【金版学案】2015-2016学年高中物理第7章机械能守恒定律章末总结学案新人教版必修2

机械能守恒定律

2

规律方法总结

机械能守恒定律一章是学生认识能量知识和利用“能量”观点解决问题的重要章节，无论变力功的求解还是动能定理、机械能守恒定律的使用都应用了大量的物理解题方法．学习本章知识要注意物理思维方法的应用，例如变力功求解中的等效思想、微元思想、数形结合

思想等．

力学问题的求解方法往往比较多，一般情况下，涉及力的作用与运动状态的变化时，用牛顿运动定律解决；若涉及力的作用及位移时常用动能定理和机械能守恒定律解决，而其中涉及两个或两个以上物体只存在物体间机械能转化的问题首先考虑机械能守恒定律；若涉及恒力作用时可用多种方法解决；若涉及变力时通常考虑动能定理．

1．等效转化思想．

功的公式W＝Flcos α只适用于求恒力的功，对于有些变力的功可按等效思想把复杂的变力功求解转化为恒力功求解的方法．如图中求人对绳的拉力做的功可转化为求绳子对物体做的功．

2．微元思想．

当物体在变力的作用下做曲线运动时，若力的方向与物体运动的切线方向之间的夹角不变，且力与位移的方向同步变化，可用微元法将曲线分成无限多个小段，每一小段可认为是恒力做功，总功即为各个小段做功的代数和．如滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过程细分，其中每一小段做功为Fl，整个运动过程中所做的功是力与各小段位移大小之和的积，即W＝F·l路程．

3．数形结合思想(图象法)．

如果参与做功的变力方向与位移方向始终一致而大小随时间变化，我们可作出该力随位移变化的图象．那么图线与坐标轴所围成的面积，即为变力做的功．例如弹簧弹力做的功．4．功能问题中的等效思维．

在有关水力发电、液体流动及太阳能等功能关系的求解中可适当等效研究对象、等效物理过程进行求解．

专题一功和功率的计算

一、功的求法

1．恒力做功．

可直接利用公式W＝Flcos a来计算，利用此公式时要注意：

(1)一般情况下，l为力F的作用点相对地面的位移，α为F与l的夹角．

(2)某一个力对物体做的功，与物体的运动状态、是否受其他力等因素无关．

2．变力做功．

(1)化变力为恒力来求功．

(2)利用F－l图象来求功．

(3)方向不变，大小随位移做线性变化的力，可用平均力求功．

(4)利用动能定理或能量的转化与守恒求某个力的功．

(5)元功累加法：若物体在变力作用下做曲线运动，可将曲线分成许多小段，由于每小段都足够小，可认为是直线；物体通过每小段的时间足够短，在这样短的时间里，力的变化很小，可认为是恒定的．这样，对每小段来说，就可以用公式W＝Flcos α计算功，把物体通过各小段的功相加，就等于变力在整个过程中所做的功．

3．当功率恒定时，求机车牵引力的功用W＝Pt来求.

如图所示，在长为l的细线下挂一质量为m的小球，用水平恒力F拉小球直到细线偏离竖直方向60°角．求该过程中F所做的功和重力所做的功．

解析：拉力和重力都是恒力，可直接应用功的公式计算．

F方向上的位移

x F＝Lsin 60°＝

3

2

l，

可得F的功W F＝F·x F＝

3

2

Fl.

重力方向上的位移

x G＝－l(1－cos 60°)＝－1

2

l，

可得重力的功W G＝mgx G＝－1

2 mgl.

答案：W F＝

3

2

Fl W G＝－

1

2

mgl

二、功率的计算

1．公式P ＝W t

求出的是恒功率或t 时间内的平均功率． 2．公式P ＝Fv(P ＝Fvcos α，当α＝0时公式简化为P ＝Fv)，若v 表示瞬时速度，则可用P ＝Fv 计算瞬时功率；若v 为平均速度，可用P ＝Fv 计算平均功率，求平均功率适用的条件是恒力作用下物体向着确定的方向做直线运动．

质量为m ＝4 000 kg 的卡车，额定输出功率为P ＝60 kW.当它从静止出发沿坡路前进时，每行驶100 m ，升高5 m ，所受阻力大小为车重的0.1 倍，g 取10 m/s 2

，试求；

(1)卡车能否保持牵引力为8 000 N 不变在坡路上行驶？

(2)卡车在坡路上行驶时能达到的最大速度为多少？这时牵引力为多大？

(3)如果卡车用4 000 N 的牵引力以12 m/s 的初速度上坡，到达坡顶时速度为4 m/s ，那么卡车在这一段路程中的最大功率为多少？平均功率是多少？

解析：卡车能否保持牵引力为8 000 N 上坡要考虑两点：第一，牵引力是否大于阻力？第二，卡车若一直加速，其功率是否将超过额定功率？依P ＝F·v 求解．

分析卡车上坡过程中的受力情况如图所示：牵引力F ，重力mg ＝4×104N ，摩擦力F f ＝kmg

＝4×103N ，支持力F N ，依题意sin θ＝5100.

(1)卡车上坡时，若F ＝8 000 N ，而F f ＋mgsin θ＝4×103N ＋4×104×120

N ＝6×103 N ，即F>F f ＋mgsin θ，卡车将加速上坡，速度不断增大，其输出功率P ＝Fv 也不断增大，长时间后，将超出其额定输出功率．所以，卡车不能保持牵引力为8 000 N 不变上坡．

(2)卡车上坡时，速度越来越大，必须不断减小牵引力保证输出功率不超过额定输出功率，当牵引力F ＝F f ＋mgsin θ时，卡车加速度为零，速度达到最大值，设为v max ，则

P ＝Fv ＝(F f ＋mgsin θ)v max ，

v max ＝P F f ＋mgsin θ＝60×103

6×103m/s ＝10 m/s ， 这时牵引力F ＝F f ＋mgsin θ＝6×103N.

(3)若牵引力F ＝4 000 N ，卡车上坡时，速度不断减小，所以，最初的功率即为最大．

P ＝Fv ＝4 000×12 W ＝4.8×104

W.

整个过程中，平均功率为

P ＝Fv ＝4 000×12＋42

W ＝3.2×104W. 答案：(1)不能 (2)10 m/s 6 000 N (3)48 kW 32 kW

专题二 动能定理的理解及应用

一、动能定理

1．表达式：W ＝ΔE k ＝12mv 22－12

mv 21. 2．W 是合外力对物体做的功，也可以是做功的代数和．

3．E k1＝12mv 21，E k2＝12

mv 22是物体初、末状态的动能，ΔE k ＝E k2－E k1为物体做功过程中动能的变化

4．动能定理是一条应用范围很广泛的物理规律，只要明确各力做功的情况，无论是直线运动还是曲线运动，恒力还是变力，若不涉及过程的细节，可考虑使用动能定理．

二、应用动能定理应该注意的事项

1．明确研究对象和研究过程，确定始、末状态的速度情况．

2．对物体进行正确的受力分析(包括重力、弹力等)，弄清各力做功大小及功的正、负情况．

3．有些力在运动过程中不是始终存在，物体运动状态、受力等情况均发生变化，则在考虑外力做功时，必须根据不同情况分别对待，正确表示出总功．

4．若物体运动过程中包含几个不同的子过程，解题时，可以分段考虑，也可视为一个整体过程，列出动能定理方程求解．

如图所示，斜面长为s ，倾角为θ，一物体质量为m ，从斜面底端的A 点开始以初速度v 0沿斜面向上滑行．斜面与物体间的动摩擦因数为μ，物体滑到斜面顶端B 点时飞出斜面，最后落在与A 点处于同一水平面上的C 点，则物体落地时的速度大小为多少？

解析：对物体运动的全过程进行分析，由动能定理可得：

－μmgscos θ＝12mv 2C －12

mv 20， 所以v C ＝v 2

0－2μgscos θ. 答案：v 20－2μgscos θ

专题三 机械能守恒定律的理解和应用

1．机械能守恒定律的研究对象．

机械能守恒定律的研究对象可以针对一个物体，也可以更普遍地针对一个系统，所谓系统，简单地说就是将相互作用的物体组合在一起，在分析时，可根据要求人为“隔离”出某几个相互作用的物体，把它们视为一个研究对象，如图中的三个装置，(甲)、(乙)图中都可以把小车、小球和地球或小球、弹簧和地球分别看成一个系统，(丙)图中可将整个装置(含球、轻杆及轴O)和地球一起作为一个系统来研究．其实在用于一个物体时，已经隐含了地球在内，不再明讲是有利于简化解题过程．

2．机械能守恒定律的适用条件．

严格地讲，机械能守恒定律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功(表明系统与外界之间无能量交换)，系统内除了重力和系统内的弹力以外，无其他力(如：摩擦力、介质阻力等)做功(表明系统内不存在机械能与其他形式的能之间的转化)，则系统的机械能守恒．

如图所示，在一长为2l 的不可伸长的轻杆的两端，各固定一质量为2m 与m 的A 、B 两小球，系统可绕过杆的中点O 且垂直纸面的固定转轴转动．初始时轻杆处于水平状态，无初速度释放后，轻杆转动．当轻杆转至竖直位置时，小球A 的速度多大？

解析：选A 、B 两小球与地球为一系统，在运动过程中没有机械能与其他形式能的转化，故系统的机械能守恒，选初始位置为参考平面，由机械能守恒得：

0＝－2mgl ＋mgl ＋12×2mv 2A ＋12

mv 2B ，① 因两球角速度ω相等，则v A ＝ωl ，②

v B ＝ωl ，③

联立①②③式，解得v A ＝

23gl

. 答案：23gl 专题四 功能关系和能量的转化与守恒

1．功能关系．

做功的过程就是能量的转化过程，做了多少功，就有多少能量发生了转化，功是能量转化的量度，在力学中，功能关系的主要形式有下列几种：

(1)合外力的功等于物体动能的增量．即W 合＝ΔE k .

(2)重力做功，重力势能减少；克服重力做功，重力势能增加，由于“增量”是末态量减去初态量，所以重力的功等于重力势能增量的负值，即W G ＝－ΔE p .

(3)弹簧的弹力做的功等于弹性势能增量的负值，即W 弹＝－ΔE p .

(4)除系统内的重力和弹簧的弹力外，其他力做的总功等于系统机械能的增量，即W 其他

＝－ΔE.

2．能量转化和守恒定律．

(1)利用能量观点解题应注意：某种形式的能量减少，一定存在另一种形式的能量增加，且减少量和增加量相等．某个物体的能量减少，一定存在另一物体的能量增加，且减少量和增加量相等．

(2)利用能量观点解题的步骤：

①确定研究对象，分析在研究过程中有多少种形式的能量在发生变化．

②明确哪些能量在增加，哪些能量在减少．

③减少的总能量一定等于增加的总能量，据此列出方程ΔE 减＝ΔE 增求解．

3．用功能关系解决的两类问题．

(1)已知功求能量的转化或能量的数值．

(2)已知能量转化的数值求某个力做的功．

如图所示，质量为m 的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的定滑轮与质量为M 的砝码相连．已知M ＝2m ，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h(小于桌高)的距离，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？

解析：M 、m 及绳组成的系统在相互作用过程中，除M 的重力做功外，绳的拉力对M 做负功，对m 做正功，且两功之和为零，故系统的机械能守恒．

解法一 用ΔE k 增＝ΔE p 减求解．

在砝码下降h 的过程中，系统增加的动能为ΔE k 增＝12

(M ＋m)v 2， 系统减少的重力势能为ΔE p 减＝Mgh ，

解得v ＝2Mgh M ＋m ＝23

3gh. 解法二 用E 1＝E 2求解．

设M 开始离桌面的距离为x ，取桌面所在的水平面为参考面，则系统初状态的机械能为

E 1＝－Mgx ，系统末状态的机械能为E 2＝－Mg(x ＋h)＋12

(M ＋m)v 2， 由E 1＝E 2得－Mgx ＝－Mg(x ＋h)＋12

(M ＋m)v 2， 解得v ＝23

3gh. 在M 下降的过程中，m 增加的机械能为ΔE A 增＝12

mv 2 M 减少的机械能为ΔE B 减＝Mgh －12

Mv 2，

由ΔE A 增＝ΔE B 减得12mv 2＝Mgh －12Mv 2， 解得v ＝23

3gh. 答案：23

3gh