2016-2018年高考数学(理)真题分类汇编(含解析)：专题08-导数与不等式

专题08导数与不等式、函数零点相结合

2018年高考全景展示

1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．

2．【2018年理数全国卷II】已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

2017年高考全景展示

1.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12

-

B ．

13

C ．1

2

D ．1

2.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.

3.【2017课标II ，理】已知函数()2

ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥。

(1)求a ；

(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2

202e f x --<<。

4.【2017天津，理20】设a ∈Z ，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数. （Ⅰ）求()g x 的单调区间；

（Ⅱ）设00[1,)(,2]m x x ∈ ，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数,p q ，且

00[1,)(,2],p

x x q

∈ 满足041|

|p x q Aq

-≥.

2016年高考全景展示

1．【2016高考新课标1卷】已知函数()()()2

21x

f x x e a x =-+-有两个零点.

(I)求a 的取值范围；

(II)设x 1,x 2是()f x 的两个零点,证明：122x x +<.

2. 【2016高考山东理数】(本小题满分13分) 已知()2

21

()ln ,R x f x a x x a x -=-+

∈. （I ）讨论()f x 的单调性；

（II ）当1a =时，证明()3

()'2

f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立.

3.【2016高考江苏卷】（本小题满分16分）

已知函数()(0,0,1,1)x x f x a b a b a b =+>>≠≠. 设1

2,2

a b ==

. （1）求方程()2f x =的根;

（2）若对任意x R ∈,不等式(2)f()6f x m x ≥-恒成立，求实数m 的最大值；

（3）若01,1a b <<＞

，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值。

4.【2016高考新课标3理数】设函数()cos 2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ． （Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；

（Ⅲ）证明：|()|2f x A '≤．

专题08导数与不等式、函数零点相结合

2018年高考全景展示

1.【2018年全国卷Ⅲ理】已知函数．

（1）若，证明：当时，；当时，；

（2）若是的极大值点，求．

【答案】（1）见解析（2）

当时，；当时，.故当时，，且仅当时，，从而，且仅当时，.

所以在单调递增.又，故当时，；当时，.（2）（i）若，由（1）知，当时，，这与是的极大值点矛盾.

（ii）若，设函数.

由于当时，，故与符号相同.

又，故是的极大值点当且仅当是的极大值点.

.如果，则当

，且时，，故不是的极大值点.如果，则存在根，故当，且时，，所以不是的极大值点.如果，则.则当时，；当

时，.所以是的极大值点，从而是的极大值点，综上，.

点睛：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的单调性求出最值证明不等式，第二问分类讨论

和,当时构造函数时关键，讨论函数的性质，本题难度较大。2．【2018年理数全国卷II】已知函数．

（1）若，证明：当时，；

（2）若在只有一个零点，求．

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：(1)先构造函数，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式，(2)研究零点，等价研究的零点，先求

导数：，这里产生两个讨论点，一个是a与零，一个是x与2，当时，，

没有零点；当时，先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a的值.

（2）设函数．

在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．

（i）当时，，没有零点；

（ii）当时，．

当时，；当时，．

所以在单调递减，在单调递增．

故是在的最小值．

①若，即，在没有零点；

②若，即，在只有一个零点；

③若，即，由于，所以在有一个零点，

由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．

综上，在只有一个零点时，．

点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

3．【2018年江苏卷】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求均在线段上，均在圆弧上．设OC与MN所成的角为．

（1）用分别表示矩形和的面积，并确定的取值范围；

（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

【答案】（1）矩形ABCD的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP的面积为

1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[，1）．

（2）当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大

【解析】分析：（1）先根据条件求矩形长与宽，三角形的底与高，再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果，最后根据实际意义确定的取值范围；（2）根据条件列函数关系式，利用导数求极值点，再根据单调性确定函数最值取法.

详解：

解：（1）连结PO并延长交MN于H，则PH⊥MN，所以OH=10．过O作OE⊥BC于E，则OE∥MN，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，

则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10．

令∠GOK =θ0，则sin θ0=，θ0∈（0，）．

当θ∈[θ0，）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为

1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[，1）．

令

，得θ=，当θ∈（θ0，）时，

，所以f （θ）为增函数；当θ∈（，）时，，

所以f （θ）为减函数，因此，当θ=时，f （θ）取到最大值．

答：当θ=时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

点睛：解决实际应用题的步骤一般有两步：一是将实际问题转化为数学问题；二是利用数学内部的知识解决问题.

2017年高考全景展示

1.【2017课标3，理11】已知函数2

1

1()2()x x f x x x a e

e --+=-++有唯一零点，则a =

A ．12

-

B ．

13

C ．

1

2

D ．1

【答案】C 【解析】

试题分析：函数的零点满足(

)2

1

12x x x x a e e --+-=-+，

设()1

1x x g x e

e

--+=+，则()()

211

1

1

1

1

11

x x x x x x e

g x e

e

e

e e ---+----'=-=-

=

，

当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当1x =时，函数取得最小值()12g =，

设()2

2h x x x =- ，当1x =时，函数取得最小值1- ，

若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，

当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点， 即21a -?=-，解得1

2

a =

.故选C. 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想

【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用. 2.【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x

x f x ae a e x =+--.

（1）讨论()f x 的单调性；

（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围. 【解析】

试题分析：（1）讨论()f x 单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对a 按

0a ≤，0a >进行讨论，写出单调区间；（2）根据第（1）题，若0a ≤，()f x 至多有一个零点.若0a >，当ln x a =-时，()f x 取得最小值，求出最小值1

(ln )1ln f a a a

-=-+，根据1a =，