【步步高】2015高考数学(广东专用,理)一轮题库：第9章 第1讲 直线方程和两直线的位置关系]

第九章 解析几何

第1讲 直线方程和两直线的位置关系

一、选择题

1．已知直线l 的倾斜角α满足条件sin α＋cos α＝1

5，则l 的斜率为( )

A.43

B.34 C ．－43 D ．－34 解析 α必为钝角，且sin α的绝对值大，故选

C. 答案 C

2．经过两点A (4,2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角为

3π

4

，则y ＝( )． A ．－1 B ．－3 C ．0 D ．2 解析 由

2y ＋1－－

4－2

＝

2y ＋4

2

＝y ＋2， 得：y ＋2＝tan 3π

4

＝－1.∴y ＝－3. 答案 B

3．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是

( )．

A.??????

π6，π3 B.? ????

π6，π2 C.

? ??

??

π3，π2

D.????

??π6，π2 解析 如图，直线l ：y ＝kx －3，过定点P (0，－3)，又A (3,0)，∴k P A ＝33，则直线P A 的倾斜角为π

6，满足条件的直线l 的倾斜角的范围是? ????

π6，π2.

答案 B

4．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )．

A ．x －2y ＋4＝0

B ．2x ＋y －7＝0

C ．x －2y ＋3＝0

D ．x －2y ＋5＝0

解析 由题意可设所求直线方程为：x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0. 答案 A

5．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( )． A ．[0，π) B.??????

π4

，π2

C. ??????π4

，3π4

D.??????π4

，π2∪? ????

π2，3π4

解析 (直接法或筛选法)当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π

2

； 当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1

cos θ

.

∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)． ∴tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈??????π4，π2∪? ????π2，3π4.

综上知，倾斜角的范围是??????

π4，3π4.

答案 C

6．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝

( )．

A ．4

B ．6

C.345

D.365

解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的中垂线，于是?????

3＋n 2＝2×7＋m 2－3，

n －3m －7

＝－1

2，

解得?????

m ＝35，n ＝31

5.故m ＋n ＝34

5.

答案 C 二、填空题

7．若A (－2,3)，B (3，－2)，C (1

2，m )三点共线，则m 的值为________．

解析 由k AB ＝k BC ，即

－2－33＋2＝m ＋212

－3，得m ＝1

2

. 答案 1

2

8．直线过点(2，－3)，且在两个坐标轴上的截距互为相反数，则这样的直线方程是________．

解析 设直线方程为为x a －y

a ＝1或y ＝kx 的形式后，代入点的坐标求得a ＝5

和k ＝－3

2

.

答案 y ＝－32x 或x 5－y

5

＝1

9．已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0与直线l 2：2x ＋(a －1)y ＋1＝0垂直，则实数a ＝________.

解析 由两直线垂直的条件得2a ＋3(a －1)＝0，解得a ＝3

5. 答案 35

10．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为213

13，则c ＋2a 的值为________．

解析 由题意得，36＝－2a ≠－1

c ，∴a ＝－4且c ≠－2， 则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c

2＝0，

由两平行线间的距离，得21313＝?

????

?c 2＋113，

解得c ＝2或c ＝－6，所以c ＋2

a ＝±1. 答案 ±1 三、解答题

11．已知直线l 过点M (2,1)，且分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B 两点，O 为原点，是否存在使△ABO 面积最小的直线l ？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

解 存在．理由如下．

设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则A ? ?

???2－1k ，0，B (0,1－2k )，

△ AOB 的面积S ＝12(1－2k )

? ?

???2－1k ＝12?

?????4＋－4k

＋? ????－1k ≥1

2

(4＋4)＝4. 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－1

2时，等号成立，

故直线l 的方程为y －1＝－1

2(x －2)，即x ＋2y －4＝0.

12．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点． (1)点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．

解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，

∴

|10＋5λ－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2

＝3.解得λ＝2或λ＝

1

2. ∴l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0. (2)由?

??

2x ＋y －5＝0，

x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，

如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到l 的距离， 则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)．

∴d max ＝|P A |＝10.

13．已知直线l 过点P (2,3)，且被两条平行直线l 1：3x ＋4y －7＝0，l 2：3x ＋4y ＋8＝0截得的线段长为d . (1)求d 的最小值；

(2)当直线l 与x 轴平行，试求d 的值．

解 (1)因为3×2＋4×3－7>0,3×2＋4×3＋8>0，所以点P 在两条平行直线l 1，l 2外．

过P 点作直线l ，使l ⊥l 1，则l ⊥l 2，设垂足分别为G ，H ，则|GH |就是所求的d 的最小值．由两平行线间的距离公式，得d 的最小值为|GH |＝|8－(－7)|32＋42＝3.

(2)当直线l 与x 轴平行时，l 的方程为y ＝3，设直线l 与直线l 1，l 2分别交于点A (x 1,3)，B (x 2,3)，则3x 1＋12－7＝0,3x 2＋12＋8＝0，所以3(x 1－x 2)＝15，即x 1－x 2＝5，所以d ＝|AB |＝|x 1－x 2|＝5.

14．已知直线l 1：x －y ＋3＝0，直线l ：x －y －1＝0.若直线l 1关于直线l 的对称直线为l 2，求直线l 2的方程． 解 法一 因为l 1∥l ，所以l 2∥l ， 设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 直线l 1，l 2关于直线l 对称， 所以l 1与l ，l 2与l 间的距离相等． 由两平行直线间的距离公式得

|3－(－1)|2＝|m －(－1)|

2

， 解得m ＝－5或m ＝3(舍去)． 所以直线l 2的方程为x －y －5＝0.

法二 由题意知l 1∥l 2，设直线l 2：x －y ＋m ＝0(m ≠3，m ≠－1)． 在直线l 1上取点M (0,3)，

设点M 关于直线l 的对称点为M ′(a ，b )， 于是有?????

b －3

a ×1＝－1，a ＋02－

b ＋3

2－1＝0，

解得???

a ＝4，

b ＝－1，

即M ′(4，－1)．

把点M′(4，－1)代入l2的方程，得m＝－5，所以直线l2的方程为x－y－5＝0.