2009年全国高考理科数学试题及答案-全国1

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修Ⅱ） 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分．第卷1至2页，第卷3至4页．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式

()()()P A B P A P B +=+

24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径

()()()P A B P A P B ?=?

球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 3

4π3

V R =

n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率

其中R 表示球的半径

一、选择题(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[()u A B I

中的

元素共有（A ）（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个解：{3,4,5,7,8,9}A B = ，{4,7,9}(){3,5,8}U A B C A B =∴= 故选A 。也可用摩根律：()()()U U U C A B C A C B =

（2）已知

1i

Z

＋=2+i,则复数z=（B ） （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i 解：(1)(2)13,13z i i i z i =+?+=+∴=- 故选B 。

(3) 不等式

1

1

X X +-＜1的解集为（ D ）（A ）｛x }

{}011x x x ??? (B){}01x x ??（C ）{}10x x -?? (D){

}0x x ? 解：验x=-1即可。(4)设双曲线22221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2

+1相切，则该双曲线的离心

率等于( C )（A

（B ）2 （C

（D

解：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0'

0|2x x y

x ==.由题意有

00

2y x x =又2001y x =+ 解得

: 2

01,2,b x e a =∴

===. (5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )（A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有112

536225C C C ??=种选法

(2) 乙组中选出一名女生有211562120C C C ??=种选法.故共有345种选法.选D

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则

()()a c b c -?-的最小值为 ( D )

（A ）2- （B

2 （C ）1-

(D)1解:,,a b c

是单位向量()()

2()a c b c a b a b c c ∴-?-=?-+?+

1||||1,1a b c a b c =-+?=-<+>≥-

D.（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面

ABC 上的射影为BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值

为（ D ）

（A

）

4 （B

）4（C

）4

(D) 34

解：设BC 的中点为D ，连结1A D ，AD ，易知1A AB θ=∠即为异面直线

AB 与1CC 所成的角,由三角余弦定理，易知113co c s 4

os cos AD AD A AD DAB A A AB θ=∠∠?=

?=.故选D （8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么||?的最小值为（A ）

6π （B ）4π （C ）3π (D) 2

π

解: 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称 4232k ππφπ∴?

+=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6

π

φ=.故选A (9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为( B )(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2 解:设切点00(,)P x y ，则0

000ln 1,()y x a y x =+=+,又0'01

|1x x y x a

==

=+

00010,12x a y x a ∴+=∴==-∴=.故答案选B （10）已知二面角l αβ--为60

o

，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β

Q 到α

的距离为P 、Q 两点之间距离的最小值为（ C ） (A)

(B)2 (C) 解:如图分别作,,,QA A AC l C PB B αβ⊥⊥⊥于于于

PD l D ⊥于，连,60,CQ BD ACQ PBD ∠=∠=?则

AQ BP =2AC PD ∴==

又PQ =

=

当且仅当0AP =，即A P 点与点重合时取最小值。故答案选C 。

（11）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )

(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数 (C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数

解: (1)f x +与(1)f x -都是奇函数，(1)(1),(1)(1)f x f x f x f x ∴-+=-+--=--，

∴函数()f x 关于点(1,0)，及点(1,0)-对称，函数()f x 是周期2[1(1)]4T =--=的周期

函数.(14)(14)f x f x ∴--+=--+，(3)(3)f x f x -+=-+，即(3)f x +是奇函数。故选D

12.已知椭圆2

2:12

x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB = ,则||AF

=( A )

解:过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =

,

故2||3BM =

.又由椭圆的第二定义,得2||3BF ==||AF =故选A 第II 卷

二、填空题：

13. ()10

x y -的展开式中，73x y 的系数与37

x y 的系数之和等于 。

解: 373

101010()2240C C C -+-=-=-

14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 。 解: {}n a 是等差数列,由972S =,得599,S a ∴=58a =

∴2492945645()()324a a a a a a a a a a ++=++=++==.

15. 直三棱柱111A B C A B C -的各顶点都在同一球面上，若12A B A C A A

===, 120BAC ∠=?，则此球的表面积等于 。

解:在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得BC =由正弦定理,可得ABC

?

外接圆半径r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在R T O B O '?

中，

易得球半径R 故此球的表面积为2

420R ππ=. 16. 若

4

2

x π

π

<<

，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。

解:令tan ,x t =14

2

x t π

π

<<

∴>

,

443

2224222tan 2222

tan 2tan 8111111

1tan 1()244

x t y x x x t t t t ∴=====≤=-------

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．．．．

） 在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2

2

2a c b -=，且

sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)2

2

2a c b -=,左侧是二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sin cos 3cos sin ,A C A C =过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在

已经不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在ABC ?中sin cos 3cos sin ,A C A C = 则由正弦定理及余弦定理

有:222222

3,22a b c b c a a c ab bc +-+-?

=?化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.

解法二:

由余弦定理得:

2222cos a c b bc A -=-.

又 2

2

2a c b -=,0b ≠。

所以 2cos 2b c A =+…………………………………① 又 sin cos 3cos sin A C A C =，

sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=

sin()4cos sin A C A C +=，

即sin 4cos sin B A C =

由正弦定理得sin sin b

B C c

=

， 故 4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提

高自己对问题的分析和解决能力及对知识的灵活运用能力.另外提醒：两纲中明确不再考的知识和方法了解就行，不必强化训练。 18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面

ABCD ，AD =,2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60°

（I ）证明：M 在侧棱SC 的中点 （II ）求二面角S AM B --的大小。 解法一：

（I ）

作ME ∥CD 交SD 于点E ，则ME ∥AB ，ME ⊥平面SAD 连接AE ，则四边形ABME 为直角梯形 作MF AB ⊥，垂足为F ，则AFME 为矩形

设ME x =，则SE x =，AE =

=

2MF AE FB x ===-

由tan 60,)MF FB x =?=-。

解得1x =

即1ME =，从而1

2

ME DC =

所以M 为侧棱SC 的中点

（Ⅱ）2MB =

=，又60,2ABM AB ∠== ,所以ABM ?为等边三角形，

又由（Ⅰ）知M 为SC 中点

2SM SA AM =，故222,90SA SM AM SMA =+∠=

取AM 中点G ，连结BG ，取SA 中点H ，连结GH ，则,B

G A MG H A M ⊥⊥,由此知BGH

∠为二面角S AM B --的平面角

连接BH ，在BGH ?中，

12BG AM GH SM BH =

=====

所以222cos 23

BG GH BH BGH BG GH +-∠==-

??

二面角S AM B --的大小为arccos(3

- 解法二:

以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系D-xyz

设A ，则(0,2,0),(0,0,2)B C S （Ⅰ）设(0)SM MC λλ=?,则

2222

(0,

,),,)1111M MB λλλλλ

-=++++

又(0,2,0),,60AB MB AB =-

故||||cos60MB AB MB AB ?=?

即

41λ=+解得1λ=，即SM MC = 所以M 为侧棱SC 的中点 （II ）

由(0,1,1),M A ，得AM 的中点11

,)22

G

又31

(

,),(0,1,1),(222

GB MS AM =-=-= 0,0GB AM MS AM ?=?=

所以,GB AM MS AM ⊥⊥

因此,GB MS 等于二面角S AM B --的平面角

cos ,||||

GB MS GB MS GB MS ?=

=?

所以二面角S AM B --的大小为arccos(

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会照顾双方的利益。

19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局。

（I ）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（II ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ得分布列及数学期望。 分析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。

需提醒的是：认真审题是前提，部分考生由于考虑了前两局的概率而导致失分，这是很可惜的，主要原因在于没读懂题。

另外，还要注意表述，这也是考生较薄弱的环节。

解：记i A 表示事件：第i 局甲获胜，i=3,4,5

j B 表示事件：第j 局乙获胜，j=3,4

（Ⅰ）记B 表示事件：甲获得这次比赛的胜利

因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而

34345345B A A B A A A B A =?+??+??

由于各局比赛结果相互独立，故

34345345()()()()P B P A A P B A A P A B A =?+??+??

=34345345()()()()()()()()P A P A P B P A P A P A P B P A ++ =0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6 =0.648

（II ）ξ的可能取值为2，3 由于各局比赛结果相互独立，所以

3434(2)()P P A A B B ξ==?+?

=3434()()P A A P B B ?+? =3434()()()()P A P A P B P B ?+? =0.6×0.6+0.4×0.4 =0.52

(3)1(2)P P ξξ==-==1.0.52=0.48

ξ的分布列为

2(2)3(3)E P P ξξξ=?=+?=

=2×0.52+3×0.48 =2.48

20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

在数列{}n a 中，111

1

1,(1)2n n n

n a a a n ++==++ （I ）设n

n a b n

=

，求数列{}n b 的通项公式 （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 解：（I ）由已知得111b a ==，且

11

12n n n

a a n n +=++

即 112n n n

b b +=+ 从而 2112b b =+

3221

2

b b =+

……

111

(2)2n n n b b n --=+

≥ 于是 121111

......222n n b b -=++++

=11

2(2)2

n n --≥

又 11b = 故所求的通项公式1122

n n b -=- （II ）由（I ）知11

1(2)222n n n n a n n --=-

=-, ∴n S =11(2)2n

k k k k -=-∑111(2)2n n

k k k k

k -===-∑∑

而

1

(2)(1)n

k k n n ==+∑,又1

12

n

k k k

-=∑

是一个典型的错位相减法模型， 易得

11

12

42

2n

k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

21（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

如图，已知抛物线2

:E y x =与圆2

2

2

:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点。

（I ）求r 得取值范围；

（II ）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线AC 、BD 的交点P 坐标

分析：（I ）这一问学生易下手。

将抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>的方程联立，消去2y ，整理得

227160x x r -+-=．．．．．．．．．．．．．（＊）

抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于A 、B 、C 、D 四个点的充要条件是：方程（＊）有两个不相等的正根即可.

由此得22122

12(7)4(16)0

70160

r x x x x r ??=--->?

+=>??=->?

解得

215

164

r << 又 0r > 所以

(

,4)2

r ∈ 考生利用数形结合及函数和方程的思想来处理也可以．

（II ）考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整体代入

的方法处理本小题是一个较好的切入点。 设E 与M 的四个交点的坐标分别为：

1(A x

、1(,B x

、2(,C x

、2(D x 。

则直线AC BD 、的方程分别为

1121

21

(),()y x x y x x -=

-

解得点P

的坐标为

设t =

，由t =I ）知702

t <<

由于四边形ABCD 为等腰梯形，因而其面积

21211

2||||2

S x x x x =

??-=-

则22121212[()4](S x x x x x x =+-?++

将12x x t +==代入上式，并令2

()f t S =，得

27

()(72)(72)(0)2

f t t t t =+?-<<

求导数'()2(72)(67)f t t t =-+?-

令'()0f t =，解得77

,62

t t ==-（舍去） 当706t <<时，'()0f t >；76t =时，'()0f t =；77

62

t <<时，'()0f t <

故当且仅当7

6

t =时，()f t 有最大值，即四边形ABCD 的面积最大，故所求的点P 的

坐标为7

(,0)6

22. 本小题满分12分。（注意：在试题卷上作答无效）．．．．．．．．．．．．．

设函数()3

2

33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且

12[10],[1,2].x x ∈-∈，

（I ）求b c 、满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域；

(II)证明：()21

102

f x -≤≤- 解

（I ）()2

363f x x bx c '=++

依题意知，方程()0f x '=有两个根12x x 、，1[10],x ∈-且，2[1,2].x ∈等价于()10f '-≥，

()00f '≤，()()1020f f ''≤≥，

由此得b 、c 满足的约束条件为

21

02144

c b c c b c b ≥-??≤?

?

≤--??≥--? 满足这些条件的点(),b c 的区域为图中阴影部分，

(II)这一问考生不易得分，有一定的区分度。主要原因是含字母较多，不易找到突破口。此题主要利用消元的手段，消去目标()32222233f x x bx cx =++中的b ，（如果消 c 会较繁琐）再利用2x 的范围，并借助（I ）中的约束条件得[2,0]c ∈-进而求解，有较强的技巧性。 解：由题设知()22223630f x x bx c '=++=，故22211

22

bx x c =-

- 于是()3

2

3222222133322

c

f x x bx cx x x =++=-

+ 由于2[1,2]x ∈ ，而由（Ⅰ）知0c ≤，故

213

43()22

c f x c -+≤≤-+

又由（Ⅰ）知[2,0]c ∈- 所以 2110()2

f x -≤≤-