山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编14：导数与积分_Word版含答案

山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编14：导数与积分

一、选择题

1 ．（山东省潍坊市2013届高三第二次模拟考试理科数学）定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ,已知

(1)f x +是偶函数(1)'()0x f x -<. 若12x x <,且122x x +>,则1()f x 与2()f x 的大小关系是

（ ）

A ．12()()f x f x <

B ．12()()f x f x =

C ．12()()f x f x >

D ．不确定

【答案】C 由(1)'()0x f x -<可知,当1x >时,'()0f x <函数递减.当1x <时,'()0f x >函数递增.

因为函数(1)f x +是偶函数,所以(1)(1)f x f x +=-,()(2)f x f x =-,即函数的对称轴为1x =.所以若121x x <<,则12()()f x f x >.若11x <,则必有22x >,则2121x x >->,此时由

21()(2)f x f x <-,即211()(2)()f x f x f x <-=,综上12()()f x f x >,选

C ．

2 ．（山东省济南市2013届高三3月高考模拟理科数学）设2

3

5

1

1

1

1

1

1

,,a dx b dx c dx x

x

x

=

==?

?

?

,则下列关系式成立的是 （ ）

A ．

235a b c << B ．

325b a c

<< C ．523

c a b <<

D ．253

a c

b <<

【答案】C

2

2111ln ln 2a dx x x ===?

,33111ln ln 3b dx x x ===?,55

111ln ln 5c dx x x ===?,所以ln 2

22a ==,ln 3ln 33b ==,ln 555

c ==.因为6328==,6239==,所以

<.105232==,102525==,<,<<所以523

c a b

<<,

选 C ．

3 ．（山东省泰安市2013届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设函数

()()

3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3,且123,x x x <<则下列结论正确的是 （ ）

A ．11x >-

B ．20x <

C ．32x >

D ．201x <<

【答案】D

∵函数()()3

402f x x x a a =-+<<,

∴f′(x)=3x 2

﹣4.令f′(x)=0,得 x=±

.

∵当x <,'()0f x >;在(上,'()0f x <;在)+∞上,'()0f x >.故函数

在(,-∞)上是增函数,在(上是减函数,在)+∞上是增函数.故(f

是极大值,f 是极小值.再由 f (x)的三个零点为x 1,x 2,x 3,且123,x x x <<得 x 1<﹣,﹣

,x 3>

.

根据f(0)=a>0,且f()=a ﹣

<0,得

>x 2>0.

∴0

D ．

4 ．（山东省枣庄市2013届高三3月模拟考试数学（理）试题）若()y f x =既是周期函数,又是奇函数,则其

导函数'()y f x =

（ ）

A ．既是周期函数,又是奇函数

B ．既是周期函数,又是偶函数

C ．不是周期函数,但是奇函数

D ．不是周期函数,但是偶函数

【答案】B

因为()y f x =是周期函数,则有()()f x T f x +=,两边同时求导,得'()()''()f x T x T f x ++=,即

'()'()f x T f x +=,所以导函数为周期函数.因为()y f x =是奇函数,所以()()f x f x -=-,两边求导

得'()()''()f x x f x --=-,即'()'()f x f x --=-,所以'()'()f x f x -=,即导函数为偶函数,选

B ．

5 ．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数()sin cos f x x x x =+的图像在点

(,())t f t 处切线的斜率为k,则函数k=g(t)的部分图像为

【答案】B

【解析】函数的导数为'()sin cos cos f x x x x x x =+=,即()cos k g t t t ==.则函数()g t 为奇函数,所以图象关于原点对称,所以排除A,

C ．当02

t π

<<

时,()0g t >,所以排除排除D,选 B ．

6 ．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）由曲线1xy =,直线,3y x x ==及x 轴所围成的曲

边四边形的面积为 （ ）

A ．

11

6 B ．

92

C ．

1

ln 32

+ D ．4ln 3-

【答案】C

【解析】由1xy =得1y x =,由1y x

y x =??

?=??

得1D x =,所以曲边四边形的面积为

1

3

21

3

010

1

11

1

ln ln 32

2

xdx dx x x x +=+=

+?

?

,选 C ．

7 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）若函数1()e (0,)ax

f x a b b

=-

＞＞0的图象在0x =处的切线与圆22

1x y +=相切,则a b +的最大值是 （ ）

A ．4

B

．

C ．2

D

【答案】D 函数的导数为1'()e ax f x a b =-

?,所以01'(0)e a

f a b b

=-?=-,即在0x =处的切线斜率为a k b =-,又011(0)e f b b =-=-,所以切点为1(0,)b -,所以切线方程为1a

y x b b

+=-,即

10ax by ++=,圆心到直线10ax by ++=的距

离1d ==,即221a b +=,所以

2212a b ab +=≥,即102

ab <≤

.又222()21a b a b ab +=+-=,所以2

()21112a b ab +=+≤+=,

即a b +≤

所以a b +

,选

D ．

8 ．（山东省临沂市2013届高三5月高考模拟理科数学）函数sin e ()x y

x =-π≤≤π的大致图象为

【答案】D 因为函数为非奇非偶函数,所以排除A,

C ．函数的导数为sin 'cos x

y e x =?由

sin 'cos 0x y e x =?=,得cos 0x =,此时2

x π

=

或2

x π

=-

.当02

x π

<<

时,'0y >,函数递增.当

2

x π

π<<时,'0y <,函数递减,所以2

x π

=

是函数的极大值,所以选

D ．

(A)

(B)

(C)

(D)

9 ．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）已知函数()f x 对定义域R 内的任意x 都有

()f x =(4)f x -,且当2x ≠时其导函数()f x '满足()2(),xf x f x ''>若24a <<则

（ ）

A ．2(2)(3)(log )a f f f a <<

B ．2(3)(log )(2)a f f a f <<

C ．2(log )(3)(2)a f a f f <<

D ．2(log )(2)(3)a f a f f <<

【答案】C 由()f x =(4)f x -,可知函数关于2x =对称.由()2(),xf x f x ''>得(2)()0x f x '->,所

以当2x >时,()0f x '>,函数递增,所以当2x <时,函数递减.当

24a <<,21log 2a <<,24222a <<,即4216a <<.所以22(log )(4log )f a f a =-,所以

224log 3a <-<,即224log 32a a <-<<,所以2(4log )(3)(2)a

f a f f -<<,即

2(log )(3)(2)a f a f f <<,选

C ．

10．（山东省青岛即墨市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知偶函数)(x f 在R 上的任一取值都

有导数,且'(1)1f =,(2)(2),f x f x +=-则曲线)(x f y =在5-=x 处的切线的斜率为 （ ） A ．2

B ．-2

C ．1

D ．-1

【答案】D

【 解析】由(2)(2),f x f x +=-得(4)(),f x f x +=可知函数的周期为4,又函数)(x f 为偶函数,所以(2)(2)=(2)f x f x f x +=--,即函数的对称轴为2x =,所以(5)(3)(1)f f f -==,所以函数在

5-=x 处的切线的斜率'(5)'(1)1k f f =-=-=-,选

D ．

二、填空题

11．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）

10

(2)x e x dx -=?____________________.

【答案】2e -

12100

(2)()2x x e x dx e x e -=-=-?

.

12．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）

221

x dx =?

_____________;

【答案】

7

3

【 解析】

2

2321

1

18173

333

x dx x =

=-=?

. 13．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）由曲线23y

x =-和直线2y x =所围成的

面积为

【答案】

32

3

【解析】由2

32y x y x

?=-?=?得1x =或3x =-,所以曲线23y x =-和直线2y x =所围成的面积为

1

2

3213

3

132(32)(3)3

3

x x dx x x x ----=--=

?. 14．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））已知

2(),()(1),x f x xe g x x a ==-++若

12,,x x R ?∈使得21()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是.

【答案】1

a e

≥-

【解析】'()(1)x

x

x

f x e xe x e =+=+,当1x >-时,'()0f x >函数递增;当1x <-时,'()0f x <函数递减,所以当1x =-时()f x 取得极小值即最小值1

(1)f e

-=-

.函数()g x 的最大值为a ,若12,,x x R ?∈使得21()()f x g x ≤成立,则有()g x 的最大值大于或等于()f x 的最小值,即1

a e

≥-.

15．（山东省德州市2013届高三上学期期末校际联考数学（理））抛物线2y

x =在A(l,1)处的切线与y 轴及

该抛物线所围成的图形面积为.

【答案】

1

3

【解析】函数2

y x =的导数为'2y x =,即切线斜率为2k =,所以切线方程为12(1)y x -=-,即

21

y x =-,由

221y x y x

=-??=?,解得

1

x =,所以所求面积为

1

12232

10

00

11((21))(21)()33

x x dx x x dx x x x --=-+=-+=??. 16．（山东省青岛市2013届高三第一次模拟考试理科数学）若

1

1

(2)3ln 2(1)a

x dx a x

+=+>?,则a 的值是_____________ ;

【答案】2 由 2

2

1

11(2)(ln )

ln 13+ln2a

a

x dx x x a a x

+=+=+-=?,所以213

ln ln2

a a ?-=?

=?,解得2a =. 17．（山东省泰安市2013届高三上学期期末考试数学理）已知函数

()f x 的定义域为[]1,5-,部分对应值如下

表,()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示,给出关于()f x 的下列命题:

①函数()2y f x x ==在时,取极小值②函数()[]0,1f x 在是减函数,在[]1,2是增函数,③当

12a <<时,函数()y f x a =-有4个零点④如果当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,那么t 的最小

值为0,其中所有正确命题序号为_________. 【答案】①③④

【解析】由导数图象可知,当10x -<<或24x <<时,'()0f x >,函数递增.当02x <<或45x <<时,'()0f x <,函数递减.所以在2x =处,函数取得极小值,所以①正确,②错误.当12a <<时,由

()0y f x a =-=得()f x a =.

由图象可知,此时有四个交点,所以③

正确.当[]1,x t ∈-时,()f x 的最大值是2,由图象可知0t ≥,所以t 的最小值为0,所以④正确.综上所有正确命题序号为①③④.

18．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）已知

()

,10320

2

=+?dx t x

则常数

t =_________.

【答案】1

【解析】

()2

2

32

00

3()8210x

t dx x tx t +=+=+=?,解得1t =.

19．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）给出下列命题:①函数2

4

x

y x =

+在区间[1,3]上是增函数;

②函数f(x)=2x -x 2

的零点有3个;

③函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是S= ?-

π

πxdx sin ;

④若ξ~N(1,2σ),且P(0≤ξ≤1)=0.3,则P(ξ≥2)=0.2. 其中真命题的序号是(请将所有正确命题的序号都填上): 【答案】②④

①2224'(4)x y x -+=+,由22

2

4

'0(4)x y x -+=>+,解得22x -<<,即函数的增区间为(2,2)-,所以①错误.②正确.③当0x π-≤≤时,sin 0x ≤,所以函数y= sin x(x ∈],[ππ-)图像与x 轴围成的图形的面积是

sin x dx π

π

-

?,所以③错误.④因为12(01)10.6

(2)0.222

P P ξξ-≤≤-≥=

==,所以④正确,所以正

确的为②④.

三、解答题

20．（山东省潍坊市2013届高三上学期期末考试数学理（A ））函数

()R a x ax nx x x f ∈--=21)(.

(I)若函数)(x f 在1=x 处取得极值,求a 的值;

(II)若函数)(x f 的图象在直线x y -=图象的下方,求a 的取值范围; (III)求证:2012201320132012<.

【答案】

21．（山东省烟台市2013届高三上学期期末考试数学（理）试题）设函数1

()(01)1f x x x x nx

=

≠＞且 (1)求函数()f x 的单调区间;

(2)已知1121n a nx x

＞对任意(0,1)x ∈成立,求实数a 的取值范围.

【答案】

22．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数

()2ln f x x ax x =+-.

(1)若1a =,试求函数()f x 的单调区间;

(2)过坐标原点O 作曲线)(x f y =的切线,证明:切点的横坐标为1;

(3)令()()

x

f x

g x e =

,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,求a 的取值范围.

【答案】解: (1)1a =时, 2

()(0)f x x x lnx x =+->

1'()21f x x x ∴=+-

(21)(1)

x x x -+=

()()110,,'0,,,'022x f x x f x ????

∈<∈+∞> ? ?????

()f x 的减区间为10,2?? ???,增区间1,2??+∞ ???

(2)设切点为()()

,M t f t ,()1

'2f x x ax x

=+- 切线的斜率12k t a t

=+-,又切线过原点()f t k t

=

()2221

2ln 211ln 0f t t a t at t t at t t t

t =+-+-=+-∴-+=，即：

1t =满足方程21ln 0t t -+=,由21,ln y x y x =-=图像可知21ln 0x x -+=

有唯一解1x =,切点的横坐标为1; 或者设()2

1ln t t t ?=-+,()1

'20t t t

?=+>

()()0+t ?∞在，递增,且()1=0?,方程21ln 0t t -+=有唯一解

(3)()()()

''x

f x f x

g x e

-=

,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,

则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ?∈≤≤即,所以()21

2ln 10x x x a x x

-+

-+-≥---(*) ()()21

2ln 1h x x x x a x x =-+

-+-设

()()()2

22

122111

'222x x x h x x a a x x x -++=---+=--+

若2a ≤,则()'0,h x ≤()h x 在(]0,1递减,()()10h x h ≥=

即不等式

()()',(0,1],

f x f x x ≤?∈恒成立

若2a >,()()232

1121

22'20x x x x x x x ??=-

--∴=++> ()x ?在(]0,1上递增,()()12x ??≤=-

()()000,1,x x a

??∈=-使得

()()0,1,x x x a ?∈>-,即()'0h x >,()(]0,1h x x 在上递增,()()10h x h ≤=

这与(]0,1x ?∈,()21

2ln 10x x x a x x -+

-+-≥矛盾

综上所述,2a ≤

解法二:

()()()

''x

f x f x

g x e

-=

,若函数()g x 在区间(0,1]上是减函数,

则()()()(0,1],'0,:'x g x f x f x ?∈≤≤即,所以()21

2ln 10x x x a x x

-+-+-≥ 显然1x =,不等式成立 当()0,1x ∈时,21

2ln 1x x x x a x

-+

-≤

-恒成立 设()()()

22221112ln 21ln ,'11x x x x x x x x x h x h x x x -+

--+--+-=

=-- 设()()()()()2

23

1211

21ln ,'210x x x x x x x x x x x ??-+=-+--

+-=-+> ()x ?在()0,1上递增,()()10x ??<= 所以()'0h x <

()h x 在()0,1上递减,()()221

11

2ln 111lim

lim 2221x x x x x

x h x h x x x x →→-+

-??>==-+++= ?-?

?

所以 2a ≤

23．（山东省威海市2013届高三上学期期末考试理科数学）已知函数

32()f x ax bx =+在点(3,(3))f 处的切

线方程为122270x y +-=,且对任意的[)0,x ∈+∞,()ln(1)f x k x '≤+恒成立. (Ⅰ)求函数()f x 的解析式; (Ⅱ)求实数k 的最小值; (Ⅲ)求证:111

1ln(1)223n n

+

+++<++ (*N n ∈). 【答案】

解:(Ⅰ)将3x =代入直线方程得92y =-

,∴9

2792

a b +=-① 2()32,(3)6f x ax bx f ''=+=-,∴2766a b +=-②

①②联立,解得1

1,32

a b =-= ∴32

11()32

f x x x =-

+ (Ⅱ)2

()=f x x x '-+,∴2

ln(1)x x k x -+≤+在[)0,x ∈+∞上恒成立; 即2

ln(1)0x x k x -++≥在[)0,x ∈+∞恒成立;

设2

()ln(1)g x x x k x =-++,(0)0g =, ∴只需证对于任意的[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥

[)221

()21,0,11

k x x k g x x x x x ++-'=-+=∈+∞++

设2

()21h x x x k =++-,

【D 】1．)当=18(1)0k ?--≤,即9

8

k ≥

时,()0h x ≥,∴()0g x '≥ ()g x 在[)0,+∞单调递增,∴()(0)g x g ≥

【D 】2．)当=18(1)0k ?-->,即9

8

k <时,设12,x x 是方程2210x x k ++-=的两根且12x x < 由121

2

x x +=-

,可知10x <,

分析题意可知当20x ≤时对任意[)0,x ∈+∞有()(0)g x g ≥;

∴10,1k k -≥≥,∴918

k ≤<

综上分析,实数k 的最小值为1

(Ⅲ)令1k =,有2

ln(1),x x x -+≤+即2

ln(1)x x x ≤++在[)0,x ∈+∞恒成立;

令1

x n

=

,得221111ln(1)ln(1)ln n n n n n n ≤++=++-

∴

222222111111

11(ln 2ln1)(ln 3ln 2)(ln(1)ln )2323111

=1ln(1)

231111ln(1)

1223(1)1

2ln(1)2ln(1)

n n n n

n n

n n n n n n

+

+++≤+++++-+-+++-++++++<++++++??-=-++<++ ∴原

不等式得证

24．（山东省济南市2013届高三上学期期末考试理科数学）设函数

()sin x f x e x =

(1)求函数()f x 单调递增区间;

(2)当[0,]x π∈时,求函数()f x 的最大值和最小值.

【答案】解:(1)

'()(sin cos )x f x e x x =+

sin()4x x π

=+

'()0,sin()0.4f x x π

≥∴+≥

3

22,22,4

44

k x k k x k π

π

ππππππ∴≤+

≤+-

≤≤+即 3()2,2,44f x k k k Z ππππ?

?-+∈????单调增区间为

(2)[]0,,x π∈ 33

10,,44

x x πππ??

??∈∈????????

由（）知，是单调增区间，是单调减区间

3

43(0)0,()0,(),4f f f e πππ===

所以4

3max

2

2)43(π

πe f f ==,0)()0(min ===πf f f

25．（山东省枣庄三中2013届高三上学期1月阶段测试理科数学）设函数1

()(2)ln 2f x a x ax x

=-+

+. (Ⅰ)当0a =时,求()f x 的极值; (Ⅱ)当0a ≠时,求()f x 的单调区间;

(Ⅲ)当2a =时,对任意的正整数n ,在区间1

1[,6]2n n

++上总有4m +个数使得

1231234()()()()()()()()m m m m m f a f a f a f a f a f a f a f a +++++++<+++ 成立,试问:正整数m 是

否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由

【答案】解:(I)函数()f x 的定义域为(0,)+∞

当0a =时,1()2ln f x x x =+,∴22

2121()x f x x x x -'=-= 由()0f x '=得12

x =

. ()f x ,()f x '随x 变化如下表:

由上表可知,()()22ln 22

f x f ==-极小值,没有极大值

(II)由题意,22

2(2)1

()ax a x f x x +--'=.

令()0f x '=得11x a =-,212

x = 若0a >,由()0f x '≤得1(0,]2x ∈;由()0f x '≥得1

[,)2

x ∈+∞

若0a <,

① 当2a <-时,112a -<,1(0,]x a ∈-或1

[,)2

x ∈+∞,()0f x '≤;

11

[,]2

x a ∈-,()0f x '≥.

②当2a =-时,()0f x '≤. ③当20a -<<时,112a -

>,1(0,]2x ∈或1[,)x a ∈-+∞,()0f x '≤;11

[,]2x a

∈--,()0f x '≥.

综上,当0a >时,函数的单调递减区间为1(0,]2,单调递增区间为1[,)2

+∞; 当2a <-时,函数的单调递减区间为1(0,]a -,1[,)2+∞,单调递增区间为11[,]2

a -; 当2a =-时,函数的单调减区间是(0,)+∞, 当20a -<<时,函数的单调递减区间为1(0,]2,1[,)a -

+∞,单调递增区间为11[,]2a

--. (Ⅲ) 当2a =时,1

()4f x x x

=+,22

41()x f x x -'=. ∵1

1[,6]2x n n

∈++,∴()0f x '≥.

∴min 1()()42f x f ==,max 1()(6)f x f n n

=++ 由题意,11()4(6)2mf f n n

<++恒成立.

令168k n n =++≥,且()f k 在1

[6,)n n +++∞上单调递增,

min 1()328f k =,因此1

328

m <,而m 是正整数,故32m ≤,

所以,32m =时,存在12321

2

a a a ==== ,12348m m m m a a a a ++++====时,对所有n 满足题意.

∴32max m =

26．（山东省烟台市2013届高三3月诊断性测试数学理试题）已知函数f(x)=axlnx 图像上点(e,f(e))处的切

线与直线y=2x 平行(其中e= 2.71828),g(x)=x 2-x 2

-tx-2.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;

(3)对一切x ∈(]e ,0,3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t 的取值范围.

【答案】

27．（【解析】山东省济宁市2013届高三第一次模拟考试理科数学 ）(本小题满分l3分)已知函数

3f (x )a ln x ax (a R )=--∈.

(I)若a=-1,求函数f (x )的单调区间;

(Ⅱ)若函数y f (x )=的图象在点(2,f (2))处的切线的倾斜角为45o

,对于任意的t ∈ [1,2],函数

322

m

g(x )x x [f '(x )](f '(x )=++

是f (x )的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m 的取值范围;

(Ⅲ)求证:

2341

2234*ln ln ln ln n ...(n ,n N )n n

????<≥∈ 【答案】解:(Ⅰ)当1a =-时,(1)

'() (0)x f x x x

-=> 解'()0f x >得),1(+∞∈x ;解'()0f x <得

)1,0(∈x )(x f 的单调增区间为()+∞,1,减区间为()1,0

(Ⅱ)

∵

)0()

1()('>-=

x x

x a x f ∴12

)2('=-

=a

f 得2-=a ,32ln 2)(-+-=x x x f

x x m

x x g 2)22

(

)(23-++=,∴2)4(3)('2-++=x m x x g ∵)(x g 在区间)3,(t 上总不是单调函数,且()02'

g =-∴?

??><0)3('0

)('g t g

由题意知:对于任意的]2,1[∈t ,'()0g t <恒成立,

所以,'(1)0

'(2)0'(3)0

g g g

?

,∴9337-<<-m . (Ⅲ)证明如下: 由(Ⅰ)可知

当),1(+∞∈x 时)1()(f x f >,即01ln >-+-x x , ∴0ln 1x x <<-对一切),1(+∞∈x 成立

∵2,≥∈N *n n ,则有1ln 0-<

n n n 1

ln 0-<

<

ln 2ln 3ln 4ln 12311(2,N )234234n n n n n n n

*-∴????

28．（山东省青岛市

2013

届高三第一次模拟考试理科数学）已知向量

(,ln )x

m e x k =+ ,(1,())n f x = ,//m n (k 为常数, e 是自然对数的底数),曲线()y f x =在点

(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直,()()x F x xe f x '=.

(Ⅰ)求k 的值及()F x 的单调区间;

(Ⅱ)已知函数2

()2g x x ax =-+(a 为正实数),若对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得

21()()g x F x <,求实数a 的取值范围.

【答案】解:(I)由已知可得:()f x =1x

nx k e

+1

ln ()x x k x f x e --'∴=,

由已知,1(1)0k

f e

-'=

=,∴1k = ∴()()x F x xe f x '=1

(ln 1)1ln x x x x x x

=--=--所以()ln 2F x x '=--

由21

()ln 200F x x x e '=--≥?<≤,

由21

()ln 20F x x x e

'=--≤?≥

()F x ∴的增区间为21(0,]e ,减区间为21

[,)e

+∞

(II) 对于任意2[0,1]x ∈,总存在1(0,)x ∈+∞, 使得21()()g x F x <,∴max max ()()g x F x < 由(I)知,当21x e =

时,()F x 取得最大值2211()1F e e

=+ 对于2

()2g x x ax =-+,其对称轴为x a =

当01a <≤时,2max ()()g x g a a ==, ∴22

1

1a e <+

,从而01a <≤ 当1a >时,max ()(1)21g x g a ==-, ∴21211a e -<+,从而21

112a e

<<+

综上可知: 21

012a e

<<+

29．（山东省滨州市2013届高三第一次（3月）模拟考试数学（理）试题）已知函数

()ln(1)(1)1()f x x k x k =---+∈R ,

(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;

(Ⅱ)若()0f x ≤恒成立,试确定实数k 的取值范围; (Ⅲ)证明:ln 2ln 334++ln 1n n +

+<(1)

4

n n -(,n N n ∈>1).

【答案】

30．（2013年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知函数

2

2

a

f(x)a ln x x(a)

x

=-++≠

(I)若曲线y f (x )=在点(1,1f ()))处的切线与直线20x y -=垂直,求实数a 的值; (Ⅱ)讨论函数f (x )的单调性;

(Ⅲ)当0a (,)∈-∞时,记函数f (x )的最小值为g(a),求证:4

()g a e -≥-

【答案】

31．（山东省实验中学2013届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知

32()1,()2f x x nx g x x ax x ==+-+

(1)求函数()f x 的单调区间;

(2)求函数()f x 在[t,t+2](0t >)上的最小值;

(3)对一切的(0,),2()'()2x f x g x ∈+∞≤+恒成立,求实数a 的取值范围.

【答案】

32．（山东省临沂市

2013

届高三

5

月高考模拟理科数学）已知函数

2

1()e ln ,()ln 1,()2

f x x

g x x x

h x x ==--=

. (Ⅰ)求函数()g x 的极大值.

(Ⅱ)求证:存在0(1,)x ∈+∞,使01()()2

g x g =;

(Ⅲ)对于函数()f x 与()h x 定义域内的任意实数x ,若存在常数k,b,使得()f x kx b +≤和()h x kx b +≥都

成立,则称直线y kx b =+为函数()f x 与()h x 的分界线.试探究函数()f x 与()h x 是否存在“分界线”?若存在,请给予证明,并求出k ,b 的值;若不存在,请说明理由.

【答案】解:(Ⅰ)11()1(0).x g x x x x

-'=

-=＞ 令()0,g x '＞解得01;x ＜＜ 令()0,g x '＜解得1x ＞.

∴函数()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减. 所以()g x 的极大值为(1) 2.g =-

(Ⅱ)由(Ⅰ)知()g x 在(0,1)内单调递增,在(1,)+∞上单调递减,

令1()()()2x g x g ?=- ∴1

(1)(1)()0,2

g g ?=-＞

取e 1,x '=＞则

111(e)(e)()ln e (e 1)ln (1)222

g g ?=-=-+-++

3

e ln 20.2

=-++＜

故存在0(1,e),x ∈使0()0,x ?=即存在0(1,),x ∈+∞使01()().2

g x g = (说明:x '的取法不唯一,只要满足1,x '＞且()0x ?'＜即可) (Ⅱ)设2

1()()()eln (0)2

F x h x f x x x x =-=

-＞

则2e e ()x F x x x x -'=-==

则当0x ＜,()0F x '＜,函数()F x 单调递减;

当x 时,()0F x '＞,函数()F x 单调递增.

∴x =

()F x 的极小值点,也是最小值点,

∴min ()0.F x F ==

∴函数()f x 与()h x 的图象在x =

1

e 2

).