第二章圆锥曲线与方程含详细答案
第二章圆锥曲线与方程
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一、选择题
1.如图,所在的平面和四边形ABCD所在的平面互相垂直,且
,,,,,若
,则点P在平面a内的轨迹是( )
A. 圆的一部分
B. 椭圆的一部分
C. 双曲线的一部分
D. 抛物线的一部分
答案详解B
解:根据题意可得,即,
又因P、A、B三点不共线,故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆的一部分,故选 B.
2. 在中，，以，为焦点，经过的椭圆和双曲线的离心率分别为，，则（）。
A: B: C: D:
答案详解A正确率: 28%, 易错项: C
解析:本题主要考查椭圆和双曲线的几何性质。
3. 设圆锥曲线的两个焦点分别为，，若曲线上存在点满足
，则曲线的离心率等于（）。
A: 或B: 或C: 或D: 或
答案详解A正确率: 36%, 易错项: B
解析:本题主要考查双曲线和椭圆的离心率。
由题意，可能为双曲线或椭圆，可令，，，如
果为双曲线，那么其离心率为，如果为椭圆，那么其离
心率为，综上，曲线的离心率为或。
故本题正确答案为A。
如图，不妨设，对于椭圆，，所以
；
对于双曲线，，所以。所以。
故本题正确答案为A。
4. 已知抛物线C的顶点是椭圆x24+y23=1的中心,焦点与该椭圆的右焦点F2重合,若抛物线C与该椭圆在第一象限的交点为P,椭圆的左焦点为F1,则|PF1|=( )
A. 23
B. 73
C. 53
D. 2
5.如图，直线与抛物线交于点，与
圆的实线部分交于点，为抛物线的焦点，
则三角形的周长的取值范围是（）
A. B. C. D.
答案B
解析【命题立意】本题考查抛物线的定义与曲线间的位置关系，难度较大.
【解题思路】设点，的横坐标分别是，，则依题意
有，的周长等
于；
由解得与（舍去），结
合题意与图形可知，，，因
此的周长的取值范围是，故选B
6、斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为（）
A.2
B.
C.
D.
答案详解此题答案为：C.
解：设直线l的方程为y=x+b，
将直线l的方程代入椭圆中可得5x2+8bx+4b2-4=0.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1·x2=.
由弦长公式可得
|AB|=|x1-x2|=|x1-x2|=×
=×≤（当b=0时，取等号）.故选C.
7、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们到
直线的距离之和等于5,则这样的直线( )
A. 有且仅有一条
B. 有且仅有两条
C. 有无穷多条
D. 不存在
答案详解D
解:抛物线的焦点坐标为,准线方程为,
设A,B的坐标为,,则A,B到直线的距离之和
设直线方程为,代入抛物线,则,即
,
,B到直线的距离之和
过焦点使得到直线的距离之和等于5的直线不存在
8、已知中心在原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为、
，这两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角
形。若，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的取值范围是（）。
A: B: C: D:
答案详解B正确率: 55%, 易错项: C
解析:本题主要考查圆锥曲线数形结合和简单应用。
设椭圆半长轴为，半焦距为，双曲线半长轴为，半焦距为。
由题意可知，，解得。
又因为是以为底边的等腰三角形，所以，则
，即，所以，可解得（，）。
则，令（），则，代入可得，
在上单调递增。当时，，所以。
9、点是抛物线：（）与双曲线：（，）
的一条渐近线的交点（异于原点），若点到抛物线的准线的距离为，
则双曲线的离心率等于（）。
A: B: C: D:
答案详解C正确率: 41%, 易错项: B
解析:本题主要考查抛物线与双曲线的相关知识。
因为点到抛物线的准线的距离为，根据抛物线的性质可知，
，代入抛物线方程，得点坐标为。且点在上，所以
，即。
10、过抛物线的焦点的直线与抛物线交于
A、B两点,且为坐标原点)的面积为,则等于( ) A. 4 B. 2 C. 6 D. 8
答案B
解:根据题意,可以知道该抛物线的焦点为,它过直线,代入直线方程,
可以知道:求得直线方程变为:
A,B两点是直线与抛物线的交点,它们的坐标都满足这两个方程.
方程的解,;
代入直线方程,可以知道:,
的面积可分为与的面积之和,而与
若以OP为公共底,
则其高即为A,B两点的y轴坐标的绝对值,
与的面积之和
求得,
11、如图3,已知双曲线上有一点，它关于原点
的对称点为点，为双曲线的右焦点,且满足,设且,则该双曲线离心率的取值范围为
A. B. C.
答案B
解析本题主要考查双曲线的简单几何性质.如图所示，设为双曲线的左焦
点，,所以，根据双曲线的对称性可知，四边形AFB是矩形，
,且,易求,
,则，
,因为且,所以
，化简求解可得，该双曲线离心率的取值范围为
12、设双曲线（，）的右焦点为，右顶点为，过作
的垂线与双曲线交于，两点，过，分别作，的垂线，两垂线
交于点。若到直线的距离小于，则该双曲线的渐近线的斜率的取值范围是（）。
A: B: C: D:
答案详解A
解析:本题主要考查双曲线的性质。
根据题意作图如下所示，
根据已知条件可知，图中图形关于轴对称，点在轴上。
写出各点坐标如下，，，，，，
。
方程：，令，得点横坐标为
，方程：，那么到直线的距离为
。得，所
以。该双曲线渐近线斜率为，所以其取值范围为
。
二、填空题
13
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的顶点,,的
内切圆圆心在直线上,则顶点C的轨迹方程是
答案详解
解:如图,与圆的切点分别为E、F、G,
则有,,,
所以.
根据双曲线定义,所求轨迹是以A、B为焦点,实轴长为6的双曲线的右支,
方程为.因此，本题正确答案是:.
14、已知两定点,,若直线上存在点P,使得,
则称该直线为“A型直线”,给出下列直线:(1);(2);(3)
;(4),其中是“A型直线”的有
答案①④
解:由椭圆的定义可以知道,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,其方程是
,
对于(1),把代入,并整理得,由
,
则是“A型直线”;
对于(2),把代入,得不成立,不是“A型直线”;
对于(3),把代入,并整理得,,
,
则不是“A型直线”;
对于(4)把代入,并整理得,,由
,则是“A型直线”.
因此，本题正确答案是:(1)(4).
15、已知椭圆（）的两个焦点分别为，，设为椭圆
上一点，的外角平分线所在的直线为，过，分别作的垂线，垂
足分别为，，当在椭圆上运动时，，所形成的图形的面积为。答案详解
解析:本题主要考查圆锥曲线综合。
如图所示，为的角平分线，因此，又，
。所以。随
着点在椭圆上运动，，所以，即点、在直径为的
圆内运动，故形成的图形的面积为。
故本题正确答案为。
16、平面直角坐标系中，双曲线：（，）的渐近线
与抛物线：（）交于点，，。若的垂心为的焦点，则的离心率为_____。
答案详解
解：由已知可得焦点坐标为，
设左交点为A，右交点为B，联立渐近线方程与抛物线方程，
可得，，即点B坐标为，
由已知可得渐近线与直线垂直，所以有，
解得，所以双曲线的离心率。
三、解答题
17、已知抛物线的焦点为,抛物线的焦点为M.
(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点,求直线l的方程;
(2)若直线MF与抛物线C交于A、B两点,求的面积.
解:(1)抛物线的焦点为,抛物线
的焦点为M, ,斜率不存在时,,满足题意;
斜率存在时,设方程为,代入,可得
,
时,,满足题意,方程为;
时,,,方程为,
综上,直线l的方程为或或;
(2)直线MF的方程为,代入,可得,
设,,则,,
的面积.
18、已知圆,圆,动圆P与圆M外切并与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.
(I)求C的方程.
(Ⅱ)若直线与曲线C交于R,S两点,问是否在x轴上存在一点
T,使得当k变动时总有若存在,请说明理由.
答案详解
解:(Ⅰ)圆的圆心为,半径,
圆N的圆心,半径
设圆P的圆心为,半径为R.
圆P与圆M外切并与圆N内切,
由椭圆的定义可以知道,曲线C是以M,N为左右焦点,长半轴长为2,短半轴为
3
的椭圆(左顶点除外),
的方程为
(Ⅱ)假设存在满足.设,
联立
y=k(x-1)
3x2+4y2-12=0
得, 由韦达定理有
x1+x2=
8
k
2
3
+
4
k
2
x1x2=
4
k
2
-
1
2
3
+
4
k
2
① ,其中恒成立,
由(根据题意TS,TR的斜率存在),
故,即②,
由R,S两点在直线上,故,, 代入②得
,
即有③
将①代入③即有:④,
要使得④与k的取值无关,当且仅当““时成立,
综上所述存在,使得当k变化时,总有
19、已知直线与椭圆（）相交于、两点。
（1）若椭圆的离心率为，焦距为，求线段的长；
（2）若向量与向量互相垂直（其中为坐标原点），当椭圆的离心
率时，求椭圆长轴长的最大值。
答案详解
（1）因为，，即，所以，则，所
以椭圆的方程为，将代入消去得，设
，，因此，。所以
； ......6分
（2）因为向量与向量互相垂直，因此，即，
由，消去可得，由
，整理得，又，
，所以，由
，可得，所以，
整理得，所以，代入上式得
，所以，因为，所以，所
以，所以，，所以，此时
满足，由此得，所以，故长轴长的最大
值为。 ......14分
20、已知椭圆：（）过点，且离心率。
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线：（）交椭圆于，两点，判断点与
以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由。
答案详解
（1）由已知得，，解得，所以椭圆的方程为。
（2）设点，，则，，由
得，所以，，从而
所以，又，不共线，所以为锐角，故点在以为直径的圆外。
21、已知点,(其中是曲线上的两点,
A,D两点在x轴上的射影分别为点B,C,且.
(Ⅰ)当点B的坐标为时,求直线AD的斜率;
(Ⅱ)记的面积为,梯形ABCD的面积为,求证:.
解:(Ⅰ)由,可得,代入,得到,
又,则,可得,代入,得到,
则;
(Ⅱ)证法一:设直线AD的方程为,
则.
由,得,
所以,
又,
又注意到,所以,,所以,
因为,所以,所以.
证法二:设直线AD的方程为.
由,得,
所以,
,
点O到直线AD的距离为,所以, 又,
又注意到,所以,,所以,
因为,所以,所以.
22、已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，
过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有。当
点的横坐标为时，
为正三角形。
（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，
（ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）
的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，
请说明理由。
答案详解（1）由题意知
，设，则的中点为
，
因为，由抛物线的定义知，解得
或（舍
去），由
，解得
。所以抛物线的方程为。
（2）（i ）由（1）知，设
，
。
因为，则，由
得，故
。
故直线
的斜率
，
因为直线和直线平行，设直线的方程为
，
代入抛物线方程得，由题意
，得
。
设，则，
。
当
时，
，可得直线
的方程为
，
由，整理可得，直线恒过点，
当
时，直线
的方程为，过点，所以直线
过定点
。
（ii ）由（i ）知直线
过定点
，所以
，
设直线的方程为，
因为点在直线上，故，
设，直线的方程为，
由于，可得，代入抛物线方程得。
所以，可求得，。
所以点到直线的距离为，
则的面积，
当且仅当即时等号成立。所以的面积的最小值为。
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考点1 椭圆
1、直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴
长的，则该椭圆的离心率为（）。
A: B: C: D:
答案详解B正确率: 54%, 易错项: C
解析:本题主要考查直线与圆锥曲线。
如下图所示，