答案-高中数学必做100题--数学1

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高中数学必做100题⑴----数学1

1. 试选择适当的方法表示下列集合：

（1）函数22y x x =-+的函数值的集合；（2）3y x =-与35y x =-+的图象的交点集合.

解：（1）2

217224y x x x ?

?=-+=-+ ??

? ……（3分）

y ∴≥

，……（5分）故所求集合为7|4y y ??

≥????

.……（6分）（2）联立3

y x y x =-??=-+?，……（8分）

解得2

x y =??

=-?，……（10分）

故所求集合为

(){}2,1-.……（12分）

2. 已知集合{|37}A x x =≤<，{|510}B x x =<<，求()R C A B 、()R C A B 、()R C A B 、

()R A C B . （◎P 14 10）

解：{}()|310R C A B x x x =<≥ 或，……（3分）

{}()|57R C A B x x x =≤≥ 或，……（6分）

{}()|710R C A B x x =≤< ，……（9分）

{}()|710R A C B x x x =<≥ 或.……（12分）

3. 设全集*{|9}U x N x =∈<，{1,2,3}A =，{3,4,5,6}B =. （◎P 12 例8改编）（1）求A B ，A B ，()U C A B ，()U C A B ；解：{}1,2,3,4,5,6A B = ，……（1分）

{}3A B = ，……（2分）

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{}()7,8U C A B = ，……（3分） {}()1,2,4,5,6,7,8U C A B = .……（4分）

（2）求U C A ， U C B ， ()()U U C A C B ，()()U U C A C B ；解：{}4,5,6,7,8U C A =，……（5分）

{}1,2,7,8U C B =，……（6分）

{}()()1,2,4,5,6,7,8U U C A C B = ，……（7分） {}()()7,8U U C A C B = . ……（8分）

（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn 图进行分析.

解：()()()U U U C A B C A C B = ，……（9分）()()()U U U C A B C A C B = . ……（10分） Venn 图略. ……（12分）

4. 设集合{|(4)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(1)(4)0}B x x x =--=. （◎P 14 B 4改编）（1）求A B ，A B ；

解：①当4a =时，{}4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B = ，{}4A B = ；……（2分） ②当1a =时，{}1,4A =，{}1,4B =，故{}1,4A B = ，{}1,4A B = ；……（4分） ③当4a ≠且1a ≠时，{},4A a =，{}1,4B =，故{}1,,4A B a = ，{}4A B = . ……（6分）

（2）若A B ?，求实数a 的值；

解：由（1）知，若A B ?，则1a =或4. ……（8分）

（3）若5a =，则A B 的真子集共有个, 集合P 满足条件()()A B P A B 刎，写出所有可能的集合P .

解：若5a =，则{}4,5A =，{}1,4B =，故{}1,4,5A B ?=，此时A B 的真子集有7个. ……（10分）

又{}4A B ?= ，∴满足条件()()A B P A B 刎的所有集合P 有{}1,4、{}4,5. ……

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（12分） 5. 已知函数3()41

f x x -=

+. （1）求()f x 的定义域与值域（用区间表示）（2）求证()f x 在1(,)4

-+∞上递减. 解：（1）要使函数有意义，则410x +≠，解得1

x ≠-. ……（2分）所以原函数的定义域是1{|}4

x x ≠-.……（3分）

()311241(41)1311311041441441444144

x x x y x x x x ---++==?=?=-+≠-+=-++++，……（5分）

所以值域为1

{|}4

y y ≠-.……（6分）（2）在区间1,4??

+∞ ???

上任取12,x x ，且12x x <，则 ()()()()()

2112

121212133341414141x x x x f x f x x x x x ----=

++++……（8分） 12x x < ，210x x ∴->……（9分）

又121,,4x x ??

∈-

+∞ ???

，12410,410x x ∴+>+>，……（10分） ()()120f x f x ∴->

()()12f x f x ∴>，……（11分）∴函数()f x 在1

(,)4

-+∞上递减. ……（12分）

6. 已知函数(4),0

()(4),0

x x x f x x x x +≥?=?-

解：(1)5f =，……（3分）()321f -=，……（6分）

()2265,1

123,1

a a a f a a a a ?++≥-?+=?--<-??.……（12分）

7. 已知函数2()2f x x x =-+. （☆P 16 8题）

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（1）证明()f x 在[1,)+∞上是减函数;（2）当2,5x ∈时，求()f x 的最大值和最小值. 解：（1）证明：在区间[1,)+∞上任取12,x x ，且12x x <，则有……（1分）

221211222112()()(2)(2)()(2)f x f x x x x x x x x x -=-+--+=-?+-，……（3分）

∵12,[1,)x x ∈+∞，12x x <，……（4分）

∴21120,x x x x ->0,+-2>即12()()0f x f x ->……（5分） ∴12()()f x f x >，所以()f x 在[1,)+∞上是减函数．……（6分）（2）由（1）知()f x 在区间[]2,5上单调递减，所以

max min ()(2)0,()(5)15f x f f x f ====-……（12分）

8. 已知函数()log (1),()log (1)a a f x x g x x =+=-其中(01)a a >≠且．（◎P 84 4）（1）求函数()()f x g x +的定义域；

（2）判断()()f x g x +的奇偶性，并说明理由；（3）求使()()0f x g x ->成立的x 的集合. 解：（1）()()log (1)log (1)a a f x g x x x +=++-.

若要上式有意义，则1010x x +>??->?

，即11x -<<. ……（3分）

所以所求定义域为{}11x x -<< ……（4分）（2）设()()()F x f x g x =+，则

()()()log (1)log(1)()a F x f x g x x x F x -=-+-=-+++=-.……（7分）

所以()()f x g x +是偶函数. ……（8分）

（3）()()0f x g x ->，即 log (1)log (1)0a a x x +-->，log (1)log (1)a a x x +>-.

当01a <<时，上述不等式等价于10

1011x x x x +>??

->??+<-?，解得10x -<<.……（10分）

当1a >时，原不等式等价于101011x x x x

+>??

->??+>-?，解得01x <<.……（12分）

综上所述, 当01a <<时，原不等式的解集为{10}x x -<<；当1a >时，原不等式的

解集为{01}x x <<.

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9. 已知函数2()(0,0)1

f x b a ax =

≠>+. （☆P 37 例2）

（1）判断()f x 的奇偶性；（2）若3211

(1),log (4)log 422

f a b =-=，求a ，b 的值.

解：（1）()f x 定义域为R ，2

()()1

f x f x ax --==-+，故()f x 是奇函数. ……（6分）（2）由1

(1)12

b f a =

=+，则210a b -+=.……（8分）又log 3(4a -b )=1，即4a -b =3. ……（10分）

由21043a b a b -+=??-=?

，解得a =1，b =1. ……（12分）

10. 对于函数2

()()21

x f x a a R =-

∈+. （1）探索函数()f x 的单调性；（2）是否存在实数a 使得()f x 为奇函数. （◎P 91 B3）解: (1) ()f x 的定义域为R , 设12x x <,

则12

1211

()()2121x x f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++,……（3分） 12x x < , 1212220,(12)(12)0x x x x ∴-<++>,……（5分） 12()()0,f x f x ∴-<

即12()()f x f x <,所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. ……（6分）

（2）假设存在实数a 使()f x 为奇函数, ()()f x f x ∴-=-……（7分）即22

2121

x x a a --

=-+

++,……（9分）解得: 1.a =……（12分）

11. （1）已知函数()f x 图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有零点. （☆P 9）

（2）已知二次方程的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取值范

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围. 解：（1）由(2)( 1.5)0f f --< ，(0.5)(0)0f f -< ，(0)(0.5)0f f < ，……（3分）得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分）（2）设()f x =2(2)31m x mx -++，则()f x =0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).

所以(1)(0)0(2)(0)0f f f f -?

， ……（10分）

∴ 17

210

m -<<．……（12分）

49解：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.

设销售单价定为x 元，则每个利润为（x －40）元，日均销量为[482(50)]x --个. 由于400x ->，且482(50)0x -->，得4074x <<.……（3分）

则日均销售利润为2(40)[482(50)]22285920y x x x x =---=-+-，4074x <<.……（8分）易知，当228

572(2)

x =-

=?-，y 有最大值. ……（11分）

所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）

13. 家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q 呈指数函数型变化，满足关系式400

0t Q Q e

-=，其中0Q 是臭氧的初始量. （1）随时间的增加，臭氧的含

量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（☆P 44 9）

解：（1）∵ 00Q >，0400

t -<，1e >， ∴ 400

0t Q Q e -=为减函数. ……（3分）

∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分）

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（2）设x 年以后将会有一半的臭氧消失，则400

0012x Q e Q -

=，即4001

x e -=，……（8分）两边去自然对数，1

ln 4002

x -

=，……（10分）解得400ln 2278x =≈.……（11分）

∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）

14. 某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依据. 用一个函数模拟产品的月产量y 与月份数x 的关系，模拟函数可选用二次函数2()f x px qx r =++（其中,,p q r 为常数，且0p ≠）或指数型函数()x g x a b c =?+（其中,,a b c 为常数），已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由.（☆P 51 例2）解：当选用二次函数2()f x px qx r =++的模型时，

∵()()20f x px qx r p =++≠，由()()()12,2 1.2,3 1.3f f f ===，有

42 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=??

++=??++=?

，解得0.05,0.35,0.7p q r =-==，……（4分） ∴()4 1.3f =.……（5分）

当选用指数型函数()x g x a b c =?+的模型时，

∵(),x g x a b c =?+ 由()()()11,2 1.2,3 1.3,g g g === 有

11.21.3

a b c a b c a b c ?+=???+=???+=? ，解得0.8,0.5, 1.4a b c =-==， ……（9分） ∴()4 1.35g =.……（10分）

根据4月份的实际产量可知，选用()0.80.5 1.4x

y =-?+作模拟函数较好. ……（12分）

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15. 如图，OAB ?是边长为2的正三角形，记OAB ?位于直线(0)x t t =>左侧的图形的面积为()f t . 试求函数

()f t 的解析式,并画出函数()y f t =的图象. （◎P 126 B2）

解：（1）当01t <≤时，

如图，设直线x t =与OAB ?分别交于C 、D 两点，则

OC t =，

又

CD BE OC CE ===

，CD ∴=，(

11222

f t OC CD t ∴=?=?= ……（4分）（2）当12t <≤时，

如图，设直线x t =与OAB ?分别交于M 、N 两点，则2AN t =-，

又

MN BE AN AE ===

，)2MN t ∴=- (

)

)22112222f t AN MN t ∴=???=-=+

……（8分）

（3）当2t >时，(

)f t =……（10分）

(

,01222t f t t t <≤????∴=+-<≤?>??

……（12分）

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16. 某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y （微克）与时间t （小时）之间近似满足如图所示的曲线. （1）写出服药后y 与t 之间的函数关系式y =f (t)；

（2）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.求服药一次治疗疾病有效的时间？（☆P 45 例3）解：（1）当0≤t ≤1时，y =4t ；……（2分）当t ≥1时，1

()2

t a y -=，此时(1,4)M 在曲线上， ∴114(),32a a -==，这时31()2

t y -=. ……（5分）

所以34(01)()1()(1)2t t t y f t t -≤≤??

==?≥??.……（6分）

（2）∵ 340.25

()0.25,1()0.252

t t f t -≥??

≥?≥??即， ……（8分）

解得1165

t t ??≥

??≤? ，……（10分）∴ 1516t ≤≤.……（11分）

∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为115

541616

-=个小时. ……（12分）

答案整理：周洁

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