河南省郑州市2016届高三上学期第一次质量预测(文数)

河南省郑州市2016届高三上学期第一次质量预测

数学（文科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1．设全集U ＝{x ∈N ﹡｜x≤4}，集合A ＝{1，4}，B ＝{2，4}，则

C U

（A∩B ）＝

A ．{1，2，3}

B ．{1，2，4}

C ．{1，3，4}

D ．{2，3，4} 2．设z ＝1＋i （i 是虚数单位），则

2

z

＝ A ．i B ．2－i C ．1－i D ．0 3．cos160°sin10°－sin20°cos10°＝

A B C ．－12 D ．12

4．函数f （x ）＝x cosx 在点（0，f （0））处的切线斜率是

A ．0

B ．－1

C ．1

D ． 2

5．已知函数f （x ）＝1()2

x

－cosx ，则f （x ）在[0，2π]上的零点个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．按如下程序框图，若输出结果为273，则判断框内?处应补充的条件为

A ．i ＞7

B ．i≥7

C ．i ＞9

D ．i≥9

7．设双曲线22

1x y a b

＋＝

的一条渐近线为y ＝－2x ，且一个焦点与抛物线2x ＝4y 的焦点相同，则此双曲线的方程为 A ．

225514x y －＝ B ．225514y x －＝ C ．225514y x －＝ D ． 225

514

x y －＝

8．正项等比数列{n a }中的a 1、a 4031是函数f （x ）＝

3

2143

x x －＋6x －3的极值点，则

2016a ＝

A ．－1

B ．1 C

D ．2

9．右图是一个四面体的三视图，这三个视图均是腰长为2的

等腰直角三角形，正视图和俯视图中的虚线是三角形的中 线，则该四面体的体积为

A ．

23 B ．43 C ．8

3

D ．2

10．已知函数f （x ）＝x ＋4x ，g （x ）＝2x

＋a ，若1x ?∈[12

，3]，2x ?∈[2，3]，使得f （x 1）

≥g （x 2），则实数a 的取值范围是

A ．a≤1

B ．a≥1

C ．a≤0

D ．a≥0

11．已知椭圆22

221x y a b

＋＝

（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 A

B ．2

C

2 D

12．已知函数f （x ）＝2

220,

2,,

x x x x x x ?????－＋,≥－＜0若关于x 的不等式[f （x ）]2＋af （x ）＜0恰有1个整

数解，则实数a 的最大值是

A ．2

B ．3

C ．5

D ．8

第Ⅱ卷（主观题部分，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上． 13．函数f （x

___________．

14．若不等式22

x y ＋≤2所表示的平面区域为M ，不等式组0,

0,26x y x y y x ?????

－≥＋≥≥－表示的平面区域为N ，

现随机向区域N 内抛一粒豆子，则豆子落在区域M 内的概率为____________． 15．△ABC 的三个内角为A 、B 、C ，

＝tan （－712π），则tan A ＝_________．

16．已知向量α，β是平面内两个互相垂直的单位向量，若（5α－2γ）·（12β－2γ）＝0，

则｜γ｜的最大值是____________．

三、解答题（满分70分） 17．（本小题满分12分） 已知等差数列{n a }的首项a 2＝5，前4项和4S ＝28． （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式；

（Ⅱ）若n b ＝(1)n n a －，求数列{n b }的前2n 项和2n T ．

18．（本小题满分12分）

为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚．为了更好地了解市民的态

度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，

（Ⅰ）当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少? （Ⅱ）将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A 类市民在罚金不超过10元时就会改

正行为；B 类是其他市民．现对A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B 类市民的概率是多少?

19．（本小题满分12分）

如图，矩形CDEF 和梯形ABCD 互相垂直，∠BAD ＝

∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝

1

2

CD ，BE ⊥DF ． （Ⅰ）若M 为EA 中点，求证：AC ∥平面MDF ； （Ⅱ）若AB ＝2，求四棱锥E －ABCD 的体积． 20．（本小题满分12分）

已知点M （－1，0），N （1，0），曲线E 上任意一点到点M 的距离均是到点N 倍．

（Ⅰ）求曲线E 的方程；

（Ⅱ）已知m≠0，设直线l 1：x －my －1＝0交曲线E 于A ，C 两点，直线l 2：mx ＋y －m ＝

0交曲线E 于B ，D 两点．若CD 的斜率为－1，求直线CD 的方程．

21．（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝

2

12

x －mlnx ，g （x ）＝2x －(m ＋1)x ，m ＞0． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间；

（Ⅱ）当m≥1时，讨论函数f （x ）与g （x ）图象的交点个数．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答。如果多做。则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—l ：几何证明选讲

如图，∠BAC 的平分线与BC 和△ABC 的外接圆分别 相交于D 和E ，延长AC 交过D 、E 、C 三点的圆于点 F ．

（Ⅰ）求证：EC ＝EF ；

（Ⅱ）若ED ＝2，EF ＝3，求AC·AF 的值． 23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

已知曲线C 1

的参数方程为2,21,2

x y t ???????＝－＝曲线C 2的极坐标方程为ρ

＝cos （θ－4

π

）．以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 2的直角坐标方程；

（Ⅱ）求曲线C 2上的动点M 到曲线C 1的距离的最大值． 24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）＝｜x －2｜－｜x ＋1｜． （Ⅰ）解不等式f （x ）＞1；

（Ⅱ）当x ＞0时，函数g （x ）＝21

ax x x

－＋（a ＞0）的最小值大于函数f （x ），试求实数

a 的取值范围．

数学（文科）参考答案

一、选择题

ACCCC BCBAC DD

二、填空题

13.{}|0;≥x x 14.

;24

π

15. 1; 16.

13.2

三、解答题（共70分）

17.解：⑴由已知条件: 21415,43

428,2

=+=??

??=+

?=??a a d S a d ………………………2分 1

1,

4.=?∴?=?a d

………………………4分 ()114 3.n a a n d n ∴=+-?=-

………………………6分

⑵由⑴可得()(1)(1)43n n n n b a n =-=--………………………8分

()21591317......8344.n T n n n =-+-+-++-=?=………………………12分

18.解：⑴设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A ，……2分

则()401

.2005

p A =

=………………………4分 ∴当罚金定为10元时，比不制定处罚，行人闯红灯的概率会降低

1

5

.……………6分 ⑵由题可知A 类市民和B 类市民各有40人，故分别从A 类市民和B 类市民各抽出两人，

设从A 类市民抽出的两人分别为1A 、2A ，设从B 类市民抽出的两人分别为1B 、2B . 设从“A 类与B 类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M ，

………………………8分

则事件M 中首先抽出1A 的事件有：()1212,,,A A B B ，()1221,,,A A B B ，()1122,,,,A B A B

()1122,,,A B B A ，()1221,,,A B A B ，()1212,,,A B B A 共6种.

同理首先抽出2A 、1B 、2B 的事件也各有6种. 故事件M 共有4624?=种.………………………10分

设从“抽取4人中前两位均为B 类市民”为事件N ，则事件N 有()1212,,,B B A A ，

()1221,,,B B A A ，()2112,,,B B A A ，()2121,,,B B A A .()41

.246P N ∴==

∴抽取4人中前两位均为B 类市民的概率是

1

6

.………………………12分

19. ⑴证明：设EC 与DF 交于点N ，连结MN ，

在矩形CDEF 中，点N 为EC 中点， 因为M 为EA 中点，所以MN ∥AC ，

又因为AC ?平面MDF ，MN ?平面MDF ， 所以AC ∥平面MDF . ……………………4分 ⑵解：取CD 中点为G ，连结,BG EG ，

平面CDEF ⊥平面ABCD ，平面CDEF 平面ABCD CD =，

AD ?平面ABCD ，AD CD ⊥，

所以AD ⊥平面CDEF ，同理ED ⊥平面ABCD ，……………………7分 所以，ED 的长即为四棱锥E ABCD -的高，……………………8分

在梯形ABCD 中1

,//2

AB CD DG AB DG =

=， 所以四边形ABGD 是平行四边形，//BG AD ，所以BG ⊥平面CDEF ，

又因为DF ?平面CDEF ，所以BG DF ⊥，又BE DF ⊥，BE BG B = ， 所以DF ⊥平面BEG ，DF EG ⊥.……………………10分

注意到Rt DEG Rt EFD ?? ，所以2

8DE DG EF =?=，DE =

所以1

3

E ABCD ABCD V S ED -=

?=. ……………………12分 20. ⑴解：设曲线E 上任意一点坐标为(,)x y ，由题意，

=， ……………………2分

整理得22410x y x +-+=，即22(2)3x y -+=为所求.……………………4分

⑵解：由题知12l l ⊥ ，且两条直线均恒过点(1,0)N ，……………………6分 设曲线E 的圆心为E ，则(2,0)E ，线段CD 的中点为P ， 则直线EP ：2y x =-,设直线CD ：y x t =-+，

由2,y x y x t =-??

=-+?

，解得点22

(,)22t t P +-， ……………………8分

由圆的几何性质，1

||||2

NP CD =

= ……………………9分 而2

2222||(

1)()

22t t NP +-=-+，2||3ED =，22

||EP =，

解之得0t =，或3t =， ……………………10分

所以直线CD 的方程为y x =-，或3y x =-+. ……………………12分

21. ⑴解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()f x '=

，…………2分

当0x << ()0f x '<，函数()f x 的单调递减，

当x >时，()0f x '>，函数()f x 的单调递增.

综上：函数()f x 的单调增区间是)+∞，减区间是.……………………5分

⑵解：令2

1()()()(1)ln ,02

F x f x g x x m x m x x =-=-

++->， 问题等价于求函数()F x 的零点个数，……………………6分 (1)()

()x x m F x x

--'=-，当1m =时，()0F x '≤，函数()F x 为减函数，

注意到3

(1)02

F =

>，(4)ln 40F =-<，所以()F x 有唯一零点；………………8分

当1m >时，01x <<或x m >时()0F x '<，1x m <<时()0F x '>，

所以函数()F x 在(0,1)和(,)m +∞单调递减，在(1,)m 单调递增， 注意到1

(1)02

F m =+

>，(22)ln(22)0F m m m +=-+<， 所以()F x 有唯一零点； ……………………11分

综上，函数()F x 有唯一零点，即两函数图象总有一个交点. ……………12分 22. ⑴证明：因为ECF CAE CEA CAE CBA ∠=∠+∠=∠+∠，

EFC CDA BAE CBA ∠=∠=∠+∠， AE 平分BAC ∠， 所以ECF EFC ∠=∠，所以EC EF =. ……………………4分

⑵解：因为ECD BAE EAC ∠=∠=∠，CEA DEC ∠=∠， 所以CEA DEC ?? ， ……………………6分

即2

,CE DE EC EA EA CE DE

==， 由⑴知，3EC EF ==，所以92EA =， …………8分

所以45

()4

AC AF AD AE AE DE AE ?=?=-?=. ……………………10分

23.解：……………………………2分

即()2

2cos sin ρρθρθ=+，可得22

220x y x y +--=，

故2C 的直角坐标方程为()()22

112x y -+-=.…………………………………………5分 （Ⅱ）1C 的直角坐标方程为

由（Ⅰ）知曲线2C 是以(1,1)为圆心的圆，且圆心到直线1C 的距离

………………………8分 所以动点M 到曲线1C 的距离的最大值为

分

24.解：（Ⅰ）①当2x >时，原不等式可化为211x x --->，此时不成立；

②当12x -≤≤时，原不等式可化为211x x --->，即10x -≤<， ③当1x <-时，原不等式可化为211x x -++>,即1x <-， ……3分 ∴原不等式的解集是{}|0x x <．

………………………5分

（Ⅱ）因为1

()11g

x ax x =+

-≥，当且仅当

x a

=时“=”成立， 所以min ()1g x =，-----7分

12,02,

()3,2

x x f x x -<≤?=?

->? ，所以()[

3,1)f x ∈-，-----9分 ∴11≥,即1a ≥为所求． -----10分