广东省惠州市2017届高三第一次调研考试数学理试题 Word版含解析

惠州市2017届高三第一次调研考试 数 学（理科）

第Ⅰ卷

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知{1,2,4,8,16}A =，2{|log ,}B y y x x A ==∈，则

A B =（ ）

A ．{1,2}

B ．{2,4,8}

C ．{1,2,4}

D ．{1,2,4,8}

2．若复数z 满足i i i z +-=-|1|)1(，则z 的实部为（ ）

A ．

12 B 1 C ．1 D ．1

2

+ 3．函数()()2

2

3

3

2()2log (1)x x f x x x -?

+图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移2

π个单位，所得函数图象的解析式是（ ） A ．cos

2x y = B ．3sin()24x y π=+

C ．sin(2)4

y x π=-+ D ．3sin(2)4y x π

=+ 5．已知圆2

2

(2)(2)x y a ++-=截直线20x y ++=所得弦长为6，则a 的值为（ ） A ．8 B ．11 C ．14 D ．17 6．执行如图的程序框图，则输出S 的值为（ ）

A ．2

B ．3-

C ．1

2-

D ．13

7．设0a >，0b >是4a 和2b

的等比中项，则

21

a b

+的最小值为（ ）

9．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程y b x a =?+的b 约等于9，据 此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（ ）。 A ．54万元

B ．55万元

C ．56万元

D ．57万元

10．已知三棱锥S ABC -

的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2AB =， 2SA SB SC ===，则三棱锥的

外接球的球心到平面ABC 的距离是（

） A B ．1 C D

11．双曲线:M 22

221(0,0)x y a b a b

-=>>实轴的两个顶点为,A B ，点P 为双曲线M 上除A B 、外的一个动点，若

QA PA QB PB ⊥⊥且，则动点Q 的运动轨迹为（ ）

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线

D ．抛物线

12．已知()f x 是定义在R 上的且以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，2

()f x x =．

如果函数()()()g x f x x m =-+有两个零点，则实数m 的值为（ ）

A ．2()k k Z ∈

B ．1

22()4

k k k Z +

∈或 C ．0 D ．1

22()4

k k k Z -

∈

或 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13

题～第21题为必考题，第22题～第24题为选考题。 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120°，则(2)()a b a b +?+=________.

14．已知5

的展开式中含3

2x 的项的系数为30，则a =________.

15．设1m >，变量,x y 在约束条件1y x y mx x y ≥??

≤??+≤?

下，目标函数z x my =+的最大值为2，则m =________.

16．已知数列{},{}n n a b 满足*1121

,1,()21n n n n n

b a a b b n N a +=+==∈-，则2017b =______.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos()16cos cos B C B C --=． （Ⅰ）求cos A 的值；

（Ⅱ）若3a =，ABC ?

的面积为，求,b c 边长．

18．（本小题满分12分）

4月23日是世界读书日，惠州市某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动。为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查。下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间(单位：分钟)的频率分布直方图，且将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书迷”，低于60分钟的学生称为“非读书迷”．

（Ⅰ）根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书迷”与性别有关？

（Ⅱ）将频率视为概率，现在从该校大量学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“读书迷”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列、数学期望()E X 和方差()D X ．

附：2

2

(),()()()()

n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -=

=+++++++

/分钟

如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，

AB AD ⊥，//AB CD ，

222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．

（Ⅰ）求证：平面EAC ⊥平面PBC ；

（Ⅱ）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --

的余弦值为

3

PA 与平面EAC 所成角的正弦值．

20．（本小题满分12分）

已知点(1,0)A -，(1,0)B ，直线AM 与直线BM 相交于点M ，直线AM 与直线BM 的斜率分别记为AM k 与

BM k ，且2AM BM k k ?=-．

（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；

（Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 与曲线C 交于,P Q 两点，OPQ ?的面积是否存在最大值？若存在，求出

OPQ ?面积的最大值；若不存在，请说明理由．

A B

C

D

E

P

已知函数(1)

()ln ()a x f x x a R x

-=-

∈． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）求证：?(1,2)x ∈，不等式111ln 12

x x -<-恒成立．

请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。 22．（本小题满分10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，AB 是

O 的直径，弦CD 与AB 垂直，并与AB 相交于点E ，点F 为弦CD 上异于点E 的任意一点，

连接BF 、AF 并延长交

O 于点,M N ．

（Ⅰ）求证：,,,B E F N 四点共圆； （Ⅱ）求证：2

2

AC BF BM AB +?=．

23．（本小题满分10分）【选修4-4：极坐标和参数方程】

在直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为α且经过点(1,0)P -．以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C 的极坐标方程为2

6cos 50ρρθ-+=．

（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．

24．（本小题满分10分）【选修4-5：不等式选讲】

设函数()|1|f x ax =-．

（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[6,2]-，求实数a 的值；

（Ⅱ）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，

求实数m 的取值范围.

A B C

D

M

N

E F

O

惠州市2017届高三第一次调研考试

数 学（理科）参考答案与评分标准

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分。

1.C 【解析】由已知可得22222{log 1,log 2,log 4,log 8,log 16}{0,1,2,3,4}B ==，所以{1,2,4}A B =，所以选C.

2.【解析】由(1)|1|z i i i i -=-+=，

则z 的实部为故选A ．

考点：复数的代数运算

3．【解析】若2a <，则由()1f a =得，231a -=，∴2a =．此时不成立．

若2a ≥，则由()1f a =得，2

3log (1)1a -=，∴2a =，故选A ．

考点：函数的零点；函数的值．

4．【解析】将函数cos )sin()24

y x x x π

=

+=+的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数1sin()24y x π=+的图象；再向左平移2π个单位，所得函数图象的解析式为11

sin()cos 222

y x x π=+=，故选：A ．

考点：三角函数的图象变换．

5．【解析】圆22

(2)(2)x y a ++-=，圆心()2,2-．故弦心距d =

=．再由弦长公式可

得2911a =+=；故选B ． 考点：直线与圆的位置关系．

6．【解析】1

1

1,3;2,;3,;4,2,23

k s k s k s k s ==-==-====以4作为一个周期，所以2016,2k s ==，故选A 7．【解析】因为422a b +=，所以21a b +=，

()21212529b a a b a b a b a b ????+=++=++≥ ? ?????

当且仅当

b a

a b

=即12a b ==时“=”成立，故选C

考点：基本不等式；等比数列的性质．

8．【解析】几何体是一个组合体，包括一个三棱柱和半个圆柱，三棱柱的是一个底面是腰为2的等腰直角三角形，

高是3，其底面积为：1

22242

???=，侧面积为：3326??=；圆柱的底面半径是1，高是3，其底面积为：1212

ππ???=，侧面积为：33ππ?=；

∴组合体的表面积是 故选C ． 9．【解析】

124510263549

3,3044

x y ++++++=

===，中心点为()3,30，

代入回归方程得30273a a =+∴=936y x x ∴=+∴=时57y = 考点：回归方程

10．【解析】因为三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形，2SA SB SC ===，

S ∴在面ABC 内的射影为AB 中点H ，SH ∴⊥平面ABC ，SH ∴上任意一点到,,A B C 的距离相等． 3SH =1CH =，在面SHC 内作SC 的垂直平分线MO ，则O 为S ABC -的外接球球心．

2SC =，1SM ∴=，30OSM ∠=?，SO OH ∴=

=

O 到平面ABC 的距离，故选A ． 考点：球内接多面体；点到面的距离的计算．

11.【解析】设22

22(,),(,),1x y P m n Q x y M a b

-=双曲线:,实轴的两个顶点(,0),(,0)A a B a -

(,),(,)QA x a y PA m a n =---=---∵QA ⊥PA ，∴()()0x a m a ny ----+=，可得,ny

m a x a

+=-

+ 同理根据QB ⊥PB ，可得ny m a x a -=--两式相乘可得2222

2

2

n y m a x a -=- ∵点(,)P m n 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，22

221m n a b ∴-=，

整理得22

22

2()b n m a a

=- 222221x b y a a -= 故选：C ．

12. 【解析】设10x -≤≤，则 01x ≤-≤，()2

2()()f x x x f x -=-==，

综上，2()f x x =，[]1,1x ∈-，()2

()2f x x k =-，[]21,21x k k ∈-+，

由于直

线y x a =+的斜率为1，在y 轴上的截距等于a ，在一个周期[]1,1-上，0a =时

满足条件，1

4

a =-

时，在此周期上直线和曲线相切，并和曲线在下一个区间上图

象有一个交点，也满足条件．由于()f x 的周期为2，故在定义域内，满足条件的a 应是 1

2024

k k +-

或，k ∈Z ．故

选 D ．

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分

13. 12 14. 6-

15.1+ 16. 2017

2018

13．【解析】

4,2a b ==，且a 与b 夹角为120?，2

2

16,4a b ∴==，cos120a b a b ?=???

14242??

=??-=- ???

，()()

222212a b a b a a b b -?+=-?-=，故答案为12．

考点：1、平面向量模与夹角；

2、平面向量的数量积． 14.【解析】

15r

r T C +=1

5

()30,6C a a -==-

15．【解析】最大值，此时点B 的坐标为1211

m z m m m =+?=++所以1m =考点：线性规划.

16．【解析】∵1n n a b +=，∵112b =，∴1121b =--．∴数列11n b ????-??

是以﹣2为首项，﹣1为公差的等差数列，

∴

1

11n n b =---，∴1n n b n =+．则201720172018b =．故答案为：20172018

． 考点：数列递推式．

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）由3cos()16cos cos B C B C --=，

得3(cos cos sin sin )1B C B C -=-，...............2分 即1

cos()3

B C +=-， .......................................3分

在ABC ?内,1

cos cos()3

A B C =-+=

．.....................................5分

（Ⅱ）∵0A π<<，1cos 3A =

，∴sin A =，

由ABC S ?=1

sin 2

bc A =6bc =．.........................6分 由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，.............................7分 ∴2

2

9()2(1cos )()16b c bc A b c =+-+=+-， ∴5b c +=．.................................................................9分 由56b c bc +=??

=?，得23b c =??=?或3

2b c =??=?

．............................................12分

考点：1、三角恒等变换；2余弦定理、；3、正弦定理的应用． 18．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）2×2列联表如下：

易知2

K 的观测值2

100(40251520)8.24960405545

k ??-?=≈???....................4分

因为8.249>6.635，所以有99%的把握认为“读书迷”与性别有关．..............5分 （Ⅱ）由频率分布直方图可知从该校学生中任意抽取1名学生恰为“读书迷”的概率为2

5

,..............6分 由题意可知2

(3,)5X

B ,X 的所有可能取值为0,1,2,3,......................7分

033327(0)(),5125P X C === 12

32354(1)()()55125P X C ===,

2232336(2)()55125P X C ===, 33

328(3)()5125

P X C ===...........9分

X 的分布列为

..................................................................10分

26

()355E X =?

=................................................11分 2218

()3(1)5525D X =??-=......................................12分

19．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）证明：⊥PC 平面ABCD ，?AC 平面ABCD ，PC AC ⊥∴，.......................1分

2=AB ，1==CD AD ，222AB BC AC =+∴，BC AC ⊥∴...........................................2分

又C PC BC = ，PC ?面PBC ，BC ?面PBC ...................3分

⊥∴AC 平面PBC ，.................................................................4分

∵?AC 平面EAC ，∴平面⊥EAC 平面PBC ...........................5分 （Ⅱ）以C 为原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则C （0，0，0），A （1，1，0），B （1，－1，0） 设P （0，0，a ）（0a >）， )0,1,1(=CA ，)

,0,0(a CP =，分 取m =（1，－1，0）

则0=?=?CA m CP m ，∴m 为面PAC 的法向量

设),,(z y x n =为面EAC 的法向量，则0=?=?CE n CA n ，

即???=+-=+0

,0az y x y x ，取a x =，a y -=，2-=z ，则)2,,(--=a a n ，.............. 8分 ，则2=a ...............9分 于是)2,2,2(--=n .........................................10分

设直线PA 与平面

EAC 所成角为θ，则

即直线PA 与平面EAC ............................12分 20．（本小题满分12分）

B

（未写出范围扣一分）............4分 （Ⅱ）由已知当直线PQ 的斜率存在，设直线PQ 的方程是1y kx =+，........5分

，消去y 得()22

2210k x kx ++-=，.....................6分

因为(

)()()2

2

2442810k

k

k ?=++=+>，所以k R ∈，...............7分

设()()1122,,,P x y Q x y ，

......................8分

分

当且仅当0k =时取等号，

OPQ ?面积的最大值为 .......................................12分

考点：1、求曲线的方程；2、椭圆的方程；3、利用基本不等式求最值． 21．（本小题满分12分）

【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，/2

()x a

f x x -=

....................3分 ①若/

0,()0a f x ≤>，()f x 在(0,)+∞上单调递增 ...................4分 ②若0a >，当(0,)x a ∈时，/

()0f x <，()f x 在(0,)a 单调递减．

当(,)x a ∈+∞时，/

()0f x >，()f x 在(,)a +∞单调递增．.................6分

（Ⅱ）1111 2 ln 12

x x x <<∴

-<-等价于(1)ln 2(1)0x x x +-->………………7分 令()(1)ln 2(1)F x x x x =+--，则/

(1)1()ln 2ln 1x F x x x x x

+=+-=+-………………9分 由（Ⅰ）知，当1a =时min ()(1)0f x f ==，()(1)f x f ∴>，即1

ln 10x x

+-≥................10分

所以/

()0F x ≥，则()F x 在(1,2)上单调递增，所以()(1)0F x F >=

即1111 2 ln 12

x x x <<-<-有时

………………………………………………………12分 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值、最值及分类讨论、转化与化归的数学思想

22.（本小题满分10分）

【解析】证明 （Ⅰ）连接BN ，则AN BN ⊥，……………2分 又,CD AB ⊥则90BEF BNF ∠=∠=，.......4分

即180BEF BNF ∠+∠=，则,,,B E F N 四点共圆．..............5分 （Ⅱ）由直角三角形的射影定理可知2

,AC AE AB =? .................6分

相似可知：BF BE

BA BM

=， ()BF BM BA BE BA BA EA ==-, 2BF BM AB AB AE ?=-?.........................………………………8分

2222BF BM AB AC AC BF BM AB ∴?=-+?=,即.............................10分

23.（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）将C 的极坐标方程2

6cos 50ρρθ-+=化为直角坐标为2

2

650x y x +-+=,.........1分

直线l 的参数方程为1cos (sin x t t y t α

α=-+??

=?

为参数）………………...................2分 将直线的参数方程代入曲线C 的方程整理得28cos 120t t α-+=.......………3分 直线与曲线有公共点，264cos 480α∴?=-≥

得cos cos 22

αα≥

≤-

或 [0,),απα∈∴的取值范围为5[0,],66πππ??

????

.............……………………5分

（Ⅱ）曲线C 的方程2222

650(3)4x y x x y +-+=-+=化为，

A B C

D

M

N

E F O

其参数方程为32cos (2sin x y θ

θθ=+??

=?为参数）................………………………7分 (,)M x y 为曲线C 上任意一点，

32cos 2sin 34x y πθθθ?

?∴+=++=++ ??

? ..........9分

x y +

的取值范围是[3-+...........................………………………10分

24.（本小题满分10分）

【解析】（Ⅰ）显然0a ≠，…………………………………………………………1分

当0a >时，解集为13[,]a a -

， 13

6,2a a -=-=，无解；…………3分 当0a <时，解集为31[,]a a -，令132,6a a

-==-，1

2a =-，

综上所述，1

2

a =-.……………………………………………………5分

（Ⅱ）当2a =时，

令()(21)(1)4123h x f x f x x x =+--=+--124,41362,42324,2x x x x x x ?

--≤-??

?

=--<

?

+≥??

…………7分

由此可知，()h x 在1

(,)4-∞-单调减，在13(,)42-和3(,)2

+∞单调增， 则当14x =-

时，()h x 取到最小值7

2-，………………………………8分 由题意知，7732m -≤-，则实数m 的取值范围是7,2?

?-∞ ??

?……………10分