四川省宜宾市2015届高三第一次诊断考试数学理试题 Word版含答案

2014年秋期普通高中三年级第一次诊断测试

数 学（理工农医类）

本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．满分150分，考试时间120分钟. 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷（选择题，共50分）

注意事项：

必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑． 一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分；在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}{}

102,73<<=<≤=x x B x x A ,则=B A

(A) {}73<≤x x (B) {}73<

72<≤x x (D) {}102<≤x x 2.函数)2

sin(1π

-

+=x y 的图象

(A) 关于x 轴对称 (B) 关于y 轴对称 (C) 关于原点对称 (D)关于直线2

π

=x 对

称

3．二项式5

2)1x

x +

（的展开式中，x 的系数为 (A) 10 (B) 15 (C) 20 (D) 25

4.给出下列三个命题：

①命题p ：x R ?∈,使得012<-+x x ， 则p ?：x R ?∈，使得012≥-+x x

② ”或“15-<>x x 是“2450x x -->”的充要条件. ③若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题.

其中正确．．

命题的个数为 (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

5．执行如图所示的程序框图，输出的

S 值是 (A) 2 (B) 4

(C) 8

(D) 16

6.顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点)24(--，P 的抛物线的标准方程是 (A) x y -=2

(B) y x 82

-=

(C) x y 82

-=或y x -=2

(D) x y -=2

或y x 82

-=

7.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中小明必须站在正中间，并且小李、小张两位同学要站在一起， 则不同的站法有 (A) 192种

(B) 120种

(C) 96种 (D) 48种

8.已知单位向量m 和n 的夹角为60,记a =n -m , 2b =m , 则向量a 与b 的夹角为 (A) 30

(B) 60 (C) 120 (D) 150

9.双曲线)0,0122

22>>=-b a b

y a x （的左右焦点为21F F ，,P 是双曲线右支上一点，

满足条件212F F PF =,直线1PF 与圆222a y x =+相切，则双曲线的离心率为

(A)

4

5

(B)3 (C)

332 (D)3

5

10.设函数???>≤=0,log 0

,2)(2x x x x f x ，若对任意给定的),1(+∞∈t ，都存在唯一的R x ∈，满足

at t a x f f +=222))((，则正实数．．．a 的最小值是

(A) 2 (B)

12 (C) 14 (D)

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚．试题卷上作答无效. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.已知i 是虚数单位，则21i i

=+▲.

12.函数x x x f ln )(2

+=的图像在点)1,1(A 处的切线方程为▲.

13.在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为,,a b c ，且满足B a A b cos sin =，则角B 的大小为▲.

14.在正方体1111D C B A ABCD -中，点P 是上底面1111D C B A 的中心，点Q 在线段PD 上运

动，则异面直线BQ 与11D A 所成角θ最大时，=θcos ▲.

15.对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2

x x f x f x x π?∈?

=?-∈+∞??，有下列4个结论：

①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立； ②()2(2)f x kf x k =+*

()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；

③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点； ④对任意0x >，不等式2

()f x x

≤

恒成立． 则其中所有正确结论的序号是▲.

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．不能答试卷上，请答在答题卡相应的方框内. 16.（本题满分12分）

已知函数)0(sin cos sin 2cos )(2

2

>-+=ωωωωωx x x x x f ，且周期为π. （I ）求ω的值；

（II ）当x ∈[2

0π

，]时，求)(x f 的最大值及取得最大值时x 的值.

17.（本题满分12分）

在2014年11月4日宜宾市举办的四川省第十四届少数民族传统体育运动会的餐饮点上，某种茶饮料一天的销售量与该天的日平均气温(单位：℃)有关，若日平均气温不超过15 ℃，则日销售量为100瓶；若日平均气温超过15℃但不超过20 ℃，则日销售量为150 瓶；若日平均气温超过20 ℃，则日销售量为200瓶．据宜宾市气象部门预测，该地区在运动会期间每一天日平均气温不超过15 ℃，超过15 ℃但不超过20 ℃，超过20 ℃这三种情况发生的概率分别为P 1，P 2，P 3，又知P 1，P 2为方程5x 2－3x ＋a ＝0的两根，且P 2＝P 3. （I ）求P 1，P 2，P 3的值；

（II ）记ξ表示该茶饮料在运动会期间任意两天的销售量总和(单位：瓶)，求ξ的分布列及数学期望．

18.（本题满分12分）

如图，一简单几何体ABCDE 的一个面ABC 内接于圆O, G 、H 分别是AE 、BC 的中点，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC.

（I ）证明:GH //平面ACD ；

（II ）若AC=BC=BE =2,求二面角O-CE-B 的余弦值.

19. （本题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，向量)1,n S （=a ,)2

1

,12-=n （b ,满足条件

b a λ=,R ∈λ且0≠λ.

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设函数x x f )2

1()(=，数列{}n b 满足条件21=b ，)(,)

3(1

)(1*+∈--=

N n b f b f n n

(i) 求数列{}n b 的通项公式；(ii)设n

n

n a b c =

，求数列{}n c 的前n 和n T .

20. （本题满分13分）

已知点Q P ,的坐标分别为(2,0)-，(2,0)，直线QM PM ,相交于点M ,且它们的斜率之

积是14

-

（I ）求点M 的轨迹方程；

（II ）过点O 作两条互相垂直的射线，与点M 的轨迹交于,A B 两点.试判断点O 到直线AB

的距离是否为定值.若是请求出这个定值，若不是请说明理由.

21. （本题满分14分）

已知函数c bx ax x x f +++=2

3

4

)(，在y 轴上的截距为5-，在区间[]10，

上单调递增，

在[]21，上单调递减，又当2,0==x x 时取得极小值. （I ）求函数)(x f 的解析式；

（II ）能否找到函数)(x f 垂直于x 轴的对称轴，并证明你的结论；

（Ⅲ）设使关于x 的方程5)(2

2

-=x x f λ恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A ，

且两个非零实根为

12

,x x ,试问：是否存在实数m ，使得不等式

2122x x tm m -≤++对任意[]A t ∈-∈λ,3,3恒成立？若存在，求m 的取值范围；

若不存在，请说明理由.

高中2012级一诊测试

数学（理工类）试题参考答案及评分意见

说明：

一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．

二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题（每小题5分，共25分）

11. 1+i 12. 3x-y-2=0 13. 4π

14. 15. ①③④

三、解答题（共75分）

16.解：(1)∵)2sin 2

22cos 22(

22sin 2cos )(x x x x x f ωωωω+=+=.....（2分） =)4

2sin(2π

ω+x ..................................................................（4分）

∵π=T 且0ω

>， 故

1,22==ωπω

π

则......................................................................（6分）

(2):由(1)知)42sin(2)(π

+

=x x f

∵2

0π

≤

≤x ∴

4

54

24

π

π

π

≤

+

≤x ................................................................................（7分） ∴1)4

2sin(22≤+≤-

π

x . ∴2)4

2sin(21≤+

≤-π

x .......................................................................................（9分）

∴当2

4

2π

π

=

+

x 时，即8

π

=

x ，y 取得最大值为2............................................（12分）

17.

解：（I ）由已知得

12312

231

35P P P P P P P

++=???+=??

=??，解得：

123122,, (4555)

P P P =

==

（分） （II ）

ξ

的可能取值为200，250，300，350，400

...........................5（分）

11

(200),55

124

(250)2,

552512228

(300)2,

555525228

(350)2,

5525224

(400) (105525)

P P P P P ξξξξξ

==?==??===??+?===??===?=（分）

随机变量ξ的分布列为

所求的数学期望为

14884200250300350400320() (122525252525)

E ξ=?

+?+?+?+?=瓶（分）

18.解： (1)证明：连结GO,OH

∵GO//AD,OH//AC ...................................................................................................................（2分）

∴GO//平面ACD,OH//平面ACD,又GO 交HO 于O ...............................................................（.4分） ∴平面GOH//平面ACD..........................................................................................................（5分） ∴GH//平面ACD.....................................................................................................................（6分） (2)法一：以CB 为x 轴，CB 为y 轴，CD 为z 轴，建立如图所示的直角坐标系 则C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2)

平面BCE 的法向量)0,1,0(=m ，设平面OCE 的法向量),,(000z y x n =.......................（8分）

)0,1,1(),2,0,2(==CO CE

∴????

?=?=?00CO n CE n 则???=+=+0

220000y x z x ，故???-=-=0000x y x z

令)1,1,1(,10-=-=n x ..........................................................................................................（10

分）

∵二面角O-CE-B 是锐二面角，记为θ，则

33

3

11cos cos =?<=m θ................................................................（12分）

法二：过H 作HM ⊥CE 于M ，连结OM

∵DC ⊥平面ABC ∴平面BCDE ⊥平面ABC 又∵AB 是圆O 的直径 ∴AC ⊥BC,而AC//OH

∴OH ⊥BC ∴OH ⊥平面BCE ..........................................................................................（8分） ∴OH ⊥CE ,又HM ⊥CE 于M ∴CE ⊥平面OHM

∴CE ⊥OM ∴OMH ∠是二面角O-CE-B 的平面角...................................................（10分） 由,~CBE Rt CMH Rt ??且CE=22. ∴

2

21

2=

?=HM CE CH BE HM ∴22=

HM 又OH=12

1

=AC

分）

∴33

2

6

22

cos =

==∠OH HM OMH ......................................................................................（12分）

19.（Ⅰ）因为a=λb 所以22,122

11-=-=+n n n n S S .

当2≥n 时，n n n n n n S S a 2)22()22(11=---=-=+- ...........................................（2分）

当1=n 时，222

1

111=-==+S a ，满足上式

所以n n a 2= ..................................................................（4分）

（Ⅱ）（ⅰ）)

3(1

)(,)2

1

()(1n n x b f b f x f --==+ 11(b )(3)n n f f b +=--

n n b b --=

∴+3)2

1(1)

2

1

(1

n

n b b +=

∴

+32

12

11

∴ 31+=+n n b b

3-1=+n n b b ，又2)1(1=-=f b ∴{}n b 是以2为首项3为公差的等差数列

∴13-=n b n ................................................................

（8分）

（ⅱ） n n n n

n a b c 2

13-==

n n n n n T 21

32432825221321-+-+??

?+++=

- 14322

1

324328252221+-+-+???+++=n n

n n n T

-得1

43221

3-2323232312

1+-+???++++=n n n n T 112132

1-1)

21-1413121+---?+=n n n n T （

112

1

3)21-123121+---+=n n n n T （

n n n n T 21

3)21-1321--+=-（

n

n n n T 21

323-321--+=- n

n n T 25

3-5+= ................................................................（12分）

20.（Ⅰ）解：,)M

x y （，由题可得1

.224

y y x x =-+- ..............................（4分） 2

214

x y +=

所以点M 的轨迹方程为2

21

4

x y +=2)x ≠±（ . .............................（6分 ） （Ⅱ）点O 到直线AB 的距离为定值 ，设),(),,(2211y x B y x A ,

① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ?为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =

将x y =代入1422=+y x ，解得55

2±=x 所以点O 到直线AB 的距离为55

2

=

d ； ............................（8分）

② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=与2

212)4

x y x +=≠±（

联立消去y 得222(14)8440k x kmx m +++-=

122814km x x k +=-+，212244

14m x x k -=+ ............................（9分） 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++= 即0)()1(221212=++++m x x km x x k

所以2222

2

22

448(1)01414m k m k m k k

-+-+=++，整理得2254(1)m k =+，........................（12分 ）

所以点O 到直线AB 的距离d =

=

综上可知点O 到直线AB 的距离为定值55

2

........................（13分 ）

21.解：（Ⅰ）易知5c =- ……………………(1分)

又32()432f x x ax bx '=++

由(1)0f '=，得32 4.................................a b +=-①……………………(2分) 令()0f x '=，得2(432)0x x ax b ++=

由

(2)0f '=，得380.................................a b ++=②……………………(3分)

由①②得4,4b a ==- 432()445f x x x x ∴=-+- ……………………(4分)

（Ⅱ）若

()f x 关于直线x t =对称（显然0t ≠）

， 则取点(0,5)A -关于直线对称的点(2,5)A t '-必在()f x 上，

即

(2)5f t =-，得22(21)0t t t -+= ……………………(6分) 又0t

≠

1t ∴= ……………………(7分)

验证，满足

(1)(1)f x f x -=+ ……………………(9分)

（也可直接证明

()()f t x f t x -=+，计算较繁琐；

） （Ⅲ）由（1）知，4

32224455x x x x λ-+-=-，

即4

322244x x x x λ-+=

又0x

=为其一根，得224(4)0x x λ-+-=

22164(4)40λλ∴?=--=>且21240x x λ=-≠

故{|022}A R λλ

λλ=∈≠≠≠-且且 ……………………(10分)

又122

12

44x x x x λ+=??=-?，得222121212()()44x x x x x x λ-=+-=，

12||2||x x λ∴-=，故,2||0A λλ?∈>且2||4λ≠ , ……………………(11分) 2[3,3],,22||t A m tm λλ∴?∈-∈++≤对使恒成立’

即只需[3,3],t ?∈-220m tm ++≤恒成立 ……………………(12分)

设2()

2,[3,3]g t mt m t =++∈-

(3)012(3)021

g m g m ≤≤≤??∴????-≤-≤≤-??无解 即不存在满足题意的实数m. ……………………(14分)