2015届高考数学文二轮专题复习高考中档大题规范练(一)

高考中档大题规范练

高考中档大题规范练(一)

——三角函数与平面向量

(推荐时间：60分钟)

1．(2014·江苏)已知α∈????π2，π，sin α＝55

. (1)求sin ????π4＋α的值；

(2)求cos ????5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈????π2，π，sin α＝55

， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255

. 故sin ????π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4

sin α ＝22×????－255＋22

×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α

＝2×55×???

?－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×??

??552＝35， 所以cos ????5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6

sin 2α ＝????－32×35＋12×????－45＝－4＋3310. 2．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .

(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间； (2)当x ∈[0，π4

]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6

)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2

＝π，

由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2

(k ∈Z )， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6

(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6

](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3

]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12

，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6

)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，即a ＋3＝4，∴a ＝1.

3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3

. (1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；

(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求△ABC 的面积．

解 (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，

又△ABC 的面积等于3，所以12

ab sin C ＝3，得ab ＝4， 联立方程?????

a 2＋

b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2. (2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，

即sin B cos A ＝2sin A cos A .

当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233

， 则△ABC 的面积S ＝12bc ＝233

； 当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，

联立方程?????

a 2＋

b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433. 则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233

， 综上，△ABC 的面积为233

. 4．(2014·山东)已知向量a ＝(m ，cos 2x )，b ＝(sin 2x ，n ), 函数f (x )＝a ·b ，且y ＝f (x )的图象过

点(π12，3)和点(2π3

，－2)． (1)求m ，n 的值；

(2)将y ＝f (x )的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，若y ＝g (x )图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，求y ＝g (x )的单调递增区间．

解 (1)由题意知f (x )＝a ·b ＝m sin 2x ＋n cos 2x .

因为y ＝f (x )的图象过点(π12，3)和(2π3

，－2)， 所以??? 3＝m sin π6＋n cos π6，－2＝m sin 4π3＋n cos 4π3

， 即??? 3＝1

2m ＋32n ，－2＝－32m －12n ，解得???

m ＝3，n ＝1. (2)由(1)知，f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin(2x ＋π6

)． 由题意知，g (x )＝f (x ＋φ)＝2sin(2x ＋2φ＋π6

)． 设y ＝g (x )的图象上符合题意的最高点为(x 0,2)，

由题意知x 20＋1＝1，所以x 0＝0，

即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．

将其代入y ＝g (x )，得sin(2φ＋π6

)＝1， 因为0<φ<π，所以φ＝π6

， 因此g (x )＝2sin(2x ＋π2

)＝2cos 2x . 由2k π－π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，得k π－π2

≤x ≤k π，k ∈Z ， 所以函数y ＝g (x )的单调递增区间为[k π－π2

，k π]，k ∈Z . 5．(2014·上海) 如图，某公司要在A 、B 两地连线上的定点C 处建造广告牌CD ，其中D 为顶端，AC 长35米，CB 长80米，设A 、B 在同一水平面上，从A 和B 看D 的仰角分别为α和β.

(1)设计中CD 是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD 的长至多为多少(结果精确到0.01米)?

(2)施工完成后，CD 与铅垂方向有偏差，现在实测得α＝38.12°，β＝18.45°，求CD 的长(结果精确到0.01米)?

解 (1)令DC ＝h ，则tan α＝h AC ＝h 35，tan β＝h CB ＝h 80

. 因为90°>α≥2β>0°，所以tan α≥tan 2β＝2tan β1－tan 2β

>0， 即h 35≥2·h 801－(h 80

)2＝2·80h 802－h 2

>0，解得0

(2)设CD ＝h ，BD ＝m ，在△ABD 中，由正弦定理得，

m sin 38.12°＝35＋80sin (38.12°＋18.45°)

， 解得m ＝35＋80sin (38.12°＋18.45°)

·sin 38.12°≈85.064. 在△BCD 中，由余弦定理得，h 2＝802＋m 2－2·80·m ·cos 18.45°，解得h ≈26.93，所以，CD 的长是26.93米．

6．已知函数f (x )＝sin 2(x 2＋π12)＋3sin(x 2＋π12)cos(x 2＋π12)－12

. (1)在△ABC 中，若sin C ＝2sin A ，B 为锐角且有f (B )＝32，求角A ，B ，C ； (2)若f (x )(x >0)的图象与直线y ＝12

交点的横坐标由小到大依次是x 1，x 2，…，x n ，求数列{x n }的前2n 项和，n ∈N *.

解 (1)因为f (x )＝1－cos (x ＋π6)2＋32sin(x ＋π6)－12＝32sin(x ＋π6)－12cos(x ＋π6)＝sin(x ＋π6－π6

)＝sin x ，又f (B )＝32，故sin B ＝32

. 又B 为锐角，所以B ＝π3

. 由sin C ＝2sin A ，得c ＝2a ，

所以b 2＝a 2＋4a 2－2a ·2a cos π3

＝3a 2. 所以c 2＝a 2＋b 2.

所以△ABC 为直角三角形，C ＝π2，A ＝2π3－π2＝π6

. 综上，A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2

. (2)由正弦曲线的对称性、周期性，可知

x 1＋x 22＝π2，x 3＋x 42＝2π＋π2

，…，

x 2n －1＋x 2n 2＝2(n －1)π＋π2

， 所以x 1＋x 2＋…＋x 2n －1＋x 2n

＝π＋5π＋9π＋…＋(4n －3)π＝n π＋12

n (n －1)·4π ＝(2n 2－n )π.