郑州大学 2008-2009 学年第一学期模拟试卷

郑州大学软件学院《线性代数》课程试题 2008-2009学年第一学期（【模拟试卷】）

（适用专业： 考试时间：）

合分人：复查人：

一、 填空题：【每空2分，共16分】

1．设A 为4阶方阵且A ＝3，则1-A ＝___31_____; A 2=___48______.

2．设A ＝?????

??-2222

22

22，则1-A ＝????

?

??-222222

22

__________; 3．设A ，B 均为n 阶方阵，且R （A ）＝2，R （B ）＝n, 则R （AB ）=___2_____;

4．设A 为可逆方阵，k 为实数，则kA 为可逆矩阵的充要条件是____k ≠0_______;

5．实对称阵的属于不同特征值的特征向量必___正交_________;

6．设A 与B 合同，则R （A ）___＝_____R(B);

7．与二次f(),32,1x x x =2

321212x x x -+χ对应的实对称阵有___1______个正的特征值。

二、 是非判断题：（正确打√，错误打×）【每空2分，共10 分】

1．设A 的第1、2、。。。。9列分别是B 的第9、8.。。。1列，且A 与B 均为9阶方阵，则

A ＝

B （∨）

； 2．设A 与B 是同阶方阵，若A ＝B ，则A ＝B （×）； 3.任意方阵都与n 阶对角阵相似。（×）；

4.若方程组A X =b 导出组A X =O 有无穷多解，则A X =b

必有无穷多解（×）；

5.若A 与B 为同阶正定阵，则A 与B 必合同。（∨）。

三、 【，共 26分】

1. 计算D ＝

3

2

22

23222

232

2223

（ 8分）

D ＝

3222232222322223＝32292329223922

29＝9322123212231222

1＝9×1

00001000

010222

1＝9 2. 求满足方程

????

??????---=????????????????????021102341010100001100001010X 的矩阵X （10分）

X ＝??

??

?

?????---201431012 3.确定参数t,使得矩阵A ＝????

?

?????-52100142t t t 的一个特征值为1

（8分） =)1(A f E A λ-=9(6-2t )=0 ∴t=±6

四、 （共10 分）

设向量组：1α ＝（1，3，－1，2），2α

＝（2，1，4，－3），

3α

＝（0，5，－6，7）

，4α ＝（3，4，3，－1）. 问1α ，2α ，3α

，4α 是否线性相关？若线性相关，求其极大无关组并

将其余向量用该无关组线性表出。

(T 1α ,T 2α ,T 3α ,T 4α )=??????? ??----1732364145133021→??

???

???????-000

1100

0010

300

1 1α ，2α ，3α 为最大无关组，4α ＝31α －3α

五、 （共 10 分）

当a,b 取何值时，方程组：

??????

?=-+++=+++=-+++=++++b

x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325

432154321334536223231 有解？在有解的情况下，求它的通解。

??????? ?

?--b a 1

334536221031123111111→?

?

???

???????-200

000

0000036221011111

1b a 所以当a=0,b=2时方程 组有解。?????????

???00

0000

000000362210

111111→?

?

???

?

??????----000000000000362210251101

?

??????? ??54321x x x x x ＝1k ??

?????? ??-00121＋2

k

???????? ??-01021＋3k ???????? ??-10065＋?????

??

?

??-00032 （1k ，2k ，3

k ∈R ）

六、 （共 14 分）

求一个正交线性变换Y T =X

，将二次型

f(),32,1x x x =221x ＋32

2x ＋323x ＋22x 3x 化为标准形

解：A ＝???

?

?

??310130002，E A λ-＝λλλ---310130002＝－())4(22--λλ＝0

,221==λλ3λ＝4

当,221==λλ时，=1ξ????? ??001，=2ξ????? ??-110 ；令1p

＝?

???? ??001，2p ＝21????

?

??-110

当3λ＝4时，=3ξ????? ??110，3p

＝21?????

??110 T ＝????

??

?

??-21210

2121

0001所求正交 变换为Y T =X f ==Y T X

22

3

222142y y y ++

七、 （共 14 分）

1. 设A 为方阵，试证明：A 与T A 有相同的特征值

证明：E A λ-＝)('-E A λ＝E A λ-'，所以A 与T A 的特征多形式相同，从而有相同的特征值。

2. 设n 阶方阵A 满足方程：O E A A =--232。试证明A 可逆并求1-A

证：因为 A （A －3E ）＝2E 所以 A （

2

3E

A -）＝E 故A 可逆，且1-A ＝

2

3E

A -

郑州大学软件学院《【科目】》课程试卷

答 题 纸

一、 【题型】：（说明：比如【每空 1 分，共

分】） 1．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

2．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

3．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍------------------------------- -----------------------------

4．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍---------------------------------- -----------------------------

5．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

6．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍---------------------------------

7．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍----------------------------------- --------------------------------

8．﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍

二、【题型】：（说明：比如【每空 1 分，共

分】）