45分钟阶段测试(九)
45分钟阶段测试(九)
(范围：§7.1～§7.4)
一、填空题
1．设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则(x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)的最小值为________． 答案 9
解析 (x 2＋1y 2)(1x 2＋4y 2)＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y
2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立． 2．(2014·重庆改编)若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是________．
答案 7＋4 3
解析 由题意得????? ab >0，ab ≥0，
3a ＋4b >0，所以?????
a >0，
b >0. 又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，
所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b
＝1. 所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4b a
≥ 7＋23a b ·4b a
＝7＋43， 当且仅当3a b ＝4b a
时取等号． 3．已知f (x )＝?????
x ＋1， x <0－x －1，x ≥0则不等式x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3的解集是________． 答案 {x |x ≥－3}
解析 ∵f (x －1)＝?????
x ， x <1，－x ，x ≥1， ∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于
????? x <1，x ＋(x ＋1)x ≤3或?????
x ≥1，x ＋(x ＋1)(－x )≤3， 解得－3≤x <1或x ≥1，即x ≥－3.
4．(2014·课标全国Ⅰ改编)不等式组?????
x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题： ①?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2；
②?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2；
③?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3；
④?(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.
其中的真命题是________．
答案 ①②
解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
由?????
x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)． 目标函数的斜率k ＝－12
>－1， 观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0.(y ＝－x 2＋u 2，u 2
表示纵截距)结合题意知①②正确． 5．设x ，y 均为正实数，且
32＋x ＋32＋y
＝1，则xy 的最小值为________． 答案 16
解析 由32＋x ＋32＋y
＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，
∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，
即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，
即xy ≥16，故xy 的最小值为16.
6．设a ∈R ，若x >0时均有[(a －1)x －1](x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.
答案 32
解析 对a 进行分类讨论，通过构造函数，利用数形结合解决．
(1)当a ＝1时，不等式可化为x >0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a ≠1.
(2)当a <1时，∵x >0，
∴(a －1)x －1<0，不等式可化为
x >0时均有x 2－ax －1≤0，
∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，
∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能均成立，
∴a <1不成立．
(3)当a >1时，令f (x )＝(a －1)x －1，g (x )＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)， ∵a >1，
∴f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，
且与x 轴交点为???
?1a －1，0， 即当x ∈???
?0，1a －1时，f (x )<0， 当x ∈???
?1a －1，＋∞时，f (x )>0. 又∵二次函数g (x )＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a 2
>0，则只需g (x )＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点???
?1a －1，0重合，如图所示，
则命题成立，即????1a －1，0在g (x )图象上，所以有????1a －12－a a －1－1＝0，
整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32
，a ＝0(舍去)． 综上可知a ＝32
. 7．(2014·浙江)当实数x ，y 满足????? x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，
x ≥1
时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．
答案 [1，32
] 解析 画可行域如图所示，设目标函数z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z ，要使1≤z ≤4恒成立，则
a >0，数形结合知，满足?????
1≤2a ＋1≤4，1≤a ≤4即可，解得1≤a ≤32.所以a 的取值范围是[1，32]．
8．设存在实数x ∈(12，3)，使不等式t ＋|x －1x
|>e |ln x |成立，则实数t 的取值范围是________． 答案 t >13
解析 由t ＋|x －1x |>e |ln x |，得t >e |ln x |－|x －1x
|， 设h (x )＝e |ln x |－|x －1x |＝??? x (12 则h (x )∈(13 ，1]． ∴当t >13时，存在实数x ∈(12 ，3)使原不等式成立． 二、解答题 9．已知不等式ax －1x ＋1 >0 (a ∈R )． (1)解这个关于x 的不等式； (2)若x ＝－a 时不等式成立，求a 的取值范围． 解 (1)原不等式等价于(ax －1)(x ＋1)>0. ①当a ＝0时，由－(x ＋1)>0，得x <－1； ②当a >0时，不等式化为??? ?x －1a (x ＋1)>0， 解得x <－1或x >1a ； ③当a <0时，不等式化为??? ?x －1a (x ＋1)<0； 若1a <－1，即－1 ＝－1，即a ＝－1，则不等式解集为空集； 若1a >－1，即a <－1，则－1 . 综上所述，a <－1时，解集为????