππ===

====+==+====

=

Y

0 2

π

42

π

i q

0.2

0.7 0.1

(2)

{1}{0}{}0.30.40.73{1}{}{}0.20.10.3

2

2

P Y P X P X P Y P X P X ππ

π=-==+==+====

+=

=+=

Y

-1 1 i q

0.7

0.3

2.21（1）

（概率课后习题答案详解）

9

当11x -≤<时，(){1}0.3F x P X ==-=

当12x ≤

<时，(){1}{1}0.3{1}0.8F x P X P X P X ==-+==+==

{1}0.80.30.5P X ==-=

当2x ≥时，(){1}{1}{2}0.8{2}1F x P X

P X P X P X ==-+=+==+==

{2}10.80.2P X ==-=

X -1 1 2 P 0.3

0.5

0.2

（2）

{1}{1}{1}0.30.50.8

P Y P X P X ===-+==+=

{2}{2}0.2P Y P X ====

Y

1 2 i q

0.8

0.2

2.22~(0,1)X

N

∴2

2

()x

X f x -=

（1）设F Y (y)，()Y

f y 分别为随机变量

Y 的分布函数和概率密度函

数，则

（概率课后习题答案详解）

10

2

1

22

1(){}{21}{}2

y x

Y y F y P Y y P X y P X dx

+-

-∞

+=≤=-≤=≤

=

?

对()

Y

F

y 求关于y

的导数，得2

2

1(

)

(1)28

2

1()(

)2

y y Y

y f

y ++-

-

+'=

=

(,)y ∈-∞∞

（2）设F Y (y)，()Y

f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函

数，则 当0y ≤时，(){}{}{}0

X

Y

F

y P Y y P e

y P -=≤=≤=?=

当0y >时，有

2

2

ln 1(){}{}{ln }{ln }x

X

Y y

F y P Y y P e

y P X y P X y dx

∞-

--=≤=≤=-≤=≥-=

?

对()

Y

F

y 求关于y 的导数，得

2

2

(ln )

(ln )2

2

(ln )()0

y y Y y f y ---

?'-

-=

?=?

??

y>0

y 0

≤

（3）设F Y (y)，()Y

f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函

数，则 当y 0≤时，2

(){}{}{}0Y

F

y P Y y P X

y P =≤=≤=?=

（概率课后习题答案详解）

11

当y>0

时，2

2

2

(){}{}{x

Y

F y P Y y P X y P X dx

-

=≤=≤=≤≤=

对()

Y

F

y 求关于y

的导数，得

2

(ln )2

()0

y Y f y -

?''-

=

=?

y>0

y 0

≤

2.23 ∵π X U(0,)∴

1()0X f x π

??

=???

0x π

<<其它

（1）

2ln y π<<∞当时

2

(){}{2ln }{ln }{}0Y F y P Y y P X y P X

y P =≤=≤=≤=?=

2ln y π-∞<≤当

时

22

2

1

(){}{2ln }{ln }{}{y

e y

Y F y P Y y P X y P X

y P X

e P X dx

π

=≤=≤=≤=≤=≤

=

?

对()

Y

F

y 求关于y 的导数，得到

22

11()()20y y

Y e e f y ππ

?'=

?=???

2ln 2ln y y π

π-∞<≤<<∞

（概率课后习题答案详解）

12

（2）

≥≤当y 1或 y -1时，(){}{cos }{}0

Y F y P Y y P X y P =≤=≤=?= 11y -<<当时,arccos 1

(){}{cos }{arccos }Y y

F y P Y y P X y P X y dx ππ

=≤=≤=≥=

?

对()

Y

F

y 求关于y 的导数，得到

1

(arccos )()0

Y y f y π?'-=?=???

11

y -<<其它

（3）≥≤当y 1或 y 0时

(){}{sin }{}0

Y F y P Y y P X y P =≤=≤=?=

01y <<当时，

arcsin 0

arcsin (){}{sin }{0arcsin }{arcsin }1

1

Y y y

F y P Y y P X y P X y P y X dx dx

π

π

πππ

π

-=≤=≤=≤≤+-≤≤=

+

?

?

对()

Y

F

y 求关于y 的导数，得到

1

1arcsin (arcsin )()0

Y y y f y πππ?''--=?=???

01

y <<其它

（概率课后习题答案详解）

13

第三章 随机向量

3.1 P{1

3.2

3.4（1）a=19

（2）

512

（3）

11112

11

1{(,)}(6)[(6)]9

9

2

|

y y P X Y D dy x y dx y x x dy

--∈=--=

--

?

?

?

1

1232

01

11111188(65)(35)9229629327

|y y dy y y y =-+=-+=?=?

（概率课后习题答案详解）

14

3.5解：（1）

(2)

222000

(,)22(|)(|)(1)(1)

y x y x

u v v

u

v

y u

x y

x

F x y e

dudv e dv e

du e

e

e

e

-+------=

=

=--=--??

?

?（2）

(2)

2200

22323000

()222(|)2212(1)(22)(|)|13

33

x x

x y x

v

x

y

x

x

x

x

x

x

x

P Y X e

dxdy e

dx e dy e e

dx e

e

dx e

e

dx e

e

∞∞∞-+----∞∞-----∞

-∞

≤===

-=

-=

-=-+

=-

=??

?

??

?

?

3.6解：2

2

2

22

22

222

22

1

()(1)

(1)

a x y a

r

P x

y a d dr

x y r πθππ+≤+≤=

=+++??

?

?

222

22

2

2

2

1

1

11

1(1)21(1)

2(1)

11|

a a a

d d r r r a

a

πθπππ

=

+=-

??

=-

=

++++?

?

3.7参见课本后面P227的答案 3.8

3

1112

33()(,)2

2

3

2

|

X y

x f x f x y dy x y dy x

=

=

=

=

?

?

2222

2

2

2

331()(,)32

2

2

|

y f y f x y dx x y dx y

x

y

=

=

=

=?

?

,

()20,X x f x ??=???

02x ≤≤其它

23()0

Y y f y ?=??01

y ≤≤其它

3.9解：X 的边缘概率密度函数()X

f

x 为：

（概率课后习题答案详解）

15

①当10x x ><或时，(,)0f x y =，

()0X f x =11

2

2

2

2

111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[1

2]

2

2

2

10

01() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)

||Y y

y

x x

X f y y x dx y x x y y y y y y f x y x dy y x x x =

-=-

=-+

><≤≤=

-=-=-?

?

或

②当01x ≤

≤时，2

2

() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)

|x

x

X f x y x dy y x x x =

-=-=-?

Y 的边缘概率密度函数()Y

f

y 为：

① 当10y y ><或时，(,)0f x y =，()0

Y

f y =

② 当01y ≤

≤时，

11

2

2

111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[1

2]

2

2

2

|Y y

y

f y y x dx y x x y y y =

-=-

=-+

?

2

2.4(34)y y y =-+

3.10 （1）参见课本后面P227的答案 （2）

2

6()0

x x X dy

f x ??

=????

01x ≤≤其它

6=0

x x ???（

1-） 01x ≤≤其它

()0

y Y dx f y ??=??? 01y ≤≤其

它6=0y ???

??）

01

y ≤≤其它

3.11参见课本后面P228的答案

（概率课后习题答案详解）

16

3.12参见课本后面P228的答案 3.13（1）

220()()30X xy x dy f x ?+?=???? 01x ≤≤其它2223

0x x

?+?=???

01x ≤≤其它 120()()3

0Y xy

x dx f y ?+

?=???

?

02

y ≤≤其它

1=360y ?+????

02

y ≤≤其它

对于02y ≤

≤时，()0

Y f y >，

所以

2|3

(,)1(|)()360

X Y Y xy

x f x y y

f x y f y ?+??

==?+???

01x ≤≤其它26+220x x y

y ??+??=?????

01

x ≤≤其它 对于01x ≤

≤时，()0X f x >

所以22|3

(,)2(|)2()30

Y X

X xy x f x y x

f

y x x f x ?+??

==?+???

02

y ≤≤其它

3620

x y x +??+??=?????

02

y ≤≤其它

1

1

1

222|0

00

113311172

2{|}(|

)12

2

2

5

40

62

2

Y X y

y

P Y X f y dy dy dy ?+?

+<==

=

==

?

+?

?

?

（概率课后习题答案详解）

17

3.14

由表格可知 P{X=1;Y=2}=0.25≠P{X=1}P{Y=2}=0.3225 故}{}P{};P{y Y x X y Y x X i

i

i

i

P ===

=≠

所以X 与Y 不独立 3.15

（概率课后习题答案详解）

18

由独立的条件}{}P{};P{y Y x X y Y x X i

i

i

i

P =====则

}2{}2P{X }2;2P{X =====Y P Y

}3{}2P{X }3;2P{X =====Y P Y

1}P{X

==∑i

可以列出方程

a a

b a =+++)9

1)(

31(

b

b a b =+++)31)(181(

13

13

1=+++b a

0,0≥≥b a

解得9

1,9

2=

=

b a

3.16 解（1）在3.8中()2

0X x f x ??

=???

02

x ≤≤其它

23()0

Y y f y ?=??01

y ≤≤其它

当02x ≤≤，

01y ≤≤时，()()

X Y f x f y 2

3(,)2

x y f x y

==

（概率课后习题答案详解）

19

当2x >或0x <时，当1y >或0y <时，()()X

Y f x f y 0(,)f x y ==

所以， X 与Y 之间相互独立。 （2）在3.9中，

22.4(2)

()0

X x x f x ?-=?

?

01x ≤≤其它

22.4(34)

()0

Y y y y f y ?-+=??

01y ≤≤其它

当01x ≤≤，01y ≤≤时，

()()X Y f x f y 2

2

2

2

2.4(2)2.4(34) 5.76(2)(34)x x y y y x x y y y --+=--+=

(,)f x y ≠ ，所以X 与Y 之间不相互独立。

3.17解： xe y xe

f

x

x

x

dy dy y x f x -+∞

∞

-+∞

-==

=

?

?+02

)

1(1

),()(

)

1()

1(2

2

1

1

),()(y y xe

f

dx dy y x f y x

y

+?

?+==

=

+∞

∞

-+∞

-

)

,(1

)()()

1(2

y x f y x y xe

f

f

x

y

x

==

+?-

故X 与Y 相互独立

3.18参见课本后面P228的答案

（概率课后习题答案详解）

20

第四章 数字特征

4.1 解：()1i

i i

E X x

p ==∑

()0.9i

i i

E Y y

p =

=∑

∵甲机床生产的零件次品数多于乙机床生产的零件次品数，又∵两台机床的总的产量相同 ∴乙机床生产的零件的质量较好。 4.2 解：X 的所有可能取值为：3，4，5

35

1

{3}0.1P X C

==

=

2335

{4}0.3P X C

C ==

=

2435

{5}0.6P X C C

==

=

()30.140.350.6 4.5i

i i

E X x

p =

=?+?+?=∑

4.3参见课本230页参考答案 4.4解：