2018课标版理数一轮(14)选修4—5-不等式选讲(含答案)1 第一节 绝对值不等式

第一节绝对值不等式

A组基础题组

1.解不等式|2x-1|+|2x+1|≤6.

2.已知|2x-3|≤1的解集为[m,n].

(1)求m+n的值;

(2)若|x-a|

3.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.

(1)求实数a的值;

(2)解不等式f(x)≤5.

4.已知函数f(x)=|x-a|+3x,其中a>0.

(1)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集;

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},求a的值.

5.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.

(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

6.设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M,a,b∈M.

(1)证明:1

3a+1

6

b<1

4

;

(2)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小.

B组提升题组7.(2016吉林长春质检)设函数f(x)=|x+2|+|x-a|(a∈R).

(1)若不等式f(x)+a≥0恒成立,求实数a的取值范围;

(2)若不等式f(x)≥3

2

x恒成立,求实数a的取值范围.

8.已知函数f(x)=|3x+2|.

(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;

(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤1

m +1

n

(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.

答案全解全析A组基础题组

1.解析解法一:当x>1

2时,原不等式转化为4x≤6?1

2

2

;

当-1

2≤x≤1

2

时,原不等式转化为2≤6,恒成立;

当x<-1

2时,原不等式转化为-4x≤6?-3

2

≤x<-1

2

.

综上,原不等式的解集为 x-3

2≤x≤3

2

.

解法二:原不等式可化为 x-1

2+ x+1

2

≤3,

其几何意义为数轴上到1

2,-1

2

两点的距离之和不超过3的点的集合,数形结合知,当x=3

2

或x=-3

2

时,到1

2

,-1

2

两

点的距离之和恰好为3,故当-3

2≤x≤3

2

时,满足题意,则原不等式的解集为 x-3

2

≤x≤3

2

.

2.解析(1)不等式|2x-3|≤1可化为-1≤2x-3≤1,

解得 1≤x≤2,所以m=1,n=2,所以m+n=3.

(2)证明:由(1)知|x-a|<1,则|x|=|x-a+a|≤|x-a|+|a|<|a|+1,即|x|<|a|+1.

3.解析(1)∵|x-4|+|x-a|≥|(x-4)-(x-a)|=|a-4|,

又∵f(x)的最小值为a,

∴|a-4|=a,

解得a=2.

(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=-2x+6(x≤2), 2(24).

当x≤2时,解不等式-2x+6≤5,得x≥1

2

. 当2

当x>4时,解不等式2x-6≤5,得x≤11

2

.

综上,1

2≤x≤11

2

.

∴不等式的解集为1

2,11

2

.

4.解析(1)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为|x-1|≥2. 由此可得x≥3或x≤-1.

故不等式f(x)≥3x+2的解集为{x|x≥3或x≤-1}. (2)由f(x)≤0得|x-a|+3x≤0.

此不等式可化为

x≥a,

x-a+3x≤0或x

a-x+3x≤0,

即x≥a,

x≤a

4

或

x

x≤-a

2

.

结合a>0,解得x≤-a

2,即不等式f(x)≤0的解集为 x|x≤-a

2

.

∵不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤-1},

∴-a

2

=-1,故a=2.

5.解析(1)当a=-3时,

f(x)=-2x+5,x≤2, 1,2

当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1;

当2

当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4.

所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.

(2)f(x)≤|x-4|?|x-4|-|x-2|≥|x+a|.

当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|?4-x-(2-x)≥|x+a|?-2-a≤x≤2-a. 由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.

故满足条件的a的取值范围为[-3,0].

6.解析(1)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,

则f(x)=3,x≤-2,

-2x-1,-2

由题意,令-2<-2x-1<0,得-1

2

2

,

则M=-1

2,1

2

.

所以1

3a+1

6

b≤1

3

|a|+1

6

|b|<1

3

×1

2

+1

6

×1

2

=1

4

.

(2)由(1)得a2<1

4,b2<1

4

.

因为|1-4ab|2-4|a-b|2

=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)

=(4a2-1)(4b2-1)>0,

所以|1-4ab|2>4|a-b|2,

故|1-4ab|>2|a-b|.

B组提升题组

7.解析(1)当a≥0时,f(x)+a≥0恒成立;当a<0时,要保证f(x)≥-a恒成立,即f(x)的最小值

|a+2|≥-a,解得-1≤a<0,故a≥-1.

(2)由题意可知,函数y=f(x)的图象恒在直线y=3

2

x的上方,画出两个函数图象(略)可知,当a≤-2时,符合

题意,当a>-2时,只需满足点(a,a+2)不在点 a,3

2a的下方即可,所以a+2≥3

2

a,即-2

综上,实数a的取值范围是(-∞,4].

8.解析(1)不等式f(x)<4-|x-1|即|3x+2|+|x-1|<4.

当x<-2

3

时,不等式可化为-3x-2-x+1<4,

∴-5

4

3

;

当-2

3≤x≤1时,不等式可化为3x+2-x+1<4,∴-2

3

≤x<1

2

;

当x>1时,不等式可化为3x+2+x-1<4,∴x∈?.

综上所述,原不等式的解集为-5

4,1

2

.

(2)1

m +1

n

=1

m

+1

n

(m+n)=1+1+n

m

+m

n

≥4当且仅当n

m

=m

n

时,等号成立.

令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=2x+2+a,x<-2

3

,

-4x-2+a,-2

3

≤x≤a, -2x-2-a,x>a.

∴当x=-2

3时,g(x)取最大值,g(x)max=2

3

+a,

要使不等式|x-a|-f(x)≤1

m +1

n

恒成立,

只需g(x)max=2

3+a≤4,又a>0,则0

3

.