排列组合经典练习答案

排列与组合习题

1．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为() A．40B．50C．60D．70

[解析]先分组再排列，一组2人一组4人有C26＝15种不同的分法；两组各3人共有C36

A22＝10种不

同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50，故选B.

2．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A．36种B．48种C．72种D．96种

[解析]恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共A33A24＝72种排法，故选C.

3．只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()

A．6个B．9个C．18个D．36个

[解析]注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C13＝3(种)选法，即1231,1232,1233，而每种选择有A22×C23＝6(种)排法，所以共有3×6＝18(种)情况，即这样的四位数有18个．

4．男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有()

A．2人或3人B．3人或4人C．3人D．4人

[解析]设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得C2n C18－n＝30，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生为2人或3人．

5．某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则方法有()

A．45种B．36种C．28种D．25种

[解析]因为10÷8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C28＝28种走法．

6．某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有() A．24种B．36种C．38种D．108种

[解析]本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C13种分法，然后再分到两部门去

共有C13A22种方法，第三步只需将其他3人分成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C13种方法，由分步乘法计数原理共有2C13A22 C13＝36(种)．

7．已知集合A＝{5}，B＝{1,2}，C＝{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()

A．33 B．34 C．35 D．36

[解析]①所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C12·A33＝12个；

②所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C12·A33＋A33＝18个；

③所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C13＝3个．

故共有符合条件的点的个数为12＋18＋3＝33个，故选A.

8．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是() A．72 B．96 C．108 D．144

[解析]分两类：若1与3相邻，有A22·C13A22A23＝72(个)，若1与3不相邻有A33·A33＝36(个)

故共有72＋36＝108个．

9．如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有()

A．50种B．60种C．120种D．210种

[解析]先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，甲任选一种为C16，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A25种，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C16·A25＝120种，故选C.

10．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答)

[解析]先安排甲、乙两人在后5天值班，有A25＝20(种)排法，其余5人再进行排列，有A55＝120(种)排法，所以共有20×120＝2400(种)安排方法．

11．今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)

[解析]由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C49·C25·C33＝1260(种)排法．

12．将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服

务，不同的分配方案有________种(用数字作答)．

[解析] 先将6名志愿者分为4组，共有C 26C 24A 22种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A 44

种分法，故所有分配方案有：C 26·C 24A 22

·A 44＝1 080种． 13．要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)．

[解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法．若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，∴有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种．

14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种

【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有

种方法，共有种，故选B.

15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有

A. 504种

B. 960种

C. 1008种

D. 1108种 解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有4

414222A A A ?种方法

甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有)(43313134422A A A A A +种方法 故共有1008种不同的排法

16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是

（A ）72 （B ）96 （C ） 108 （D ）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m

解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m

①若5在十位或十万位，则1、3有三个位置可排，322

32A A ＝24个

②若5排在百位、千位或万位，则1、3只有两个位置可排，共32222A A ＝12个

算上个位偶数字的排法，共计3(24＋12)＝108个

答案：C

17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为

A.10

B.11

C.12

D.15

18. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是

A ．152 B.126 C.90 D.54

【解析】分类讨论：若有2人从事司机工作，则方案有2333

18C A ?=；若有1人从事司机工作，则方案有1233

43108C C A ??=种，所以共有18+108=126种，故B 正确 19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种 解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112536225C C C ??=种选法;

(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为

.18A .24B .30C .36D

【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是24C ，顺序有33A 种，而甲乙被

分在同一个班的有33A 种，所以种数是2334

3330C A A -= 21. 2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 60

B. 48

C. 42

D. 36

【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62223=A C 种不同排法），

剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；则男生甲必须在A 、B 之间（若甲在A 、B 两端。则为使A 、B 不相邻，只有把男生乙排在A 、B 之间，此时就不能满足男生甲不在两端的要求）此时共有6×2＝12种排法（A 左B 右和A 右B 左）最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，所以，共有12×4＝48种不同排法。

解法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆”在一起记作A ，（A 共有62223=A C 种不同排法），

剩下一名女生记作B ，两名男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：

第一类：女生A 、B 在两端，男生甲、乙在中间，共有22226A A =24种排法；

第二类：“捆绑”A 和男生乙在两端，则中间女生B 和男生甲只有一种排法，此时共有226A ＝12种排法

第三类：女生B 和男生乙在两端，同样中间“捆绑”A 和男生甲也只有一种排法。

此时共有2

26A ＝12种排法

三类之和为24＋12＋12＝48种。

22. 从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 [ C]A 85 B 56 C 49 D 28

【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有：1227C C 42?=，另一类是甲

乙都去的选法有21

27C C ?=7，所以共有42+7=49，即选C 项。

23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是

A. 360

B. 188

C. 216

D. 96

解析：6位同学站成一排，3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有33222242333=A A C A 种，其中

男生甲站两端的有1442223232212=A A C A A ，符合条件的排法故共有188

解析2：由题意有2221122222322323242()()188A C A C C A C A A ????+???=,选B 。 24. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组（每组4个队），则3个强队恰好被分在同一组的概率为（ ）

A ．155

B ．355

C ．14

D ．13

解析因为将12个组分成4个组的分法有44

412843

3

C C C A 种，而3个强队恰好被分在同一组分法有3144398422

C C C C A ，故个强队恰好被分在同一组的概率为31442444399842128433C C C C A C C C A =55。 25. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）．

【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，则有37A 种；若有一个台阶有2人，另一个是1人，则共有12

37C A 种，因此共有不同的站法种数是336种． 26. 锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）

A ．891

B ．2591

C ．4891

D ．6091 【解析】因为总的滔法4

15,C 而所求事件的取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1.1.2；1，2，1；2，1，1三类，故所求概率为

1121212116546546544154891C C C C C C C C C C ??+??+??= 27. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有 种（用数字作答）．

【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2，1，1分成三组，其分法有21142122

C C C A ??;第二步将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有33A 所以满足条件得分配的方案有

211342132236C C C A A ???= 28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有（ ）

A ．10种

B ．20种

C ．36种

D ．52种

解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的

个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：①1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有144

C =种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有246C =种方法；则不同的放球方法有

10种，选A ．

29. 将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有

（A ）３０种 （B ）９０种 （C ）１８０种 （D ）２７０种

解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分

成三组，一组1人，另两组都是2人，有125422

15C C A ?=种方法，再将3组分到3个班，共有331590A ?=种不同的分配方案，选B.

30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,则不同的选派方案共有 种

解析：某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，

甲和丙只能同去或同不去，可以分情况讨论，① 甲、丙同去，则乙不去，有2454C A ?=240种选法；

②甲、丙同不去，乙去，有3454C A ?=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有45120A =种选法，共有

600种不同的选派方案．

31. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．

解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个

数字，共可以组成33212A ?=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，

且0不是首位数字，则有2224A ?=个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换

位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有2

22(2)A ??=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个。

32．有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发出红光或绿光，若每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？

[解析] 因为相邻的两个二极管不能同时点亮，所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的5个二极管之间及两端的6个空上，共有C 36种亮灯办法．然后分步确定每个二极管发光颜色有2×2×2＝8(种)方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C 36×2×2×2＝160(种)．

33．按下列要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？

(1)各组人数分别为2,4,6个；(2)平均分成3个小组；(3)平均分成3个小组，进入3个不同车间．

[解析] (1)C 212C 410C 66＝13 860(种)；(2)C 412C 48C 44A 33＝5 775(种)； (3)分两步：第一步平均分三组；第二步让三个小组分别进入三个不同车间，故有C 412C 48C 44A 33

·A 33＝C 412·C 48·C 44＝34 650(种)不同的分法．

34．6男4女站成一排，求满足下列条件的排法共有多少种？

(1)任何2名女生都不相邻有多少种排法？(2)男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？

(3)男生甲、乙、丙排序一定，有多少种排法？(4)男甲在男乙的左边(不一定相邻)有多少种不同的排法？

[解析] (1)任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有A 66·A 47种不同排法．

(2)方法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有A 99种排法，若甲不在末位，则甲

有A 18种排法，乙有A 18种排法，其余有A 88种排法，

综上共有(A 99＋A 18A 18·A 88)种排法．

方法二：无条件排列总数

A 1010－????? 甲在首，乙在末A 88甲在首，乙不在末A 99－A

88甲不在首，乙在末A 99－A 88

甲不在首乙不在末，共有(A 1010－2A 99＋A 88)种排法．

(3)10人的所有排列方法有A 1010种，其中甲、乙、丙的排序有A 33种，又对应甲、乙、丙只有一种

排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有A 1010A 33

种． (4)男甲在男乙的左边的10人排列与男甲在男乙的右边的10人排列数相等，而10人排列数恰好

是这二者之和，因此满足条件的有12

A 1010种排法． 35. 已知n m ,是正整数，n m x x x f )1()1()(+++=的展开式中x 的系数为7，

（1） 试求)(x f 中的2x 的系数的最小值

（2） 对于使)(x f 的2x 的系数为最小的n m ,，求出此时3

x 的系数

（3） 利用上述结果，求)003.0(f 的近似值（精确到0.01）

解：根据题意得：711=+n m C C ，即7=+n m （1） 2x 的系数为22)1(2)1(2222

n m n m n n m m C C n

m --+=-+-=+ 将(1)变形为m n -=7代入上式得：2x 的系数为435)27(21722+

-=+-m m m 故当时，或43=m 2

x 的系数的最小值为9

（1） 当时，或3,44,3====n m n m 3x 的系数为为53433=+C C （2） 02.2)003.0(≈f