北京航空航天大学概统随考试卷A卷及答案A和B卷

北京航空航天大学

BEIHANG UNIVERSITY

2009－2010 学年 第二学期期末

考试统一用答题册

班 级_____________ 学 号 _____________

姓 名______________ 成 绩 _________ 考场教室_________ 任课教师_________

A

2009年6月 24 日8：00—10：00

一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1、设1234,,,X X X X 是来自正态总体2

(0,)N σ的样本，设∑==

4

1

4

1

i i

X X ，

当2

σ

= ( )时， 概率}21{≤≤X P 最大。

（A

， （B ）

6ln 2

， （C

， （D ）

32ln 2

。

2、 设总体X 的密度函数为1

(1)01

(;)0x x x f x θθθθ-?+<<=?

?

(1-)，

，其它

，其中0θ>，

12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，则参数θ的矩估计量为（ ）

。 （A ）1X X

- ， （ B ）22X X

- ， （C ） 2X X

- ， （ D ） 21X X

-。

3、设1,,n X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，当c =（ ）时，222??X c μ

σ=+是 2

μ的无偏估计，其中2

2

1

1?()n

i

i X

X n

σ

==-∑，∑

==

n

i i X n

X 1

1 。

（A ）11

n -- ， （B ）

11

n - ， （ C ） 1n

- ， （ D ）1n

。

4、设随机变量),(~2σμN X ,则=-||μX E [ ].

(A) 0, (B) σ, (C)

σπ

22, (D) μ.

5、两人约定在某地相会,假定每人到达的时间是相互独立的,且到达时间在中午12时

到下午1时之间服从均匀分布,则先到者等待10分钟以上的概率为[ ]. (A)

36

25, (B)

72

25, (C)

52

47, (D)

36

11.

6、设n X X X ,,,21???是总体),(2

σμN 的样本,μ已知,下列几个作为2σ的估计量中,

较优的是[ ].

(A) 2

12

1

)

(1

?X X n

n

i i

-=

∑=σ, (B) 2

1

2

2

)

(1

1

?X X n n

i i

--=

∑=σ,

(C) 2

1

2

3

)

(1

?μσ-=

∑=n

i i

X n

, (D) 2

1

1

24

)

(1

1

?μσ--=

∑-=n i i

X n .

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、有n 个白球与n 个黑球任意地放入两个袋中,每袋装n 个球.现从两袋中各取一

球,则所取两球颜色相同的概率为 。

2、在无线电通讯中,由于随机干扰,当发出信号为“0”时,收到信号为“0”、不清

和1的概率分别为0.7,0.2,0.1; 当发出信号为 1时,收到信号为1、不清和0 的概率分别为0.9,0.1和0.如果在发报过程中发出0和1的概率分别是0.4和 0.6。当收到信号为不清时,原发信号是1的概率为 。

3、三门火炮同时炮击一敌舰(每炮发射一弹).设击中敌舰一、二、三发炮弹的概率 分别为0.6、0.5、0.3,而敌舰中弹一、二、三发时被击沉的概率分别为0.3、 0.6、0.9.则敌舰被击沉的概率为 。

4、 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，随机变量Y 服从两点分布：

,}{p a Y P ==,1}{p b Y P -==)10(<

与Y 相互独立，

则随机变量Y X Z +=的分布函数=)(z F Z 。

5、设12,,,n X X X 是来自正态总体20(,)N μσ的样本，μ未知，20σ已知。

对给定置信水平1α-（01α<<），满足

{}1P a b α≤

≤=-，

即满足{}1P X X μα-

≤≤-

=-的实数,a b ()a b <有无穷多组，

当=a ，=b 时，就可使得μ的置信水平为1α-

的置信区间

,X X ?

?--?

??

? 的长度最短。（用标准正态分布的分位点表示出所求的b a ,即

可。）

6、设总体()2

,~σμN X ,

n

x x x ,,,21 为X 的样本.

记 ∑==

n

i i

x n

x 1

1

，这里规定 2

1

2

)

(1

∑=-=

n

i i

x x

n

s ,2

2

s n

σ

2

1

2

)

(1

∑=-=

n i i

x x

σ

.

在未知方差2

σ， 检验假设0H :0μμ=时，

选取检验用的统计量是 。

三、（满分12分）对同一目标进行三次独立射击,第一、二、三次射击的命中概率分别为

0.4,0.5,0.7,试求:(1)在这三次射击中,恰好有一次击中目标的概率;

(2)至少有一次击中目标的概率.

四、（满分12

分） 已知随机变量X 的概率密度为??

?

??<<=其它,00,2)(2ππx x

x f ,

试求X Y sin =的分布函数)(y F Y 和概率密度)(y f Y .

五、（满分8分）设随机变量X 的二阶矩存在，

证明:当EX k =时,2

)(k X E -的值最小,最小值为DX .

六、（满分12分）设总体)3,0(~2

N X

,从此总体中取一容量为4的样本4321,,,X X X X ,设

2

432

21)43()2(X X b X X a Y -+-=,

（1）求212X X -服从的分布；（2）求4343X X -服从的分布； （3）试决定常数b a ,,使随机变量Y 服从2χ分布.

七、（满分8分）（此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做）

设 t Y t X t Z ωωcos sin )(+= ,其中ω是常数, X 与Y 是相互独立的随机变量,

且)1,0(~N X ,]3,3[~-U Y , 试求:

（1）2EX ，2EY ； （2）)]([t Z E ，)]()([τ+t Z t Z E ，)]([2t Z E ； （3）问)(t Z 是否为广义平稳过程？

[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）

有甲、乙两炮向同一目标轮流射击,直至有一炮击中目标为止.甲、乙两炮击中的概率分别为0.3和0.7,规定甲炮先射.以X 和Y 分别表示甲、乙两炮所用炮弹数. （1）试写出X 的分布律，求Y 的分布律； （2）求EY EX ,。

八、（满分12分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做）

四个位置:1,2,3,4在圆周上逆时针排列.粒子在这四个位置上随机游动.粒子从任何一个位置,以概率

3

2逆时针游动到相邻位置; 以概率3

1顺时针游动到相邻位置;以j n X =)(表示时

刻n 粒子处在位置)4,3,2,1(=j j ,

试作:(1)写出齐次马尔可夫链},2,1),({ =n n X 的状态空间； (2)求齐次马尔可夫链},2,1),({ =n n X 的一步转移概率矩阵;

（3） 求两步转移概率矩阵)2(P ； (4)求该齐次马尔可夫链的平稳分布. [八]、（满分12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）

设??????,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列,且其分布律为

,3

1}{1

+=

-=n n

n X

P ,3

1}{1

+=

=n n

n X

P ,3

21}0{1

+-

==n n

X

P ),2,1(???=n ；

记∑==

n

i i

n X n

Y 1

1

,),2,1(???=n 。 (1)求n EX ，2n

EX

，n

DX

； (2)求n EY ，n DY ;

（3）证明: 对任给0>ε，成立1}|{|lim =<∞

→εn n Y P 。

概率论与数理统计 考试卷

A 、

B 卷答案及评分细则 （2009-1-16 ）

A 卷 ：一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1、B ；

2、D ；

3、A ；

4、C ；

5、A ；

6、C 。

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、1

21)(--=

n n A P , 或1

21)(2

22

12--=

=

n n C C C A P n

n .

2、

42857

.07

3= ；3、75

.0；

4、 }{)(z Y X P z F Z ≤+=)()1()(b z F p a z pF --+-= ；

5、1(1)2

a α

-=-Φ-

2

2

1αα

z z

=-=-

，1

(1)2

b α

-=Φ

-2

1α

-

=z

；

6、()1~11

0---=

--=

n t n s

x n s x T μμ 。

B 卷 ：一、单项选择题（每小题3分，满分18分）

1、C ；

2、A ；

3、C ；

4、B ；

5、D ；

6、A ；

二、填空题（每小题3分，满分18分）

1、 }{)(z Y X P z F Z ≤+=)()1()(b z F p a z pF --+-= ；

2、1

(1)2

a α

-=-Φ-

2

2

1αα

z z

=-=-

，1

(1)2

b α

-=Φ

-

2

1α

-

=z

；

3、()1~110

0---=

--=n t n s

x n s x T μμ；

4、1

21)(--=

n n A P ,或1

21)(2

22

1

2--=

=

n n C C C A P n

n .

5、

42857

.07

3=； 6、75

.0；

三、（满分12分）

解 设=i A 第i 次射击时击中目标,3,2,1=i ,321,,A A A 相互独立,

7.0)(,5.0)(,4.0)(321===A P A P A P ;

（1） 设=1B 恰好有一次击中目标,则3213213211A A A A A A A A A B ++=,

于是)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++=

)

()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=

36.07.05.06.03.05.06.03.05.04.0=??+??+??=;……………….6分

（2） 设=A 至少有一次击中目标,则321A A A A ++=, 故)()()(1)()(321321A P A P A P A A A P A P -=++=

91.03.05.06.01=??-=.……………………………………………………..6分

四、（满分12分）

解 }{sin }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=,

(1)当1≥y 时, }{sin }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤=1}{==S P ; (2) 当1-

≤==y

dx x f sin 0)( ;

(4)当 10<≤y 时, }{sin }{)(y X P y Y P y F Y ≤=≤= ?

≤=

y

x dx x f sin )(dx x

dx x

y

y

?

?-+

=

arcsin 0

arcsin 2

2

22π

π

π

π

y arcsin 2

π

=,

??

???

≥<≤<=1

,110,

arcsin 2

,0)(y y y y y F Y π

；………………………………………………………8分 (2)所以 ?

????<≤-=其它

,010,112

)(2

y y

y f Y π . ………………………………………………4分

五、（满分8分）

证明 由2

2

)]()[()(k EX EX X E k X E -+-=-

])())((2)[(2

2

k EX k EX EX X EX X E -+--+-=

2

2)()(k EX EX X E -+-=,

DX EX X E =-≥2

)(,………………………………………………6分

知当EX k =时,2)(k X E -的值最小,最小值为DX .……………………………………2分 (用22

22)()(k k EX EX

k X E k f +?-=-=2

22

)()(EX k EX EX

-+-=,

或利用导数求极值也可.)

六、（满分12分）

解 因为 )3,0(~2N X i ,4,3,2,1=i ,且4321,,,X X X X 相互独立,

0=i

EX

，2

3=i

DX

；

（1）因为0)2(21=-X X E ，22135)2(?=-X X D ，

所以)35,0(~2221?-N X X ,……………………………………………………………4分 （2）由0)43(43=-X X E ,243325)43(?=-X X D ，

得)15,0(~432

43N X X -；……………………………………………………………4分

（3）

)1,0(~)2(5

3121N X X -,

)1,0(~)43(15143N X X -

故)1(~)]2(5

31[

2

221χX X -，)1(~)]43(15

1[

2

243χX X -

由2χ分布的可加性,得

)2(~)

43(225

1)2(45

12

2

432

21χX X X X -+-,

由Y 所给的表达式,即知225

1,451=

=b a ;……………………………………4分

七、（满分8分）（此题学过1-9章和11-13章的学生做，仅学过1至9章的学生不做）

解.（1）由题设条件得 1,1,02

===EX

DX EX ;

1,1,02

===DY EY

EY ;

0][=?=EY EX XY E ; ………………………………………………………………2分

（2）0cos sin )]([=?+?=EY t EX t t Z E ωω,…………………………………………1分

)]

()([τ+t Z t Z E

2

)(sin sin EX

t t ?+?=τωω][)](sin cos )(cos [sin XY E t t t t τωωτωω+?++?+

2

)(cos cos EY t t ?+?+τωω

)(sin sin τωω+?=t t )(cos cos τωω+?+t t ωτcos = , ………………………………2分

1)]([2=t Z E , ……………………………………………………………………………1分 （3）因为0)]([=t Z E ，1)]([2=t Z E ，)]()([τ+t Z t Z E ωτcos =，(不依赖于t ), 所以 )(t Z 是广义平稳过程. ………………………………………………………………2分

八、（满分12分）（此题学过1至9章和11-13章的学生作，仅学过1至9章的学生不做）

解.(1)依题意 ,状态空间 }4,3,2,1{=S , ………………………………………3分

（2）转移概率矩阵 ??????

????

? ?

?

==?03

10

3

2320310032031310320)(4

4ij p P ,……………………3分

（3）2

)

2(P P =??????????

? ??=03

10

3

232031003203

1310320??????????

? ??03

10

3

2320310032031310320 ???????

???

?

??=940950094095950940

095094 ；…………………………………3分

(4) ???=+++=1

),,,(),,,(432143214321p p p p P p p p p p p p p ,

),,,(4321p p p p ),,,(4321p p p p =??????????

? ??03

10

3

232031003203

1

310320，

3

2

314

2

1p p p +=, 3

13

23

12p p p +=, 3

13

24

2

3p p p +=,

3

23

13

14p p p += ， 1

4321=+++p p p p 。

解之得 4

1

4321====p p p p .

故平稳分布为),,,(4321p p p p )4

1

,41,41,41(=. …………………………………3分

[七]、（满分8分）（此题仅学过1至9章的学生做；学过1至9章和11-13章的学生不做）

解 （1） 以i A 和i B 分别表示甲乙在第i 轮射击中击中目标.显然Y X ,是离散型随机变量. 根据题意知

111}1{B A A X +==,)()(}1{111B A P A P X P +==79.0)()()(111=+=B P A P A P ;

2211211}2{B A B A A B A X +==,

21.079.0)()()]()()([}2{11222?=+==B P A P B P A P A P X P ;…

+==--k k k A B A B A k X 1111}{ k k k k B A B A B A 1111-- ,

)]()()([}{k k k B P A P A P k X P +==1

1111)

21.0(79.0)(---?=k k k B A B A P ,

于是,X 的分布律为1)21.0(79.0}{-?==k k X P , ,2,1=k . ………………………2分

Y 的可能取值为: ,2,1,0,1}0{A Y ==, 3.0)(}0{1===A P Y P ;

21111}1{A B A B A Y +==,553.0)()(}1{21111=+==A B A P B A P Y P ;

)

(}2{322112211A B A B A B A B A P Y P +==21.0553.0)()]()([2132222?=+=B A P A B A P B A P ,

…

1

1111121

.0553.0)()]()([}{---+?=+==k k k k k k k k B A B A P A B A P B A P k Y P ，

于是,

Y 的分布律为

3.0}0{==Y P ,1

)

21.0(553.0}{-?==k k Y P , ,2,1=k . ………………………2分

（2）∑

+∞

=-??=

1

1

)

21.0(79.0k k k EX 1

1

)

21.0(79.0-+∞

=∑?=k k k

2658.179

.01)

21.01(179.02

==

-?

= ；…………………………………………………2分

∑+∞=-??+

?=1

1

)

21.0(553.03.00k k k EY 1

1

)

21.0(553.0-+∞

=∑?=k k k

2

2

)

79.0(533.0)

21.01(1553.0=

-?

=88607.079

.07.0==

。…………………………………2分

[八]、（满分12分）（此题仅学过1至9章学生做，学过1-9章和11-13章学生不做）

证明 （1）由数学期望和方差的性质及条件,有

003

13

11

1

=+?

+?

-=++n n n

n n EX ，

1

1

2

1

2

2

3

203

1)(3

1)(+++=

+?

+?

-=n n n n

n n n EX

，

1

23

2+=

=n n

n

n EX

DX

，…………………………………………………………………3分

（2）)1

(

1

∑==n

i i n X n

E EY 01

1

==

∑=n

i i

EX

n

,

)1

(

1

∑==n

i i n X n

D DY ∑

==

n

i i

DX

n

1

2

1∑=+=

n

i i i

n

1

1

2

3

21,…………………………………………4分

（3）)1

(1

∑==n

i i n X n

D DY n

n n

DX

n

n

i i

1112

1

2

=

≤

=

∑

=；

对任意0>ε

,由契比雪夫不等式,得

}|{|1ε<≥n Y P }|{|ε<-=n n EY Y P

2

2

111ε

ε

n DY n

-

=-

≥,

于是成立 1}|{|lim =<∞

→εn n Y P 。…………………………………………………………………5分