复变函数与积分变换练习册

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第一章
复数与复变函数
第一章
一：选择题 1．复数
复数与复变函数
2i =（ i -1 1 i （A） + 2 2
）. （B） ）. （B） - Im z ）. （C）纯虚数 （D）实数 ）. （D）抛物线 （C） Im z （D） Im(iz )
1 i + 2 2
（C） 1 - i
（D） -1 - i
2． Re(iz ) = （ （A） - Re(iz )
2 2
3．使得 z = z 成立的复数 z 是（ （A）不存在的 （B）唯一的
4．设 z = a cos t + ib sin t ( a, b 为实常数)，则其表示的曲线为（ （A）双曲线 5．方程 z + 2 - 3i = （B）圆 （C）椭圆 ）.
2 所代表的曲线是（
（A）中心为 2 - 3i, 半径为 2 的圆周 （B）中心为 -2 + 3i, 半径为２的圆周 （C）中心为 -2 + 3i, 半径为 2 的圆周 （D）中心为 2 - 3i, 半径为２的圆周 6．集合 D = z 0 < z < 1 表示的是（ （A）无界域 （B）多连通域
{
}
）. （C）单连通域 ）. （D）闭区域
7．下列哪个不等式所确定的区域为有界连通域（ （A） Im z > 0 （C） 0 < z - 1 < 1
（B） z - i > 4 （D） z - 2 + z + 2 ￡ 6
1

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第一章
复数与复变函数
8．函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv ( x, y ) 在点 z0 = x0 + iy0 处连续的充要条件是（ （A） u ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 （B） v ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 （C） u ( x, y ) 和 v ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续 （D） u ( x, y ) + v ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 处连续
）.
二、填空题 1．设 z = -
1 3i ，则复数 z = x + iy 的形式为 i 1- i
.
，复数的模为
，
辐角主值为 2．设 z =
1 - 2i ，则实部为 1+ i
，虚部为
，共轭复数为
.
3．设 z = (2 - 3i )( -2 + i ) ，则 arg z = 4．已知方程 (1 + 2i ) x + (3 - 5i ) y = 1 - 3i ，则 x = 5．一个复数乘以 -i, 它的模 6． (1 - i ) 4 =
. ，y=
.
，它的辐角
.
.
7．方程 Re( z + 1) = 1 表示的曲线是
.
8．设函数 f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) = z 2 + iz + 1, 则 u ( x, y ) =
，
v ( x, y ) =
.
2

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第一章
复数与复变函数
三．判断下列命题的准确性，并说明理由. （1）若 c 为实常数，则 c = c . （2）若 z 为纯虚数，则 z 1 z . （3） i < 2i. （4）零的辐角是零. （5）仅存在一个数 z，使得 （6） z1 + z2 = z1 + z2 . （7） z = iz.
1 = - z. z
1 i
四、证明复平面上圆的一般方程可写为： zz + a z + a z + c = 0 .（ a 为复数，c 为实数）
第一章参考答案
一、1． （C） 5． （C） 二、 1． 4． 2． （B） 6． （B） 3． （D） 7． （D） 2．4． （C） 8． （C） 3．p - arctan 8
3 2
5 34 5 i, , - arctan 2 2 3
1 3 1 3 ,- ,- + i 2 2 2 2
4 5 , 11 11
5．不变，辐角减少
p 2
6． -4
7． 直线（虚轴） x = 0 三、 （1）正确 （5）不正确 （2）正确 （6）不正确
8． u = x 2 - y 2 - y + 1, v = 2 xy + x （3）不正确 （7）正确 （4）不正确
3

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第二章
解析函数
第二章
一、选择题：
解析函数
1．如果 z0 是 f ( z ) 的奇点，则 f ( z ) 在点 z0 处一定( （A）不解析 （B）不可导 （C）可导 ).
). （D）解析
2．函数 f ( z ) 在点 z 可导是 f ( z ) 在点 z 解析的( （A）充分不必要条件 （C）充分必要条件 3．下列函数中，为解析函数的是( （A） x 2 - y 2 - 2 xyi （C） 2( x - 1) y + i ( y - x + 2 x)
2 2 2 2 2
（B）必要不充分条件 （D）既非充分条件也非必要条件 ). （B） x 2 + xyi （D） x + iy
3 2 3
4．若函数 f ( z ) = x + 2 xy - y + i ( y + axy - x ) 在复平面内处处解析，那么实常 数a =( （A） 0 ). （B） 1 （C） 2 （D） -2
5 ． 如 果 f ￠( z ) 在 单 位 圆 z < 1 内 处 处 为 零 ， 且 f (0) = -1 ， 那 么 在 z < 1 内
f ( z) o (
（A） 0 6． i 的主值为( （A） 0
i
). （B） 1 ).
p
（C） -1
（D）任意常数
（B） 1
（C） e 2 ).
（D） e
-
p 2
7．设 f ( z ) = sin z ，则下列命题中，不正确的是( （A） f ( z ) 在复平面上处处解析 （C） f ( z ) =
（B） f ( z ) 以 2p 为周期
eiz - e- iz 2
4
（D） f ( z ) 是无界的

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第二章
解析函数
8．下列数中，为实数的是( （A） (1 - i )
3
). （C） ln i （D） e
p 3- i 2
（B） cos i
二、填空题 1．设 f ( z ) = u + iv 在区域 D 内解析，如果 u 是实常数，则 f ( z ) 在 D 内是 2．函数 f ( z ) = z Im( z ) - Re( z ) 仅在点 z = 3．函数 f ( z ) = 2 xy - ix 仅在
2
.
处可导.
上可导.
4． Im{ln(3 - 4i )} = 5． ln( -1 + i ) =
2
.
.
6．若 e = e ，则 z1 =
z1
z2
.
7． Lnz 的任一分支的解析区域是 8．方程 1 - e
-z
.
= 0 的全部解为
.
三、求出下列函数的实部和虚部，利用 C-R 条件讨论它们的可导性与解析性？ 1． f ( z ) = 2 z 2 + 3iz; 2． f ( z ) = x 2 + 2 xyi
3． f ( z ) = Re( z - 1) 2 .
5

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第二章
解析函数
四、求下列函数值： 1． e1+i ; 2． ln(3 - 3i ); 3． (1 + i )i 的辐角的主值. 4． sin(1 + i );
5． e
1+p i
+ cos i;
6． i .
-i
第二章参考答案 一、1． （A） 5． （C） 二、1．常数 4． - arctan 2． （B） 6． （D） 2． -i 3． （C） 7． （C） 4． （C） 8． （B） 3. x 轴 6． z1 = z 2 + 2kp i, k = 0, ±1, ±2,L 8． 2kp i ( k = 0, ±1, ±2,L)
4 3
5． ln 2 + i ( -
p ) 2
7．除原点和负实轴外的全平面
三、1． u = 2( x 2 - y 2 ) - 3 y, v = 4 xy + 3 x, 复平面上处处解析； 2． u = x 2 , v = 2 xy, 仅在直线 Im z = 0 上处处可导，但在复平面上处处不解析. 3． u = x 2 - y 2 - 2 x + 1, v = 0, 仅在 z = 1 点可导，复平面上处处不解析. 四、1． e cos1 + ie sin1 2． ln 2 3 -
p i; 6
3．
1 ln 2; 2
-i -1 1 1 -1 -1 4． (e - e) cos1 + (e + e ) sin1; 5． (e - e); 2 2 2
6
6． e
p + 2 kp 2
, k = 0, ±1, ±2,L

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第三章
复变函数的积分
第三章
一、选择题：
复变函数的积分
1．设 c 是 z = eiq , q 从 -p 至 p 的一周，则 （A） -p （B） p
ò Re( z )dz = (
c
). （D） p i
（C） -p i
2．设 c 是 z = iy, - 1 ￡ y ￡ 1 沿虚轴自上而下的线段，则 （A） i
2
ò
c
z dz = (
).
（B） -i 则
（C） 2i
（D） -2i
y2 3．设 c 为椭圆 x + = 1, 4
（A） 0 4．
? z + 2dz = ò
sin z
c
(
). （D） -2p i sin 2
（B） - sin 2 ). （B）
（C） 2p sin 2
ò
-2 + i
-2
( z + 2) 2 d z = (
i 3
（A）
5．设 c 是从 0 到 1 +
p i 的直线段，则积分 ò ze z dz = （ c 2 pe pe pe （A） 1 （B） -1 (C) 1 + i 2 2 2
). （B） -p i ). （C） 2p i
i 6
（C） -
i 3
（D） ）.
i 6
(D) 1 -
pe i 2
6．
sin p z dz = ( 2z + 1 z =1
? ò
（A） p i 7．
（D） -2p i
z=
? ò
dz =( 3 3 ( z + 3 z + 2)
2 2
（A）0 8．
（B） 4p i ). （B） 2p i
（C） 6p i
（D） 12p i
e2 z ? z3 d z = ( ò z =1
(A) p i
（C） 4p i
（D）0
7

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第三章
复变函数的积分
二、填空题 1．设 c 为沿原点 z = 0 到点 z = 1 + i 的直线段，则
ò 2 zdz =
c
.
2．
dz = z + 2z + 2 z =1
2
? ò
.
3．
z =1
? cos ò
dz
2
z
=
.
4．
z =1
? z cos z dz = ò
1
.
5．
2i dz = z - 2iz z =1
2
? ò
.
6．设 C 为正向圆周 z - i =
1 ep z ，则积分 ? ò z ( z - i ) 2 dz = 2 c
.
7、设 C : z = 1, 则当 a < 1 时，
ez ? ( z - a ) 2 dz = ò C
.
；
当 a > 1 时，
ez ? ( z - a ) 2 dz = ò C
8．设 f ( z ) 在 z < 1 内解析，则
z = r <1
? ò
f ( z) dz = z2
，
f ( z) dz = z - 2r z = r <1
三、计算以下积分 1．
? ò
.
ò Re( z ) dz.
c
其中 C 为从 (0, 0) 到 (2,1) 的直线段.
8

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第三章
复变函数的积分
2．
ò
i
0
z cos zdz.
3．
? ( z - 1) ò
C
cos p z
5
dz. 其中 C 为正向圆周 z = r > 1.
第三章参考答案
一、1． （D） 5． （A） 二、1．2 4． 2p i 7. a < 1: 2． （B） 6． （B） 2．0 5． -2p i 3． （A） 7． （D） 3．0 6． -2p (p + i ) 4． （C） 8． （C）
ez a ? ( z - a)2 dz = 2p ie ; ò C
a > 1: ? ò
C
ez dz = 0; ( z - a )2
8． 2p i f ￠(0), 0. 三、1． 2 + i; 2. e - 1;
-1
3. -
p 5i ; 12
9

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第四章
复级数
第四章
一、选择题： 1. 幂级数
复级数
? (sin n ) z
n =1
￥
1
n n
的收敛半径为（ （B）1
）. （C） e ）. （B）在收敛圆周上，幂级数处处发散 （D）在收敛圆内，幂级数条件收敛 ). （D） ￥
（A） 0
2. 关于幂级数，下列命题正确的是（ (A）在收敛圆周上，幂级数处处收敛 （C）在收敛圆内，幂级数绝对收敛 3．若幂级数
? a ( z - 1)
n =0 n
￥
n
在 z = 3 处发散，则它必在(
（A） z = 1 发散
（B） z = -
3 发散 2
（C） z = 2 收敛 （D）均不正确
4． 若幂级数
?c z
n =0 n
￥
n
在 z = 1 + 2i 处收敛， 那么该级数在 z = 2 处的敛散性为( （B）条件收敛
2
).
（A）绝对收敛 5．设 f ( z ) = ln(1 + z ), （A） 0
3
（C）发散 ). （C） 12 ). （C）0 ). （C） -1 ).
（D）不能确定
则f
(4)
(0) = (
（B） -6
(9)
（D） -12
6．设 f ( z ) = cos z , ，则 f （A）3
(0) = (
（B） 3!
（D）1
￥ 1 7．设 = ? cn z n , ( z > 1), 则 c0 = ( 2 1+ z n =-￥
（A）1 8．设
（B）0
（D）2
z2 e
1 z
=
n =-￥
?az
n
￥
n
, ( z > 0), 则 a-7 = (
（B） -
（A）
1 7!
1 7!
10
（C）
1 9!
（D） -
1 9!

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第四章
复级数
二、填空题
z 2 z3 zn 1．级数 1 + z + + + L + + L 的收敛圆域为 2! 3! n!
2．幂级数
.
? (1 + i)
n =0 ￥ n =0 n
￥
n
zn 在
内绝对收敛，在
内发散.
3．若幂级数
? c ( z - i)
．
n
在 z = 0 处发散，在 z = 2i 处收敛，那么该级数的收敛半
径为
4．
ez 在 z = 0 处的泰勒展开式的收敛半径为 cos z
z 在 z = 0 处泰勒展开式中 z 5 的系数为 2 i+z
．
5．函数
．
6．函数 f ( z ) =
1 在 z - 1 > 1 的内洛朗展开式为 z ( z - 1) i 在 0 < z < 1 的内洛朗展开式为 z ( z + i)
2
．
7．函数 f ( z ) =
．
8．设 f ( z ) 在点 a 解析，点 b 是 f ( z ) 的奇点中离点 a 最近的奇点，使 f ( z ) =
? c ( z - a)
n =0 n
￥
n
成立的收敛圆半径等于
．
三、将函数 f ( z ) = sin(2 z 2 ) 展成 z 的幂级数, 并指出其收敛半径.
11

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第四章
复级数
四、将函数 f ( z ) =
ln(2 - z ) 在 0 < z - 1 < 1 内展开成洛朗级数. z -1
五、将函数 f ( z ) =
1 在以下各个圆环域内展开成洛朗级数. ( z - 1)( z - 2)
(1) 0 < z < 1;
(2) 1 < z < 2;
(3) 2 < z < +￥.
第四章参考答案
一、 1． （D） 5． （D） 二、1． z < +￥ 2． （C） 6． （C） 2． z <
￥
3． （B） 7． （B）
4． （A） 8． （D） 3． R = 1
￥
2 2 , z > 2 2
n
4．
p 2
5．i
￥
6．
? (-1)
n =0
1 ( z - 1) n + 2
7．
?i
n =0
n n-2
z
8． b - a
22 n +1 4 n + 2 三、 ? ( -1) z ,R=￥ (2n + 1)! n =0
n
四、 f ( z ) = ￥
? n + 1 ( z - 1) , 0 < z < 1.
n n=0
￥
1
五、 1．
? (1 n =0
1 n )z ; 2n +1
2． -
￥ 2n -1 - 1 1 n -￥ n . z - ? z ; 3． ? ? 2n+1 n=-1 zn n=0 n= 2
￥
12

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第五章
留数及其应用
第五章
一、选择题：
留数及其应用
).
1．设 z0 为函数 f ( z ) 的三级极点，则 Re s[ f ( z ), z0 ] = (
1 é( z - z0 )3 f ( z ) ù￠￠￠ ? z ? z0 3! ? 1 ￠￠ 3 （C） lim é ( z - z0 ) f ( z ) ù ? ? z ? z0 2!
（A） lim
1 é( z - z0 ) 2 f ( z ) ù￠￠ ? z ? z0 2! ? ￠￠￠ 3 （D） lim é( z - z0 ) f ( z ) ù ? ? z ? z0
（B） lim
2．设函数 f ( z ) 与 g ( z ) 分别以 z = a 为本性奇点与 m 级极点，则 z = a 为函数
f ( z ) g ( z ) 的(
（A）可去奇点 （C） m 级极点 3．设 z = 0 为函数 （A）5
). （B）本性奇点 （D）小于 m 级的极点
4
1 的 m 级极点，那么 m = ( z sin z
（B）4 (C)3 ).
). （D）2
4． z = 1 是函数 ( z - 1) sin (A) 可去奇点 （C）一级零点 5． Re s ê
1 的( z -1
（B）一级极点 （D）本性奇点 ). （B） 1 ). （C） -1 ). （D） 2 （C） -1 （D） 2
é cos z ù ,0 = ( z ?1 - e ú ?
（A） 0 6． Re s ê
é 1 ù , 0ú = ( ? z sin z ?
（A） 0 7．积分
（B） 1
2
z =1
?z ò
1 sin dz = ( z
（B） -
（A） 0
1 6
13
（C） -
pi 3
（D） -p i

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第五章
留数及其应用
8．在下列函数中， Re s[ f ( z ), 0] = 0 的是（
）.
ez -1 （A） f ( z ) = z2
（C） f ( z ) =
（B） f ( z ) = (D) f ( z ) =
sin z 1 z z 1 1 e -1 z
z
sin z + cos z z
二、填空题 1. 若 z0 为函数 f ( z ) 的可去奇点，则 lim f ( z ) =
z ? z0
； ；
若 z0 为函数 f ( z ) 的极点，则 lim f ( z ) =
z ? z0
若 z0 为函数 f ( z ) 的本性奇点，则 lim f ( z ) =
z ? z0
.
2. 设 z = 0 为函数 z - sin z 的 m 级零点，那么 m =
3 3
．
3. 设 z = 0 为函数 f ( z ) =
1 1 - 的 m 级极点，那么 m = z 2 z3
.
4. 设函数 f ( z ) =
z p ，则 Re s[ f ( z ), ] = cos z 2
．
．
5. 设 f ( z ) =
eiz ，则 Re s[ f ( z ), i ] = 1+ z2
1 - cos z ，则 Re s[ f ( z ), 0] = z5
．
6. 设 f ( z ) =
．
7. 积分
z =1
? z e dz = ò
? sin z dz = ò
2
．
1 3 z
8. 积分
z =1
14

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第五章
留数及其应用
三、求下列函数在有限孤立奇点处的留数： 1. f ( z ) =
z ; ( z - 1)( z + 1)2
2. f ( z ) =
ze z ; z2 -1
3. f ( z ) =
1 ; sin z
四、计算以下复积分： 1.
z d z; z -1 z =3
2
? ò
2.
ez ? z ( z - 2)2 d z; ò z -1 = 3
15

复变函数与积分变换（09-10-I）天津学院通信 08,09
第五章
留数及其应用
3.
z =r
? ò
z 2 e z d z.(r > 0)
2
第五章参考答案
一、1． （C） 5． （C） 2． （B） 6． （A） 3． （A） 7． （C） 2． 9 7． 4． （D） 8． （D） 3． 3 8． 4p i 4． -
二、１． c0 ; ￥ ；不存在且不为 ￥ 5． -
p 2
i 2e
6． -
1 24
1 pi 12
三、1． Re s[ f ( z ),1] =
1 1 , Re s[ f ( z ), -1] = - ; 4 4 e 1 ; Re s[ f ( z ), -1] = ; 2 2e
2． Re s[ f ( z ),1] =
3． Re s[ f ( z ), kp ] = ( -1) k ( k = 0, ±1, ±2,L);
四、1． 2p i;
2.
pi (1 + e 2 ); 2
3.
8 p i. 3
16

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第七章
傅里叶变换
第七章
一、选择题： 1．设 f (t ) = cos w0t ,则
傅里叶变换
[ f (t )] = (
). （B） p i éd (w + w0 ) - d (w - w0 ) ù ? ? （D） p éd (w + w0 ) - d (w - w0 ) ù ? ? ). （B）
（A） d (w - w0 ) - d ( w + w0 ) （C） p éd (w + w0 ) + d (w - w0 ) ù ? ? 2．设 f (t ) = sin t cos t , 则 （A）
[ f (t )] = (
p i éd (w + 2 ) - d (w - 2 ) ù ? 4 ?
p i éd (w + 2 ) - d (w - 2 ) ù ? 2 ?
（C） p i éd (w + 2 ) - d (w - 2 ) ù ? ? 3. 下列变换中不正确的是( （A） （C） ).
（D） 2p i éd (w + 2 ) - d (w - 2 ) ù ? ?
[u (t )] =
-1
1 + pd (w ) iw
（B） （D） ( ).
éd ( t ) ù = 1 ? ?
-1
é 2pd (w ) ù = 1 ? ?
iw0t
[ cos w ] = d ( t - 1) + d ( t + 1)
4．设 f (t ) = te
, 则
[ f (t )] =
（A） 2pd ￠(w - w0 ) （C） 2p id ￠(w + w0 ) 5．设 f (t ) = e
-b t
（B） 2pd ￠(w + w0 ) （D） 2p id ￠(w - w0 )
( b > 0), 则
（B）
[ f (t )] = (
2
).
（A）
2w b +w2
2
2b b +w2
-1
（C）
2w b - w2
2
（D）
2b b - w2
2
6．设 F (w ) = 2pd (w - w0 ), 则 （A） 1
[ F (w )] = (
（C） e
).
iw0t
（B） d (t - t0 )
（D） e
- iw0t
17

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第七章
傅里叶变换
7．已知 F ( w ) =
é f ( t )ù , 则 ? ?
[t f (2t )] = (
（B）
).
（A）
d éi w ù F( ) dw ê 2 2 ú ? ?
d éi ù ê 2 F (2w ) ú dw ? ?
F (u ) du -￥ 2u
w
（C）
ò
u F ( )du -￥ 2
w
（D）
ò
8．设 f (t ) = ei 2t d ￠(t ) , 则 （A） -2
[ f (t )] = (
). （C） i (w + 2) （D） 2 + iw
（B） i (w - 2)
二、填空题 1．设
é f ( t ) ù = F (w ) , 则 ? ?
é f ( t ) cos w 0 t ù =____________. ? ?
2．设
é f ( t ) ù = 2 cos 3w , 则 f (t ) =______________. ? ?
3．
[u (t - 2)] =_____________.
-1
4．
éd (w - w0 ) ù =_______________. ? ?
5．
éd (t + 1) + e - it ù =_______________. ? ?
6.
[sin 2t cos t ] =_______________.
7.
ò ò
4
-4
etd (t - 3)dt =_______________. eiw t dw = _______________.
18
8.
+￥
-￥

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第七章
傅里叶变换
三、求下列函数的傅里叶变换： 1. f (t ) = e
- iw0t
u (t )
2. f (t ) = e
iw0 t
u (t - t0 )
3． f (t ) = t u (t )
四、求下列函数的傅里叶逆变换： 1. F (w ) = 1 + cos w
2． F (w ) = sin(w + 1)
3． F (w ) = d (w + 1) + d (w - 1)
19

复变函数与积分变换 （09-10-I） 天津学院通信 08,09
第七章
傅里叶变换
五、用定义求下列函数的傅里叶变换： 1. f (t ) = í
ìe - b t , ?0,
t 3 0; b > 0. t < 0.
2. f (t ) = í
ì1, ? ?0, ?
t ￡ 1; t > 1.
ì A, 0 ￡ t ￡ t ; 3. f (t ) = í ( A,t > 0) ?0, 其他
ì -1, ? 4. f (t ) = í1, ?0, ?
- 1 < t < 0; 0 < t < 1; t 3 1.
5. f (t ) = e .
-t
20