江苏省南京市玄武区2016-2017学年第一学期九年级期末考试数学试题

玄武区2016届九年级（上）期末考试数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共计12分）

1．一元二次方程x 2＝1的解是 （ ） A ．x ＝1

B ．x ＝－1

C ．x 1＝1，x 2＝－1

D ．x ＝0

2．⊙O 的半径为1，同一平面内，若点P 与圆心O 的距离为1，则点P 与⊙O 的位置关系 是 （ ） A ．点P 在⊙O 外

B ．

点P 在⊙O 上

C ．点P 在⊙O 内

D ．无法确定

3．9名同学参加歌咏比赛，他们的预赛成绩各不相同，现取其中前4名参加决赛，小红同学在知道

自己成绩的情况下，要判断自己能否进入决赛，还需要知道这9名同学成绩的

（ ） A ． 中位数

B ．极差

C ．平均数

D ．方差

4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个

解的范围是 （ ）

x 6.17 6.18 6.19 6.20 y

－0.03

－0.01

0.02

0.04

A ．－0.01＜x ＜0.02

B ．6.17＜x ＜6.18

C ．6.18＜x ＜6.19

D ．6.19＜x ＜6.20

5．若点A （－1，a ），B （2，b ），C （3，c ）在抛物线y ＝x 2上，则下列结论正确的是 （ ） A ．a ＜c ＜b B ． b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜a D ． a ＜b ＜c

6．如图，点E 在y 轴上，⊙E 与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C 、D ，若C （0， 9），D （0，－1），则线段AB 的长度为

（ ）

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．若b

a ＝3，则

b ＋a a ＝ ．

8．一组数据：2，3，－1，5的极差为 ．

9．一元二次方程x 2－4x ＋1＝0的两根是x 1，x 2，则x 1?x 2的值是 ．

10．某产品原来每件成本是100元，连续两次降低成本后，现在成本是81元，设平均每次降低成本

的百分率为x ，可得方程 ．

11．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝2x 2先向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到的抛

物线的函数表达式为 ．

12．已知圆锥的底面半径为6 cm ，母线长为8 cm ，它的侧面积为 cm 2．

13．如图，根据所给信息，可知BC

B ′

C ′

的值为 .

14．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表，则当x ＝3时，

B

y

A B

E D

x

O C

（第6题）

y ＝ ．

x … －3 －2 －1 0 1 … y

…

7

3

1

1

3

…

15．如图，AB 是⊙O 的一条弦，C 是⊙O 上一动点且∠ACB ＝45°，E 、F 分别是AC 、BC 的中点，

直线EF 与⊙O 交于点G 、H ．若⊙O 的半径为2，则GE ＋FH 的最大值为 .

16．如图，在矩形ABCD 中，M 、N 分别是边AD 、BC 的中点，点P 、Q 在DC 边上，且PQ ＝1

4

DC ．若

AB ＝16，BC ＝20，则图中阴影部分的面积是 ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17．（10分）

（1）解方程：(x ＋1)2＝9； （2）解方程：x 2－4x ＋2＝0．

18．（6分）已知关于x 的一元二次方程(a ＋1)x 2－x ＋a 2－2a －2＝0有一根是1，求a 的值．

19．（8分）射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩

如下表（单位：环）：

第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

第六次

平均成绩

中位数

（第13题）

O

O C

B

H

F

E

G

A

（第15题）

A

B

N C

Q

P D M

O

（第16题）

甲 10 8 9 8 10 9 9

①

乙

10

7

10

10

9

8

②

9.5

（1）完成表中填空① ；② ；

（2）请计算甲六次测试成绩的方差；

（3）若乙六次测试成绩方差为4

3，你认为推荐谁参加比赛更合适，请说明理由．

20．（7分）一只不透明的袋子中，装有三个分别标记为“1”、“2”、“3”的球，这三个球除了标记

不同外，其余均相同．搅匀后，从中摸出一个球，记录球上的标记后放回袋中并搅匀，再从中摸出一个球，再次记录球上的标记．

（1）请列出上述实验中所记录球上标记的所有可能的结果； （2）求两次记录球上标记均为“1”的概率．

21．（8分）如图，在半径为2的⊙O 中，弦AB 长为2．

（1）求点O 到AB 的距离．

（2）若点C 为⊙O 上一点（不与点A ，B 重合），求∠BCA 的度数；

22．（8分）已知二次函数y ＝x 2－2x －3．

（1）该二次函数图象的对称轴为 ； （2）判断该函数与x 轴交点的个数，并说明理由；

（3）下列说法正确的是 （填写所有正确说法的序号）

①顶点坐标为（1，－4）； ②当y ＞0时，－1＜x ＜3；

③在同一平面直角坐标系内，该函数图象与函数y ＝－x 2＋2x ＋3的图象关于x 轴对称．

23．（8分）如图，在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于点F ，点E 在BD 上，

且AB AE ＝BC ED ＝AC AD

． （1）求证：∠BAE ＝∠CAD ； （2）求证：△ABE ∽△ACD ．

24．（7分）课本1.4有这样一道例题：

A B

O

（第21题）

A

B

C

D

F

E

（第23题）

据此，一位同学提出问题：“用这根长22 cm 的铁丝能否围成面积最大的矩形？若能围成，求出面积最大值；若不能围成，请说明理由．”请你完成该同学提出的问题．

25．（8分）如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D 是AC 中点，BE 平分∠ABD 交AC 于点E ，点O 是

AB 上一点，⊙O 过B 、E 两点，交BD 于点G ，交AB 于点F ． （1）判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）当BD ＝6，AB ＝10时，求⊙O 的半径．

26．（9分）已知一次函数y ＝x ＋4的图象与二次函数y ＝ax (x －2)的图象相交于A （－1，b ）和B ，

A

B

F O

E

D G

C

（第25题）

点P 是线段AB 上的动点（不与A 、B 重合），过点P 作PC ⊥x 轴，与二次函数y ＝ax (x －2)的图象交于点C ． （1）求a 、b 的值

（2）求线段PC 长的最大值；

（3）若△P AC 为直角三角形，请直接写出点P 的坐标．

27．（9分）如图，折叠边长为a 的正方形ABCD ，使点C 落在边AB 上的点M 处（不与点A ，B 重

A

B

P

C

O

x

y

（第26题）

合），点D 落在点 N 处，折痕EF 分别与边BC 、AD 交于点E 、F ，MN 与边AD 交于点G ． 证明：（1）△AGM ∽△BME ；

（2）若M 为AB 中点，则AM 3＝AG 4＝MG

5；

（3）△AGM 的周长为2a ．

A

B

C

D

M

N

E F

G

（第27题）

2015－2016学年度第一学期期末学情调研 九年级数学试卷参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7． 4

8． 6

9． 1

10．100(1－x )2＝81

11．y ＝2(x －3)2＋1

12．48π 13．1

2

14．13 15．4－ 2

16．92

三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（本题10分）

（1）解：x ＋1＝±3，

∴x 1＝2，x 2＝－4．………………………………………………………

5分

（2）方法一：解：a ＝1，b ＝－4，c ＝2， b 2－4ac ＝8＞0，

x ＝4±2 2

2

＝2± 2 ，………………………………………… 3分

∴x 1＝2＋ 2 ，x 2＝2－ 2 ．…………………………………… 5分

方法二：解：x 2－4x ＝－2， x 2－4x ＋4＝－2＋4，

(x －2)2＝2，…………………………………………………… 3分 x －2＝± 2 ，

∴x 1＝2＋ 2 ，x 2＝2－ 2 ．……………………………… 5分

18．（本题6分）

解：将x ＝1代入，得：(a ＋1)2－1＋a 2－2a －2＝0，

解得：a 1＝－1，a 2＝2．………………………………………………… 5分 ∵a ＋1≠0，∴a ≠－1，

∴a ＝2．………………………………………………………………… 6分

19．（本题8分）

解：（1）9；9．……………………………………………………………… 2分

（2）S 甲2＝ 2

3．……………………………………………………………… 4分

（3）∵X X 甲乙， S 甲2＜S 乙2，

∴推荐甲参加比赛合适．……………………………………………… 8分

20．（本题7分）

题号 1 2 3 4 5 6 答案

C

B

A

C

D

C

解：（1）列表如下：

…………………………………………………………………………… 4分 （2）在这种情况下，共包含9种结果，它们是等可能的．……………… 5分 所有的结果中，满足“两次记录球上标记均为‘1’”（记为事件A ）的结果只有

一种，所以P(A )＝ 1

9

． …………………………………………………… 7分

21．（本题8分）

解：（1）过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接AO ，BO ． ∵OD ⊥AB 且过圆心，AB ＝2，

∴AD ＝1

2

AB ＝1，∠ADO ＝90°．……………………………………… 2分

在Rt △ADO 中，∠ADO ＝90°，AO ＝2，AD ＝1，

∴OD ＝AO 2－AD 2 ＝ 3 ．即点O 到AB 的距离为 3 ．………… 4分 （2）∵AO ＝BO ＝2，AB ＝2，

∴△ABO 是等边三角形，∴∠AOB ＝60°． ………………………… 6分

若点C 在优弧⌒

ACB 上，则∠BCA ＝30°；

若点C 在劣弧 ⌒AB

上，则∠BCA ＝ 12

(360°－∠AOB )＝150°．…… 8分 22．（本题8分）解：（1）直线x ＝1．……………………………………………… 2分

（2）令y ＝0，得：x 2－2x －3＝0． ∵b 2－4ac ＝16＞0，

∴方程有两个不相等的实数根，

∴该函数与x 轴有两个交点．……………………………………… 6分 （3）①③．……………………………………………………………… 8分 23．（本题8分）

证明：（1）在△ABC 与△AED 中，

∵AB AE ＝BC ED ＝AC

AD

，

∴△ABC ∽△AED ．…………………………………………………… 2分 ∴∠BAC ＝∠EAD ， ∴∠BAC －∠EAF ＝∠EAD －∠EAF ，

即∠BAE ＝∠CAD ．…………………………………………………… 4分

（2）∵AB AE ＝AC AD ，∴AB AC ＝AE

AD

． …………………………………………… 6分

在△ABE 与△ACD 中，

∵∠BAE ＝∠CAD ，AB AC ＝AE

AD

，

∴ △ABE ∽△ACD ． ………………………………………………… 8分 24．（本题7分）解：能围成．

设当矩形的一边长为x cm 时，面积为y cm 2．

结果 1 2 3 1 （1，1） （1，2） （1，3）

2 （2，1） （2，2） （2，3）

3 （3，1） （3，2） （3，3）

由题意得：y ＝x ·(22

2

－x )…………………………………………………… 3分

＝－x 2＋11x

＝－(x －112)2＋121

4

…………………………………………… 5分

∵(x －112)2≥0，∴－(x －112)2＋1214≤121

4．

∴当x ＝112时，y 有最大值，y max ＝1214，此时222－x ＝11

2

．

答：当矩形的各边长均为112 cm 时，围成的面积最大，最大面积是121

4

cm 2．… 7分

25．（本题8分）

解：（1）AC 与⊙O 相切．

本题答案不惟一，下列解法供参考．

证法一：∵BE 平分∠ABD ，∴∠OBE ＝∠DBO ． ∵OE ＝OB ，∴∠OBE ＝∠OEB ，

∴∠OBE ＝∠DBO ，∴OE ∥BD ．………………………………… 2分 ∵AB ＝BC ，D 是AC 中点，∴BD ⊥AC ．∴∠ADB ＝90°．

∵AC 经过⊙O 半径OE 的外端点E ，∴AC 与⊙O 相切．……… 4分 证法二：∵BE 平分∠ABD ，∴∠ABD ＝2∠ABE ．

又∵∠ADE ＝2∠ABE ，∴∠ABD ＝∠ADE ．∴OE ∥BD ．……… 2分 ∵AB ＝BC ，D 是AC 中点，∴BD ⊥AC ．∴∠ADB ＝90°．

∵AC 经过⊙O 半径OE 的外端点E ，∴AC 与⊙O 相切．……… 4分 （2）设⊙O 半径为r ，则AO ＝10－r ．

由（1）知，OE ∥BD ，∴△AOE ∽△ABD ．………………………… 6分

∴AO AB ＝OE

BD ，即10－r 10＝r 6，……………………………………………… 7分

∴r ＝154．∴⊙O 半径是15

4．……………………………………… 8分

26．（本题9分）

解：（1）∵A (－1，b )在直线y ＝x ＋4上，

∴b ＝－1＋4＝3，

∴A (－1，3)．

又∵A (－1，3)在抛物线y ＝ax (x －2)上，

∴3＝－a ·(－1－2)，解得：a ＝1．…………………………… 2分 （2）设P (m ，m ＋4)，则C (m ，m 2－2m )． ∴PC ＝(m ＋4)－(m 2－2m )

＝－m 2＋3m ＋4

＝－(m －32)2＋25

4

………………………………………… 5分

∵(m －32)2≥0，∴－(m －32)2＋254≤25

4

．

∴当m ＝32时，PC 有最大值，最大值为25

4．……………………… 7分

（3）P 1(2，6)，P 2(3，7)．……………………………………… 9分

27．（本题9分）

证明：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°， ∴∠AMG ＋∠AGM ＝90°．

∵EF 为折痕，∴∠GME ＝∠C ＝90°， ∴∠AMG ＋∠BME ＝90°，

∴∠AGM ＝∠BME ． ………………………………………………… 2分 在△AGM 与△BME 中， ∵∠A ＝∠B ，∠AGM ＝∠BME ，

∴△AGM ∽△BME ． ………………………………………………… 3分 （2）∵M 为AB 中点，∴BM ＝AM ＝a

2．

设BE ＝x ，则ME ＝CE ＝a －x ． 在Rt △BME 中，∠B ＝90°，

∴BM 2＋BE 2＝ME 2，即(a

2)2＋x 2＝(a －x )2，

∴x ＝38a ，∴BE ＝38a ，ME ＝5

8a ．

由（1）知，△AGM ∽△BME ， ∴AG BM ＝GM ME ＝AM BE ＝4

3

．

∴AG ＝43BM ＝23a ，GM ＝43ME ＝5

6

a ，

∴AM 3＝AG 4＝MG

5．…………………………………………………… 6分

（3）设BM ＝x ，则AM ＝a －x ，ME ＝CE ＝a －BE ． 在Rt △BME 中，∠B ＝90°，

∴BM 2＋BE 2＝ME 2，即x 2＋BE 2＝(a －BE )2， 解得：BE ＝a 2－x 2

2a

．

由（1）知，△AGM ∽△BME ， ∴C △AGM C △BME ＝AM BE ＝2a

a ＋x

．

∵C △BME ＝BM ＋BE ＋ME ＝BM ＋BE ＋CE ＝BM ＋BC ＝a ＋x ， ∴C △AGM ＝C △BME ·AM BE ＝(a ＋x )·2a

a ＋x

＝2a ．……………………… 9分