弦长公式证明及应用详解
弦长公式证明及应用详解
公式为： |AB|2121x x k -+=
2122124)(1x x x x k -++=
和：|AB|=122121224)(||1
1y y y y y y k
-+=-+
作用：应用弦长公式很方便，它所解决的问题是求直线与所有圆锥曲线所交弦的弦长，因为直线的斜率往往是已知的，这样再知道两个交点的横坐标或者纵坐标就可以直接利用公式求出来，如果不知道横纵坐标也可以直接把直线和圆锥曲线联立方程组，进而转化成一元二次方程利用韦达定理不用解方程代入公式直接求出弦长 公式证明：
证法一：
若直线b kx y l +=:与圆锥曲线相交与A 、B 两点，),(),,2211y x B y x A （则 弦长221221)()(y y x x AB -+-= 221221)]([)(b kx b kx x x +-++-=
212
1x x k -+=
212212
4)(1x x x x k
-++=
其实用三角函数来证明也很简单 方法如下 证法二：
表示倾斜角）
αα
α
α
α
αα(cos 1
1
11cos cos cos sin tan
2
2
2
22
2=
=+=+=+k 又因为：
αcos |||
|21=-AB x x 所以
||1||cos 1cos ||||212
2121x x k x x x x AB -+=-=-=α
α2122124)(1x x x x k -++=
同理： |AB|=122121224)(||1
1y y y y y y k
-+=-+
推导方法如下：
是倾斜角）αα(sin |
||
|
2
1
=-AB y
y ;
又因为：α
α
α
α
αα
α
sin 1
1
12
11sin
sin cos sin
sin cos 2
2
2
2
22
=
=+=
+=+
k
所以：|AB|=122121224)(||1
1y y y y y y k
-+=-+
特殊的，在如果直线AB 经过抛物线的焦点，则|AB|=2P
例题1：已知直线1+=x y 与双曲线14
:2
2
=-y x C 交于A 、B 两点，求AB 的弦长 解：设),(),,2211y x B y x A （ 由??
???=-+=14122y x x y 得224(1)40x x -+-=得
23250x x --= 则有???
????
-
==+35322121x x x x 得，
23
8
320942
4)(1212212=+=-++=x x x x k AB 练习1：已知椭圆方程为
12
22
=+y x 与直线方程21:+=x y l 相交于A 、B 两点，求AB 的弦长
练习2：设抛物线x y 42=截直线m x y +=2所得的弦长AB 长为53，求m 的值
分析：联立直线与抛物线的方程，化简，根据根与系数的关系，求弦长 解：设 ),(),,2211y x B y x A （
联立方程???????
=++=12
2122y x x y 得03462
=-+x x
则???
????
-
=-=+21322121x x x x
3
11
2)21(4)32(24)(12212212=
-?--=-++=∴x x x x k AB 解: 设),(),,2211y x B y x A （
联立方程:???+==m
x y x y 242得0)44(42
2=+-+m x m x
则??
???=
-=+412
2121m x x m x x 53)1(54)(122212212
=--=-++=m m x x x x k
AB
4-=∴m
例题2：已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称相异的两点A 、B ，求弦长
AB
分析：A 、B 两点关于直线0=+y x 对称，则直线AB 的斜率与已知直线斜率的积为1-（根据直线垂直斜率之积是-1）且AB 的中点在已知直线上
解：B A 、 关于0:=+y x l 对称 1-=?∴AB l k k 1-=l k 1=∴AB k
设直线AB 的方程为b x y += ，),(),,2211y x B y x A （ 联立方程??
?+-=+=3
2
x y b
x y 化简得032
=-++b x x
121-=+∴x x AB ∴中点)2
1
,21(b M +--
在直线0=+y x 上 1=∴b 022
=-+∴x x
则 ???-=-=+212
121x x x x
238)1(24)(12212212=+-=-++=∴x x x x k AB
小结：在求直线与圆锥曲线相交的弦长时一般采用韦达定理设而不求的方法，在求解过程中一般采取步骤为：设点→联立方程→消元→韦达定理→弦长公式
作业：
（1） 过抛物线2
4y x =的焦点，作倾斜角为α的直线交抛物线于A ，B 两点，且
316=AB ，
求α的值
（2） 已知椭圆方程12
22
=+y x 及点)2,0(-B ，过左焦点1F 与B 的直线交椭圆于C 、D 两点，2F 为椭圆的右焦点，求2CDF ?的面积。
弦长公式的应用
1. 弦长问题
例1. 已知点），，（和，03)03(B A -动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y=x-2交于D 、E 两点，求线段DE 的长。 解：设点C x y （，），则 ||||CA CB -=±2，
根据双曲线的定义，可知点C 的轨迹是双曲线
x a y b
222
21-=
由，得，2222312
2
2
a c AB a
b =====||
故点C 的轨迹方程是
x y 2
2
2
1-=
由，得x y y x x x 222212460-==-??
???+-= 因为?>0，所以直线与双曲线有两个交点。 设D x y E x y ()()1122，，，，则
[]
x x x x DE x x x x x x 12122121221246112445
+=-=-=
+-=
+-=，故,
||||
()
2. 求曲线的方程
例2. 已知点A ()--14，，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，直线
l y x ：=-22与抛物线C 交于M M 12、两点，若||||||AM M M AM 1122、、成等比数列，
求抛物线C 的方程。
解：设抛物线C y px p M x y M x y ：，，，，，211122220=>()()() 显然点A 在直线l 上，
由，
得y px y x 2222
==-??
? y
px p 2
20--=，
所以y y p 12+=， y y p 122=-
由图1，知y y 1244>->-，，
图1
又||||||M M AM AM 12212=?，即
11
2112411
24441682416282122
212
2122
12
12122+-?
? ???
=
+
++++-=++++=-++==-||()()()()y y y y y y y y y y y y p p p p p p ，亦即，，解得或（舍去）
故抛物线C 的方程为y x 24=。
例3. 已知F 是定点，l 是定直线，点F 到直线l 的距离为p p ()>0，点M 在直线l 上
滑动，动点N 在MF 延长线上，且满足
||||||
FN MN MF =1
，求动点N 的轨迹方程。 解：如图2所示，以点F 为原点，过点F 垂直于l 的直线为x 轴建立直角坐标系。
图2
设N x y x k y x
FN ()().，，则>=
0 由于|||||
|MN MF NF =?， 根据公式，得
111022222
222++=+?++=+>y x x p y x p y x
x p x y x p x ()()，化简，得，
平方整理，得点N 的轨迹方程为
()()p x p y px p x 222221200-+--=>. 3. 范围问题
例4. 过椭圆
x m y m m 21
125+-=≤≤2
()的左焦点F 且倾斜角为45°的直线l 与椭圆及其准线的交点从左至右依次为A 、B 、C 、D ，记f m AB CD ()||||||=-，求f m ()的取值范围。
图3
解：由条件，知直线l y x x m ：，椭圆准线：=+=±1， A m m D m m ()().--++，，，11 设B x y C x y ()()1122，，，， 其中-<< |||()|()||||()()||||||||. .().AB x m x m CD m x m x f m AB CD x x y x x m y m m x mx m m m =+--= += +-= -=-= +=++-=???? ?-+-+=≤≤11211221 1121220252112221222 22， ， 由得因为 所以，f m m m m m m ()= --= -= +-? ? ???∈????? ?2 2212221 211211029423 练习： 设双曲线x a y b a b 222 2100-=>>()，的右顶点为A ，P 是双曲线上的一个动点（异于 顶点）。从A 引双曲线的两条渐近线的平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点。 图4 （1）证明无论P 点在什么位置，总有||||||OP OQ OR 2=?（O 为坐标原点） ； （2）求T AP AQ AR =?|||||| 2 的取值范围。 （答案：T b a b T >+≠2 2 2 1且） 一．摘要 (3) 前言 (3) 二、泰勒公式极其极其证明........................ (3) （一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3) （二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4) （三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5) （四）积分型泰勒公式 (6) （五）二元函数的泰勒公式 (7) 三、泰勒公式的若干应用 (8) （一）利用泰勒公式求极限 (8) （二）利用泰勒公式求高阶导数 (9) （三）利用泰勒公式判断敛散性 (10) （四）利用泰勒公式证明中值定理 (12) （五）利用泰勒公式证明不等式 (13) （六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15) （七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16) 四、我对泰勒公式的认识 (16) 参考文献 (17) 英文翻译 (17) Taylor 公式的证明及应用 【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。在现代数学中Taylor 公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数 1、常见Taylor 公式定义及其证明 我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。 定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。 1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式： 若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即 "' 200000() ()()()()()2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+? ()00() ()! n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式， "()' 2 0000000()()()()()()()()2!! n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+?+- （3） 称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数 ()0() !k f x k (1,2,,)k n =?称为Taylor 系数。从上易知()f x 与其Taylor 多项式()n T x 在点0x 有相同的函数值和相同 摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。 关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用 绪论 随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到 n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 () 2 0000000()()() ()()()()(),1! 2! ! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+ -+ -++ - 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有 0()()(()),n n f x T x x x ο=+- 即() 2 00000000()() ()()()()()()(()).2! ! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+ -++ -+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。 泰勒公式的证明及其应用 数学与应用数学专业胡心愿 [摘要]泰勒公式的相关理论是函数逼近论的基础。本文主要探索的是泰勒公式的一些证明方法，并对不同的证明方法进行相应的比较分析，在此基础上讨论泰勒公式在证明不等式、求函数极限、求近似值、求行列式的值、讨论了函数的凹凸性，判别拐点，判断级数敛散性等方面的应用.本文还针对多元函数的泰勒公式的推导和应用做了简单的论述. [关键词]泰勒公式；不等式；应用； Proof of Taylor's Formula and Its Application Mathematics and Appliced Mathematics Major HU Xin-yuan Abstract: The theory about Taylor's Formula is the basic content of Approximation Theory . What this paper explores is some methods that proof the Taylor's Formula, and the paper analyse and compare them. On that basis, the paper discuss the application of Taylor's Formula in some respects，such as Inequality proof, functional limit, approximate value, determinant value, convexity-concavity of function, the decision of inflection point, divergence of the series.The paper explore the derivation of Taylor's Formula of the function of many variables and its application. Key words:Taylor's Formula;inequality;application 泰勒公式及其应用 数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立 指导教师吴春 摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。 关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言 泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项 《泰勒公式及其应用》的开题报告 《泰勒公式的验证及其应用》的 关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义 目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状 数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容 对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极 限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。 本课题将从以下几个方面展开研究： 一、介绍泰勒公式及其证明方法 二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。 三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果 实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。 实行进度： 研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段： 收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日） 第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日） 题目泰勒公式的证明及推广应用 一、选题背景和意义 在初等函数中，多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、 乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。 通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个 领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。 除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 二、国内外研究现状、发展动态 本人以1999—2010十一年为时间范围，以“泰勒公式”、“泰勒公式的应用”为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到30余篇文章，发现国内外对泰勒公式的其研究进展主要分配在以下领域： 一、带不同型余项泰勒公式的证明； 二、泰勒公式的应用举例。 三、研究内容及可行性分析 在高等数学中，泰勒公式占有重要的地位，并以各种形式出现而贯穿全部内容，因此掌握好泰勒公式是学习高等数学的关键一环。本论文将主要研究泰勒公式的证明及其在其他方面的应用。 本文将通过对泰勒公式的探讨，给出了泰勒公式在其它方面的应用，,显现出泰勒公式的应用之广泛。希望其研究结果在求极限等问题时可以提供一些方法的参考，也同时能给相关学科研究人员在解决比较复杂的不定式极限问题时能有一定的思路指导。 接下来我将分两方面的应用来阐述本次论文的主要内容。 一、带不同型余项泰勒公式的证明： 本次证明将涉及到三种不同余项的泰勒公式的证明，即： 1.带皮亚诺余项的泰勒公式； 2.带拉格朗日余项的泰勒公式； 3.带积分型余项的泰勒公式； 二、泰勒公式的应用： 本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用； 在函数极限运算中,不定式极限的计算始终为我们所注意,因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解,会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用； 目录 摘要 (1) 英文摘要 (2) 第一章绪论 (3) 第二章泰勒公式 (5) 1.1泰勒公式的意义 (5) 1.2泰勒公式余项的类型 (5) 1.3泰勒公式 (6) 第三章泰勒公式的实际应用 (7) 2.1利用泰勒公式求极限 (7) 2.2利用泰勒公式进行近似计算 (8) 2.3在不等式证明中的应用 (9) 2.4泰勒公式在外推上的应用 (10) 2.5求曲线的渐近线方程 (11) 2.6泰勒公式在函数凹凸性及拐点判断中的应用 (13) 2.7在广义积分敛散性中的应用 (14) 2.8泰勒公式在关于界的估计 (15) 2.9泰勒公式展开的唯一性问题 (15) 结束语 (16) 致谢 (17) 参考文献 (18) 第一章 绪论 近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式 ()20000000()()()()()()()(),1!2!! n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++- 称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即 ()200000000()()()()()()()()(()).2!! n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式. 众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证 泰勒公式（提高班） 授课题目： §3.3泰勒公式 教学目的与要求： 1.掌握函数在指定点的泰勒公式； 2.了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用. 教学重点与难点： 重点：几个常用函数的泰勒公式 难点：泰勒公式的证明 讲授内容： 对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达．由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。 在微分的应用中已经知道，当x很小时，有如下的近似等式： ≈1，x e x+ x ln(． 1 +) x≈ 这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子．显然．在0 x处这些— = 次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值． 但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x 的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小．因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式． 于是提出如下的问题：设函数)(x f 在含有0x 的开区间内具有直到 (1+n )阶导数，试找出一个关于(0x x -)的n 次多项式 n n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+=Λ (1) 来近似表达)(x f ，要求)(x p n 与)(x f 之差是比n x x )(0-高阶的无穷小，并给出误差)()(x p x f n -的具体表达式． 下面我们来讨论这个问题．假设)(x p n 在0x 处的函数值及它的直到n 阶导数在0x 处的值依次与)(0x f ，)(0x f '，)(,0)(x f n Λ相等，即满足 )()(00x f x p n =，)()(00x f x p n '='， )()(00x f x p n ''=''，)(,0)()(x f p n n n =Λ， 按这些等式来确定多项式(1)的系数n a a a a Λ,,,210.为此，对（1）式求各 阶导数，然后分别代人以上等式，得 )(00x f a =，)(101x f a '=?，)(!202x f a ''=，)(!,0)(x f a n n n =Λ ， 即得 )(00x f a =，)(01x f a '=，)(!2102x f a ''=，)(! 1,0)(x f n a n n =Λ. (2) 本科生毕业设计（论文） （ 2014届） 设计（论文）题目泰勒公式及其在解题中应用 作者周立泉 分院理工分院用数学1001班 指导教师（职称）徐华（讲师） 专业班级数学与应用数学） 论文字数 8000 论文完成时间 2014年4月3日 杭州师范大学钱江学院教学部制 泰勒公式及其在解题中应用 数学与应用数学1001班周立泉指导教师徐华 摘要：泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它的基础思想是运用多项式来逼近一个已知函数，而该多项式的系数由给定的函数的各阶导数决定．本文主要归纳了其在证明不等式、等式，求极限，求近似值等各方面的应用． 关键词：泰勒公式;数学分析;导数 Taylor Formula and Its Application in Solving Problem Mathematics and Applied Mathematics class 1001 ZhouLiQuan Instructor: XuHua Abstract：Taylor's formula is an important equation of mathematical analysis, it is the basic idea is to use polynomial approximation to a known function, and the polynomial coefficients given by the derivatives of the function determined. This paper describes the method to prove the Taylor formula,summarized in inequalities, find the limit,the approximate value and the other applications. Keyword:Taylor's formula;Mathematical analysis; derivative. Tayloy 公式的唯一性证明 作者：卢晓峰 1. 引理：设0 lim ()0x x g x →=，()g x 在0x 的某邻域内可导，且()g x ' 在0x 处连续。若0()(())n g x x x ο=-，则10()(())n g x x x ο-'=-。 证明： 00001 11 00 000 ()()()()() () lim lim lim lim lim ()()()()()n n n n n x x x x x x x x x x g x g x g x x x g x g x g x x x x x x x x x x x ---→→→→→-''-===------又 0()(())n g x x x ο=-，0 0lim ()()0x x g x g x →== ∴0 0() lim 0()n x x g x x x →=-；0 00 ()lim 0()n x x g x x x →=- ∴0 1 0()lim 0() n x x g x x x -→'=-，即1 0()(())n g x x x ο-'=-。 2. 唯一性证明： ()f x 在0x 处存在n 阶导，设0()()(())n n f x P x x x ο=+-<1>。（其中() n P x 为n 次多项式） 设<1>式中0(())()n x x g x ο-=。易证：()g x 满足引理的条件。 ∴10()(())n g x x x ο-'=-，20()(())n g x x x ο-''=-， ，(1)0()()n g x x x ο-=-。 ∴ ()()() n f x P x g x '''=+， ()()() n f x P x g x ''''''=+， ， (1)(1)(1)()()()n n n n f x P x g x ---=+<2> 对<2>中的所有等式，均取0x x →的极限，则有： 00()()n f x P x ''=，00()()n f x P x ''''=， ，(1)(1)00()()n n n f x P x --= 又 泰勒公式及其应用 佟梅 (渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国) 摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。 关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。 Taylor’s formula and its application Tong Mei (Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated. Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality. 泰勒公式及其应用 摘要 文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。 关键词：泰勒公式，最优化理论，应用 一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式 若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数， 该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程 我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ； 设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明 我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）： 设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数； 对上式再次使用柯西中值定理，可得： 泰勒公式 定理（peano 余项型，洛必达法则法证明） 若()0()n f x 存在, 则0()x x ?∈ ， 0()(,)n f x T x x =+()0()n x x - . ()200000000()()(,)()()()()()2!! n n n f x f x T x x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++- . 0(,)n T x x 叫做f 在0x 的n 次泰勒多项式，也叫f 在0x 的n 次密切（ “切线”）. 证法 洛必达法则法的分析. 按照洛必达法则往证0()()lim 0()n n x a f x T x x x →-=-即可. 记()()()n n R x f x T x =-，0()()n n Q x x x =-， 注意到 (1)()000()()()0n n n n n R x R x R x -==== ， (1)00()()0n n n Q x Q x -=== ，()0()!n n Q x n = ()0()n f x 存在，意味着(1)()n f x -在0()U x 内还可导.允许()0lim ()0n x a n R x Q x →?? ???反复使用洛必达法则1n -次. 证明 连续1n -次使用洛必达法则，得 (1)(1)()()00lim lim ()0()0n n n n x a x a n n R x R x Q x Q x --→→????= ? ?????不断添入0，使结论成为两个函数值之差的比. (1)(1)()0000()()()()lim (1)2() n n n x a f x f x f x x x n n x x --→---=-- (1)(1)()000()()1lim ()0!n n n x a f x f x f x n x x --→??-=-= ?-?? . 注1 即使函数能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，0(,)n P x x 不一定是泰勒多项式. 如1()(),n f x x D x n N ++=∈，由100()()lim lim 0n n n x x f x x D x x x +→→==，故()()(0)n f x x x =→ . 虽然能写成()2()0000n n f x x x x x =+++++ ，但是，根据海因定理，1()()n f x x D x += ，n N +∈仅在0点仅1阶可导(0)0f '=（0的邻域内()f x '无定义）. 故2()0000n n p x x x x =++++ 并不是()f x 在0处的泰勒多项式. 注2 若f 能表成()00()(,)()n n f x P x x x x =+- ，则多项式0(,)n P x x 是唯一的 （不论可导性）. 因为 若 () 00()(,)()n n f x P x x x x =+- ()20102000()()()()n n n a a x x a x x a x x x x =+-+-++-+- （1） 则由（1） 00lim ()x x f x a →=， 反代入（1）式又得 0010 ()lim x x f x a a x x →-=-， 反代入（1）式又得 0010220()[()]lim ()x x f x a a x x a x x →-+-=- 第2章 预备知识 前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的． 给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1< 泰勒公式的几种证明法及其应用 -毕业论文 【标题】泰勒公式的几种证明法及其应用 【作者】张廷兵 【关键词】泰勒公式构造函数法数学归纳法柯西中值定理应用【指导老师】陈波涛 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 泰勒公式在分析和研究数学问题方面有着重要的应用。但是它的证明大多数是重复运用柯西中值定理来推导，这给初学者从理解到接受有一定的困难。为了给不同层次的学习者理解和接受泰勒公式提供方便。本文研究不同的证明方法，给学习者提供了选择的余地。归根结底，使学习者更好运用泰勒公式，为此就对泰勒公式的应用及技巧的总结。 2 带佩亚诺型余项泰勒公式的证明方法 在初等函数中，最简单的函数就是多项式，对于数值计算和理论分析都很方便。如果将一类复杂的函数用多项式来近似表示出来，其误差又能满足一定的要求。那么，我们就可以表示出此函数。若函数是n次多项式 令 .于是 对任意一个函数，只要函数在a点存在n阶导数，我们就可以写出一个相应的多项式 称为函数在a点的n次泰勒多项式，那么n次泰勒多项式与函数在在点a 的邻域上有什么联系呢,下面的定理回答了这个问题( 定理1[1] 若函数在a点存在n阶导数 ,则 其中 ,则上式就为在a点的泰勒公式, 为泰勒公式的余项. 2.1方法一 证明:将上式改为 ，有 分子是函数 ,分母是函数 .应用n-1次柯西中值定理[2] 其中 其中 其中 (至此已应用了n-1次柯西定理) 当根据右导数定义,有 同法可证: 于是 , 表示余项是佩亚诺型. 证毕. 2.2方法二 证明在的一个邻域内有一阶导数，则存在且在处连续,即有则由极限与无穷小量的关系有: ( 是无穷小量), 又 则 (2—1) 从(2—1)式推出: 比较无穷小量与 = = (因为二阶可导) 又由极限与无穷小量的关系有: 将上边代入(2—1)式: 设 .则在处有阶导数,且设当时仍有: + (2—2) 从(2—2)中推出 比较与 : 泰勒公式及其应用 [摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题， 即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １ 引言 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２ 预备知识 定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1） 这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式 为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式. 定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒 公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得 泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和： f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!?(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!?(x-x.)^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） 证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n 来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。显然，P(x.)=A0,所以 A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。至此，多项的各项系数都已求出，得： P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!?(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!?(x-x.)^n. 接下来就要求误差的具体表达式了。设Rn(x)=f(x)-P(x),于是有 Rn(x.)=f(x.)-P(x.)=0。所以可以得出Rn(x.)=Rn'(x.)=Rn''(x.)=……=Rn(n) (x.)=0。根据柯西中值定理可得Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(x)-Rn(x.)/(x-x.)^(n+1)-0=Rn'(ξ1)/(n+1)(ξ1-x.)^n(注：(x.-x.)^(n+1)=0),这里ξ1在x和x.之间；继续使用柯西中值定理得Rn'(ξ1)-Rn'(x.)/(n+1)(ξ1-x.)^n- 0=Rn''(ξ2)/n(n+1)(ξ2-x.)^(n-1)这里ξ2在ξ1与x.之间；连续使用n+1次后得出Rn(x)/(x-x.)^(n+1)=Rn(n+1)(ξ)/(n+1)!，这里ξ在x.和x之间。但 Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)-P(n+1)(x),由于P(n)(x)=n!An,n!An是一个常数，故P(n+1)(x)=0，于是得Rn(n+1)(x)=f(n+1)(x)。综上可得，余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)/(n+1)!?(x-x.)^(n+1)。一般来说展开函数时都是为了计算的需要，故x往往要取一个定值，此时也可把Rn(x)写为Rn。 麦克劳林展开式：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于x多项式和一个余项的和： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+Rn 其中Rn=f(n+1)(θx)/(n+1)!?x^(n+1),这里0<θ<1。 证明：如果我们要用一个多项式P(x)=A0+A1x+A2x^2+……+Anx^n来近似表示函数f(x)且要获得其误差的具体表达式，就可以把泰勒公式改写为比较简单的形式即当x.=0时的特殊形式： f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)/2!?x^2,+f'''(0)/3!?x^3+……+f(n)(0)/n!?x^n+f(n+1)泰勒公式的证明及应用(1)
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