b a
c 442
-
（4）二次函数图象与x 轴的交点个数和判别式?的关系：
0>?时，有两个交点；0=?时，有一个交点（即顶点）；0
15、函数的零点
使0)(=x f 的实数0x 叫做函数的零点。例如10-=x 是函数1)(2
-=x x f 的一个零点。
注：函数()x f y =有零点 ? 函数()x f y =的图象与x 轴有交点 ? 方程()0=x f 有实根 16、函数零点的判定： 如果函数()x f y =在区间[]b a ,上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(
>∈，且1n >）
（1）n m n
m a a
=.如2
33
x x =；(2) n
m
n
m n
m a a a
1
1
=
=
-
. 如
2
33
1-
=x
x ；（3
）n a =；
（4）当n
a =； 当n
,0
||,0a a a a a ≥?==?-
.
18、有理指数幂的运算性质（Q s r a ∈>,,0）
（1）s
r s r a a a +=?； （2）rs s r a a =)(； （3）r r r b a ab =)( 19、指数函数x a y =（0>a 且1≠a ），其中x 是自变量，a 叫做底数，定义域是R
20、若N a b
=，则
叫做以
为底N 的对数。记作：b N a =log （1,0≠>a a ，0>N ）
其中，a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数。
注：指数式与对数式的互化公式：log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠> 21、对数的性质
（1）零和负数没有对数，即N a log 中0>N ；
（2）1的对数等于0，即 01log =a ；底数的对数等于1，即1log =a a 22、常用对数N lg ：以10为底的对数叫做常用对数，记为：N N lg log 10=
自然对数N ln ：以e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数，记为：N N e ln log =
23、对数恒等式：N a N
a =log
24、对数的运算性质（a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0）
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a
a a M
M N N
=-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈ （注意公式的逆用）
25、对数的换底公式 log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论①或1log log a b b a
=； ②log log m n
a a n
b b m =.
26、对数函数x y
log =（0>a ，且1≠a ）：其中，x 是自变量，a 叫做底数，定义域是),0
(+∞
27、指数函数a y =与对数函数x y a log =互为反函数；它们图象关于直线x y =对称. 28、幂函数αx y =（R ∈α），其中x 是自变量。要求掌握3,2,1,2
1
,
1-=α这五种情况(如下图) 29、幂函数αx y =的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）当0α>时，幂函数的图象都通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数． （Ⅲ）当0α<时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．
必修2
30、边长为a 的等边三角形面积24
3a S =
?正 31、柱体体积：h 底柱＝S V ， 锥体体积：h 锥底＝S 3
1V
球表面积公式：24R S π=球， 球体积公式：3
3
4R V π=（上述四个公式不要求记忆）
32、四个公理：
① 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 ② 过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。
③ 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 ④ 平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。 33、等角定理：
空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补(如图)
34、两条直线的位置关系：????????异面直线 相交平行共面直线 直线与平面的位置关系：
（1）直线在平面上；（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交） 两个平面的位置关系：（1）两个平面平行；（2）两个平面相交 35、直线与平面平行：
定义 一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。 判定 平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。
性质 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 36、平面与平面平行：
定义 两个平面没有公共点，则这两平面平行。
判定 若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。 性质 ① 如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。 ② 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。 37、直线与平面垂直：
定义 如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。
判定 一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。 性质 ①垂直于同一平面的两条直线平行。
②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。 38、平面与平面垂直：
定义 两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。 判定 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
性质 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 39、三角形的五“心”
（1）O 为ABC ?的外心（各边垂直平分线的交点）.外心到三个顶点的距离相等 （2）O 为ABC ?的重心（各边中线的交点）.重心将中线分成2：1的两段 （3）O 为ABC ?的垂心（各边高的交点）.
（4）O 为ABC ?的内心（各内角平分线的交点）. 内心到三边的距离相等 （5）O 为ABC ?的A ∠的旁心（各外角平分线的交点）. 40、直线的斜率：
(1) 过()()2211,,,y x B y x A 两点的直线，斜率1
21
2x x y y k --=
，（21x x ≠）
（2）已知倾斜角为α的直线，斜率αtan =k （)900
≠α
（3）曲线)(x f y =在点（),00y x 处的切线，其斜率)(0x f k '= 41、直线位置关系：已知两直线222111:,:b x k y l b x k y l +=+=，则
1//2121212121-=?⊥≠=?k k l l b b k k l l 且
特殊情况：（1）当21,k k 都不存在时，21//l l ；（2）当1k 不存在而02=k 时，21l l ⊥
42、直线的五种方程 ：
1 2 3 ：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）
：（在同一平面内，没有公共点） ：（在同一平面内，有一个公共点）
①点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点),(11y x ，斜率为k )． ②斜截式 y kx b =+ (直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为k ).
③两点式
11
2121y y x x y y x x --=
-- (直线过两点),(11y x 与),(22y x ). ④截距式 1=+b
y
a x （
b a ,分别是直线在x 轴和y 轴上的截距，均不为0）
⑤一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0)；可化为斜截式：B
C x B A y --
= 43、（1）平面上两点),(),,(2211y x B y x A 间的距离公式：|AB|=2
21221)()(y y x x -+- （2）空间两点),,(),,,(222111z y x B z y x A 距离公式|AB|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-
（3
）点到直线的距离d =
(点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=).
44、两条平行直线0A 1=++C By x 与0A 2=++C By x 间的距离公式：2
2
21B
A C C d +-=
注：求直线0A =++C By x 的平行线，可设平行线为0A =++m By x ，求出m 即得。 45、求两相交直线0A 111=++C y B x 与0A 222=++C y B x 的交点：解方程组???=++=++0A 0A 222
111C y B
x C y B x 46、圆的方程：
①圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. 其中圆心为),(b a ，半径为r ②圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=.
其中圆心为)2,2(E D --，半径为2
422F E D r -+=，其中22
4D E F +-＞0
47、直线0=++C By Ax 与圆的222)()(r b y a x =-+-位置关系
（1）0相离r d ;
（2）0=???=相切r d ; （3）0>???<相交r d .
48、直线与圆相交于),(),,(2211y x B y x A 两点，求弦AB 长度的公式：（1）222||d r AB -=
（2）212212
4)(1||x x x x k
AB -++=（结合韦达定理使用），其中k 是直线的斜率
49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21 1）条公切线外离421??+>r r d ; 2）条公切线外切321??+=r r d ; 3）条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 4）条公切线内切121??-=r r d ; 5）无公切线内含??-<<210r r d
其中d 是圆心到直线的距离，且2
2B A C
Bb Aa d +++=
必修③公式表
50、算法：是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成. 51
52、算法的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。 5354 ??
?
???=组距极差组数，样本容量频数频率= ，频率组距频率组距小矩形面积=?=。
（2）数字特征 众数：一组数据中，出现次数最多的数。
中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数）。
平均数：()n x x x n x +++= 211 方差: 2
s =22221231[()()()()]n x x x x x x x x n -+-+-++-
标准差：()()()
????
??
-++-+-=
222211x x x x x x n s n 注：通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度；其值越
小，数据越集中；其值越大，数据越分散。
回归直线方程：a bx y
+=?，其中∑∑==--=n
i i
n
i i
i x n x
y
x n y
x b 1
2
21
，x b y a -=
55、事件的分类：
（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P （必然事件）=1
（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P （不可能事件）=0 （3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件 基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。
56、在n 次重复实验中，事件A 发生的次数为m ，则事件A 发生的频率为m/n ，当n 很大时，m 总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件A 的概率。（概率范围：()1A P 0≤≤）
57、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。 如果事件A 、B 是互斥事件，则P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 58、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。 对立事件性质：P （A ）+P （A ）=1，其中A 表示事件A 的对立事件。 1
59、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征： （1）基本事件个数是有限的；
（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．
60、设一试验有n 个等可能的基本事件，而事件A 恰包含其中的m 个基本事件，则事件A 的概率P(A)公式为
()基本事件的总数包含的基本事件的个数A A P ==
运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。 在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。
61、几何概型的概率公式：())
()
(A A P 面积或体积区域长度试验的全部结果构成的面积或体积的区域长度构成事件=
n
m
必修四公式表
62、终边相同角构成的集合：{}Z k k ∈+=,2|παββ 63、弧度计算公式：r l =
α;64、扇形面积公式：2
2
121r lr S ?==α(α为弧度) 65、三角函数的定义：已知()y x P ,是α的终边上除原点外的任一点则
x
y r x r y ===αααtan cos sin ，， 66、三角函数值的符号
αsin
αcos αtan
6768、同角三角函数的关系：α
αααcos tan ,1cos sin 2
2
=
=+ 69、和角与差角公式： 二倍角公式：
sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; αααcos sin 22sin =
cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; αααα222sin 21sin cos 2cos -=-=
tan tan tan()1tan tan αβ
αβαβ
±±= . 22tan tan 21tan ααα=-
70、诱导公式 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；其中，奇偶是指2
π
的个数，符号参考第66条.
()()()απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin =+=+=+k k k ()()()απααπααπαtan tan cos cos sin sin =+-=+-=+ ()()()ααααα
αtan tan cos cos sin sin -=-=--=- ()()()ααπααπααπtan tan cos cos sin sin -=--=-=- ααπcos )2
sin(=- ααπsin )2
cos(=- ααπcos )2
sin(=+ ααπ
sin )2
cos(-=+
71、辅助角公式：sin cos a b αα+)α?+(辅助角?所在象限与点(,)a b 的象限相同,且tan b
a
?=).主要在求周期、单调性、最值时运用。 如)6
sin(2cos sin 3π
+=+=x x x y
72、半角公式(降幂公式)：2cos 12
sin 2
αα-=
，2
cos 12cos 2α
α+= 73、三角函数)sin(?ω+=x A y 的性质（0,0>>ωA ） （1）最小正周期ω
π
2=
T ；振幅为A ；频率T
f 1
=
；相位：?ω+x ；初相：?；值域：],[A A -； 对称轴：由ππ
?ωk x +=
+2
解得x ；对称中心：由π?ωk x =+解得x 组成的点)0,(x
（2）图象平移：x 左加右减、y 上加下减。
例如：向左平移1个单位，解析式变为])1(sin[?ω++=x A y ；向下平移3个单位，解析式变为3)sin(-+=?ωx A y （3）函数tan()y x ω?=+的最小正周期ω
π
=
T . )α
r
l
+ + — — + — — + + — + —
1cos 22-=α
77
78
80、平面向量的坐标运算:设向量a =11(,)x y ,向量b =22(,)x y
（1）加法a+b=1212(,)x x y y ++. （2）减法a-b=1212(,)x x y y --.（3）数乘λa=),(),(1111y x y x λλλ= （4）数量积a ·b =|a ||b |cos θ=2121y y x x +，其中θ是这两个向量的夹角
（5）已知两点A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--
.
81、向量a=(,)x y 的模：|a |=2
2y x +==，即2
2
||=
82、两向量的夹角公式 cos a b
a b θ==
83、向量的平行与垂直 （b ≠0）
a ||
b ? b =λa 12210x y x y ?-=. 记法： a =11(,)x y ,b =22(,)x y
a ⊥
b ? a ·b=0 12120x x y y ?+=. 记法： a =11(,)x y ,b =22(,)x y
a a+
b b a
b b-a
必修⑤公式表
84、数列前n 项和与通项公式的关系:
??
?≥-==-.2 ;1
11n S S n S a n n n ，
，( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++ ). 85
86（1）、含有绝对值的不等式
当a > 0时，有2
2
x a x a a x a
22x a x a x a >?>?>或x a <-.[大于取两边]
(2)、解一元二次不等式 )0(,02
>>+
+
a c bx
ax 的步骤：
①求判别式 ac b 42
-=? 0>? 0=? 0
④结合图象写出解集
02>++c bx ax 解集 {}12x x x x x <>或 ???
?
??-≠a b x x 2 R
02<++c bx ax 解集 {}21x x x x << φ φ
注：02
>++c bx ax )0(>a 解集为R ? 02
>++c bx ax 对R x ∈恒成立 ? 0
（4）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。 如解分式不等式
11->-x x ：先移项;011>+-x x 通分;0)1(>+-x
x
x 再除变乘0)12(>-x x ，解出。 87、线性规划：
（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：
（2）不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的平面区域，验证方法：取原点（0，0）代入不
等式，若不等式成立，则平面区域在原点所在的一侧。假如 直线恰好经过原点，则取其它点来验证，例如取点（1，0）。
（3
0=C
选修1-1
88、充要条件
（1）若p q ?，则p 是q 充分条件，q 是p 必要条件.
（2）若p q ?，且q p ?，则p 是q 充要条件.
注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然. 89、逻辑联结词。“p 或q ”记作：p ∨q; “p 且q ”记作：p ∧q; 非p 记作：┐p 90、四种命题： 原命题：若p ，则q 逆命题：若q ，则p
否命题：若┐p ，则┐q 逆否命题：若┐q ，则┐p
注意：（1）原命题与逆否命题同真同假，但逆命题的真假与否命题之间没有关系； （2）┐p 是指命题P 的否定，注意区别“否命题”。例如命题P ：“若0>a ，则0=b ”，那么P 的“否命题”是：“若0≤a ，则0≠b ”，而┐p 是：“若0>a ，则0≠b ”。 91、全称命题：含有“任意”、“所有”等全称量词（记为?）的命题，如P ：0)1(,2≥-∈?x R x
特称命题：含有“存在”、“有些”等存在量词（记为?）的命题，如q ：1,2-=∈?x R x
注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，
如上述命题p 和q 的否定：┐p ：0)1(,2
<-∈?m R m ， ┐q ：1,2
-≠∈?x R x 92、椭圆
①定义：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且a PF PF 221=+(a 为常数)则P 点的轨迹是椭圆。
②标准方程：焦点在x 轴:12222=+b y a x )0(>>b a ； 焦点在y 轴:122
22=+b
x a y )0(>>b a ；
长轴长=a 2，短轴长=2b 焦距：2c 恒等式：a 2-b 2=c 2
离心率：a
c e =
93、双曲线
①定义：若F 1，F 2是两定点，a PF PF 221=-（a 为常数），则动点P 的轨迹是双曲线。 ②图形：如图 ③标准方程：
焦点在x 轴:122
22=-b y a x )0,0(>>b a
焦点在y 轴:122
22=-b
x a y )0,0(>>b a
实轴长=a 2，虚轴长=2b ， 焦距：2c
恒等式：a 2+b 2=c 2
离心率：a
c e =
渐近线方程：当焦点在x 轴时，渐近线方程为x a b y ±
=；当焦点在y 轴时，渐近线方程为x b
a y ±= 等轴双曲线：当
b a =
时，双曲线称为等轴双曲线，可设为λ=-
2
2y x 。
94
、抛物线
①定义：到定点F 距离与到定直线l 的距离相等的点M 的轨迹是抛物线（如左下图MF=MH ）。
方程 )0(,22>=p px y 22,(0)y p x p =-> 22,(0)x p y p => 2
2,(0)
x p y p =-> 焦点： F )0,2(p F (,0)2p - F (0,)2
p F (0,)2p
-
准线方程：2
p
x -
=
2
p x =
2
p y =-
2
p y =
注意：几何特征：焦点到顶点的距离=
2
p
；焦点到准线的距离=p ；
95．导数的几何意义：)(0/x f 表示曲线)(x f 在0x x =处的切线的斜率k ； 导数的物理意义：)(0/x f 表示运动物体在时刻0x 处的瞬时速度。 96、几种常见函数的导数
(1) 0='C （C 为常数）. (2) )()'(1Q n nx x n n ∈=-. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1
)(ln =
'；a a a x x ln )(='. (6) x x e e =')(;. （7）21)1(x
x -=' 97、导数的运算法则
（1）'
'
'
()u v u v ±=±. （2）'
'
'
()uv u v uv =+. （3）''
'2
()(0)u u v uv v v v -=
≠. 98．函数的单调性与其导函数的正负的关系：
在某个区间（a , b ）内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；
如果0)('注：若函数)(x f y =在这个区间内单调递增，则0)('≥x f 若函数)(x f y =在这个区间内单调递减，则0)('≤x f 99、判别)(0x f 是极大（小）值的方法
(1)求导)(x f '；
（2）令)(x f '=0，解方程，求出所有实根0x
（3）列表，判断每一个根0x 左右两侧)('x f 的正负情况：
如果在0x 附近的左侧0)(>'x f ，右侧0)(<'x f ，则)(0x f 是极大值；
如果在0x 附近的左侧0)(<'x f ，右侧0)(>'x f ，则)(0x f 是极小值. 100、求函数在闭区间[a , b]上的最值的步骤： （1）求函数)(x f 的所有极值； （2）求闭区间端点函数值)(),(b f a f ；
（3）将各极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：（1）无论是极值还是最值，都是函数值，即)(0x f ，千万不能写成导数值)(0/x f 。 （2）若在某区间内只有一个极值，则不用与端点比较也知道这个极值就是函数的最值。
选修1-2
101、复数z a bi =+，其中a 叫做实部，b 叫做虚部
(1)复数的相等 ,a bi c di a c b d +=+?==.（,,,a b c d R ∈） (2)当a=0,b ≠0时,z=bi 为纯虚数; (3)当b=0时,z=a 为实数;
(4)复数z 的共轭复数是bi a z -=-
(5)复数z a bi =+的模||z
(6)i 2 =-1, （-i ）2
=-1.
(7) 复数z a bi =+对应复平面上的点(,)a b ， 102、复数的四则运算法则
(1)加：()()()()a bi c di a c b d i +++=+++;
(2)减：()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-;
(3)乘：()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++;类似多项式相乘 (4)除：
)
)(()
)((di c di c di c bi a di c bi a -+-+=++（分子、分母乘分母共轭复数，此法称为“分母实数化”） 103、常用不等式：
（1）重要不等式:若,a b R ∈，则?2
2
2a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （2）基本不等式:若0,0>>b a ，则ab b a 2≥+ (当且仅当a ＝b 时取“=”号)． 基本不等式的适用原则可口诀表示为：一正、二定、三相等
当ab 为定值时，b a +有最小值，简称“积定和最小” 当b a +为定值时，ab 有最大值，简称“和定积最大”
104、推理：
（1）合情推理：包含归纳推理（从特殊到一般）和类比推理（从特殊到特殊）
（2）演绎推理：从一般到特殊。三段论是演绎推理的一般模式，包括：大前提（已知的一般原理）、小前提（所研究的特殊情况）、结论（根据一般原理，对特殊情况得出的判断） 105、证明：
（1）直接证明：包括综合法（又叫由因导果法）和分析法（又叫执果索因法）
（2）间接证明：又叫反证法，通常假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立。
坐标系与参数方程
106、极坐标系：其中ρ=||OM
（1）如图，点M 的极坐标为),(θρ
（2）极坐标与直角坐标的互化公式：
①θρθρsin ,cos ==y x ; ②222y x +=ρ，x
y
=θtan 107、参数方程形如)(,)()
(为参数t t g y t f x ?
?
?==…………（*）
参数方程是借助参数t ，间接给出y x ,之间的关系,而普通方程是直接给出x 与y 的关系，如01=-+y x
（1）圆2
22r y x =+的参数方程是)(,sin cos 为参数θθθ???==r y r x
（2）椭圆122
22=+b y a x 的参数方程)0,(,sin cos >>?
??==b a b y a x 为参数θθθ
（3）参数方程与普通方程的互化：消去参数方程的参数，得到普通方程。
消去参数的方法有：①公式法：用公式1cos sin 2
2
=+θθ等
②代入法：方程（*）中，由)(t f x =解出)(x h t =，代入)(t g y = ③加减消元法：方程（*）中，两式相加（减）消去参数t
请同学们试着将圆的参数方程)(,sin cos 为参数θθθ
?
??+=+=r b y r a x ，化为圆的标准方程__________________，说说你用
的是什么方法？
提示：解参数方程问题，通常先将参数方程化为普通方程，再求解。
几何证明选讲
108．平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分国一腰
109．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例 推论：平行于三角形的一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例 110．判定两个三角形相似的方法：
预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形相似 判定定理1：两角对应相等，两三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似
引理：若一条直线截三角形两边（或延长线）所得的对应线段成比例，那么直线平行第三边 111．相似三角形的性质定理：
1）相似三角形对应高、中线、角平分线的比都等于相似比 2）相似三角形周长的比等于相似比
3）相似三角形面积的比等于相似比的平方 112．直角三角形的射影定理
极点
△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则
BD AD CD ?=2
（2）CD AB BC AC ?=?
AB AD AC ?=2；AB BD BC ?=2
113．圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角
114．圆的切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 推论1：经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 推论2：经过切点垂直于切线的直线必经过圆心
115．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角 如图：21∠=∠ 116．与圆有关的定理：
（1（2
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； （4）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
高中数学必修五知识点总结及例题学习资料
高中数学必修5知识点 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的半径， 则有 2sin sin sin a b c R A B C ===． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；（边化角） ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R =；（角化边） ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C ++=== ++． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc A ab C ac B ?AB ===． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc A =+-， 2222cos b a c ac B =+-， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边， 则：①若222 a b c +=，则90C =；（.C A B C ?? 为直角为直角三角形） ②若2 2 2 a b c +>，则90C <；（.C A B C ??为锐角不一定是锐角三角形） ③若2 2 2 a b c +<，则90C >．（.C A B C ?? 为钝角为钝角三角形） 注：在C ?AB 中，则有 （1）A B C π++=，sin 0,sin 0,sin 0A B C >>>（正弦值都大于0） （2）,,.a b c a c b b c a +>+>+>（两边之和大于第三边） （3）sin sin A B A B a b >?>?>（大角对大边，大边对大角） 7、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列．10n n a a +-> 8、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列．10n n a a +-< 9、常数列：各项相等的数列．11,.n n a a S na == 10、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 11、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 12、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．11()n n n n a a d a a d -+-=-= 13、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2 a c b += ，则
高中数学必修五知识点详细解答附答案
姓名____________ 20XX 年____月_____日 第___次课 正、余弦定理 一。知识回顾：在初中我们知道：（1）在三角形中，大边对大角、大角对大边的边角关系； （2）在直角三角形中，sinA= a c ,sinB= b c ?c=sin a A ,c=sin b B ? sin a A =sin b B ,又Q sinC=1?sin a A =sin b B =sin c C 二。学习提纲： <一>.正弦定理： （1）概念：在一个三角形中，各边与它所对应角的正弦比相等，即： sin a A =sin b B =sin c C （2）证明： j r C ①几何证明法：（略，同学们自己证明） ②向量证明： 证明：（如图）当?ABC 为锐角三角形时， A B 过A 作单位向量j r ⊥AB u u u r ,则j r 与AB u u u r 的夹角为2π，j r 与BC uuu r 的夹角为2π-B ，j r 与CA u u u r 的夹角为2π +A ； 设AB=a,BC=c,AC=b. Q AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r =0r ,∴j r g (AB u u u r +BC uuu r +CA u u u r )=j r g 0r ∴j r g AB u u u r +j r g BC uuu r +j r g CA u u u r =0 ∴|j r |g |AB u u u r |g cos 2π+|j r |g |BC uuu r |g cos(2π-B )+|j r |g |CA u u u r |g cos 2 π +A )=0 ∴asinB=bsinA,即：sin a A =sin b B 同理可得：sin b B =sin c C ，故：sin a A =sin b B =sin c C 当?ABC 为钝角三角形或直角三角形时，同样可证明得到：sin a A =sin b B =sin c C （3）正弦定理的变形： ①asinB=bsinA; csinB=bsinC; asinC=csinA; ②a ：b:c=sinA:sinB:sinC ③ sin a A =sin b B =sin c C =2R （R 为?ABC 外接圆的半径） ?a=2RsinA; b=2RsinB; c=2RsinC ? sinA=2a R sinB=2b R sinC=2c R （二）余弦定理： （1）概念：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与他们的夹角的余弦的积的两倍，即： 2 a =2 b +2 c -2bccosA; 2 b =2 a +2 c -2accosB; 2 c =2 a +2 b -2abcosC 变形：2 sin A=2 sin B+2 sin C-2sinBsinCcosA 2 sin B=2 sin A+2 sin C-2sinAsinCcosB 2 sin C=2 sin A+2 sin B-2sinAsinBcosC 求角：cosA=2222bc b c a +- , cosB=2222c a c b a +-, cosC=222b 2a c ab +- 变形:cosA=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +-,cosB=222sin sin sin 2sin sin A C B A C +-,cosC=222sin sin sin 2sin sin A B C A B +- (2)勾股定理：2 c =2a +2b 推广：A 为锐角→222a b c <+；A 为直角→222a b c =+；A 为钝角→222 a b c >+ （3）三角形的面积公式： ①ABC S ?=12ah ②ABC S ?=12absinC=12bcsinA=1 2 acsinB ③ABC S ?(p=12(a+b+c) ④ABC S ?=4abc R (4)对于任意的三角形，都有：sinA>0
高一数学必修1知识点总结
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2．集合的表示方法：列举法与描述法。
注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合 2．无限集含有无限个元素的集合 3．空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
人教版高中数学必修一至必修五知识点总结大全
高中数学必修一常用公式及结论归纳总结 1、集合的含义与表示 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。它具有三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。 描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如},5|{N x x x ∈<且 2、常用数集及其表示方法 （1）自然数集N （又称非负整数集）：0、1、2、3、…… （2）正整数集N * 或N + ：1、2、3、…… （3）整数集Z ：-2、-1、0、1、…… （4）有理数集Q ：包含分数、整数、有限小数等 （5）实数集R ：全体实数的集合 （6）空集Ф：不含任何元素的集合 3、元素与集合的关系：属于∈，不属于? 例如：a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A 4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等 （1）子集的概念 如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集(如图1)，记作 B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ， 记作Q P ? （2）真子集的概念 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A (如图2). A ≠?B 或B ≠?A . （3）集合相等：若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. 5、重要结论（1）传递性：若B A ? ，C B ?，则C A ? （2 ）空Ф集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 6、含有n 个元素的集合,它的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个(即不计空集)；非空的真子集有2n –2个. 7、集合的运算：交集、并集、补集 （1）一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集． 记作A ∩B （读作＂A 交B ＂），即A ∩B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝． （2）一般地，对于给定的两个集合A,B 记作A ∪B （读作＂A 并B ＂），即A ∪B=｛x|x ∈A ，或x ∈B ｝． 图1) 或 (图2)
高中数学必修五 知识点总结【经典】
《必修五 知识点总结》 第一章：解三角形知识要点 一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为C ?AB 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A = ，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB = A == B ． 4、余弦定理：在 C ?AB 中，有2 2 2 2cos a b c bc =+-A ，推论：bc a c b A 2cos 2 22-+= B ac c a b cos 2222-+=，推论： C ab b a c cos 22 2 2 -+=，推论：ab c b a C 2cos 2 22-+= 二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1、三角形中的边角关系 （1）三角形内角和等于180°； （2）三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； ac b c a B 2cos 2 22-+=
（3）三角形中大边对大角，小边对小角； （4）正弦定理中,a =2R ·sin A , b =2R ·sin B , c =2R ·sin C ，其中R 是△ABC 外接圆半径. （5）在余弦定理中:2bc cos A =222a c b -+. （6）三角形的面积公式有:S = 21ah , S =21ab sin C=21bc sin A=2 1 ac sinB , S =))(()(c P b P a P P --?-其中，h 是BC 边上高，P 是半周长. 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1）已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦定理. （2）已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦定理. （3）已知三边，求三个角，常选用余弦定理. （4）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦定理. （5）已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦定理. 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：①化边为角；②化角为边. 4、三角形中的三角变换 （1）角的变换 因为在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。 2 sin 2cos ,2cos 2sin C B A C B A =+=+； （2）三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3）在△ABC 中，熟记并会证明：∠A ，∠B ，∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC 是正三角形的充分必要条件是∠A ，∠B ，∠C 成等差数列且a ，b ，c 成等比数列.
高二语文必修五知识点总结
精心整理 高二语文必修五知识点总结 【一】 一、文言实词 (2)众人匹之 古义：一般人今义：多数人，大家 (3)虽然，犹有未树也。
古义：虽然这样今义：转折连词 (4)穷发之北 古义：毛，草木今义：头发 (5)小年不及大年 生物之以息相吹也(名词，气息) 4.词类活用 (1)名词用作动词。而后乃今将图南(往南飞)/奚以之九万里而南为(往南飞) (2)使动用法。德合一君(使……满意)/彼于致福者(使……到
来)/而徵一国者(使……信任)二、文言虚词 1.之 (1)助词，的。鹏之背，不知其几千里也/其翼若垂天之云(助词，的) 悲乎 /而彭祖乃今以久特闻 (3)连词，表并列。若夫乘天地之正，而御六气之辩 (4)连词，表承接。而控于地而已矣 3.则
(1)连词，就。海运则将徙于南冥 (2)连词，或者。时则不至 (3)连词，那么。则其负大舟也无力 4.然 (2)副词，还。彼且恶乎待哉 (3)副词，将要。且适南冥也 7.于 (1)介词，对于。彼其于世/彼其于世
(2)介词，在。覆杯水于坳堂之上 8.其 (1)用在选择问句中，或许……或说得过去，是……还是……其正色邪?其远而无所至极邪 ) ) ) 朝来暮去颜色故。(古义：容貌。今义：色彩。) 又闻此语重唧唧。(古义：叹息声。今义：一般指虫鸣。) 凄凄不似向前声。(古义：刚才。今义：朝着前面。) 河内凶，则移其民于河东。(古：黄河。今义：泛指河流。)
(古：谷物收成不好。今义：凶恶，厉害。) 弃甲曳兵而走。(古：逃跑。今义：行，走路。) 是使民养生丧死无憾也。(古：供养活着的人。今义：保养身体。) 五十者可以衣帛矣。(古：可以凭借。今义：表示同意、认可。) ) ) ) ) ) 赢粮而景从。(古：背负，担负。今义：获得，获胜。) 山东豪俊遂并起而亡秦族矣。(古：崤山以东。今义：山东省。) 古之学者必有师。(古：求学的人。今义：有专门学问的人。) 吾从而师之。(古：跟随并且。今义：表因果的连词。)
新人教版高中数学必修5知识点总结(详细)
高中数学必修5知识点总结 第一章 解三角形 1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)； 2、三角形三边关系：a+b>c; a-b，则90C <；③若 222a b c +<，则90C >． 注：正余弦定理的综合应用：如图所示：隔河看两目标
高中数学必修1知识点
高中数学必修1知识点 1、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性。 2、元素与集合的关系：∈、? 3、数集的符号：自然数集N ；正整数集* N 或N +；整数集Z ；有理数 集Q ；实数集R . 4、集合与集合的关系：?、≠?、= 5、若集合中有n 个元素，则它的子集个数为2n ；真子集个数为21n -；非空子集个数为21n -；非空真子集个数为22n -. 6、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 7、子集的性质： （1）A ?A （即任何一个集合是它本身的子集）； （2）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ； （3）若A ≠?B ，B ≠?C ，则A ≠?C. 8、集合的基本运算 （1）并集：}{x x x A B =∈A ∈B 或 （2）交集：}{x x x A B =∈A ∈B 且 （3）补集：}{U x x U x A =∈?A 且e （4）性质：①A A =A ，A ?=A ；②A A =A ，A ?=?； ③()U A A =?e，()U U A A =e，() U U A =A 痧， ()()()U U U A B =A B 痧?，()()()U U U A B =A B 痧?. 9、函数的三要素：定义域、值域和对应法则. 10、（一）求函数定义域的原则： （1）若 ()f x 为整式，则其定义域是R ； （2）若 ()f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合； （3）若()f x 是二次根式（偶次根式），则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； （4）若()0f x x =，则其定义域是 }{0x x ≠； （5）若()()0,1x f x a a a =>≠，则其定义域是R ；
高中数学必修五数列知识点
一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=
高中数学必修一至必修五知识点总结
必修1 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 二、集合间的基本关系 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且B?A那就说集合A是集合B的真子集，记作A?B(或B?A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．(即找公 共部分)记作A∩B(读作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}． 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集。（即A和B中所有的元素）记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}． 4、全集与补集 （1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）（即除去A剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念
定义域补充 能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零(6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4．了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示． 7．函数单调性 （1）．增函数 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a，b，当a高中数学必修5知识点总结归纳(人教版最全)
高中数学必修五知识点汇总 第一章 解三角形 一、知识点总结 正弦定理: 1．正弦定理:2sin sin sin a b c R A B C === (R 为三角形外接圆的半径). 步骤1. 证明：在锐角△ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c 。作CH ⊥AB 垂足为点H CH=a ·sinB CH=b ·sinA ∴a ·sinB=b ·sinA 得到b b a a s i n s i n = 同理，在△ABC 中， b b c c sin sin = 步骤2. 证明：2sin sin sin a b c R A B C === 如图，任意三角形ABC,作ABC 的外接圆O. 作直径BD 交⊙O 于D. 连接DA. 因为直径所对的圆周角是直角,所以∠DAB=90° 因为同弧所对的圆周角相等,所以∠D 等于∠C. 所以C R c D sin 2sin == 故2sin sin sin a b c R A B C === 2.正弦定理的一些变式： ()sin sin sin i a b c A B C ::=::；()sin ,sin ,sin 22a b ii A B C R R ==2c R =； ()2sin ,2sin ,2sin iii a R A b R B b R C ===； （4）R C B A c b a 2sin sin sin =++++ 3．两类正弦定理解三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. （2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解） 4.在ABC ?中，已知a,b 及A 时，解得情况： 解法一：利用正弦定理计算 解法二：分析三角形解的情况，可用余弦定理做，已知a,b 和角A ，则由余弦定理得 即可得出关于c 的方程：0cos 2222=-+-a b Ac b c 分析该方程的解的情况即三角形解的情况 ①△=0,则三角形有一解 ②△>0则三角形有两解 ③△<0则三角形无解 余弦定理:
高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享
高一数学必修一知识点必考难点总结5篇分享高一是高中学习生涯中打好基础的一年，而高中数学也是比较难的一门学科。那么，如何学好高一数学呢?下面就是我给大家带来的高一数学必修一知识点，希望对大家有所帮助！ 高一数学必修一知识点1 集合有以下性质 若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B 集合的表示方法 集合常用大写拉丁字母来表示，如：A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉丁字母来表示，如：a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如：A={…}的形式。等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性质的数学元素。 常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如：小于π的正实数组成的集合表示为：{x|0 4.自然语言常用数集的符号：(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N_(2)非负整数集内排除0
的集，也称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数集合计作C集合的运算：集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪C)=card(A)+c ard(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)～(BUC)=~B∩~C～(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q 高一数学必修一知识点2 对数函数 对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里
数学必修五第三章不等式知识点总结
数学必修五 第三章 不等式 一、知识点总结： 1、 比较实数大小的依据：①作差：0a b a b ->?>；0a b a b -=?=；0a b a b ->>?>时,1a a b b =?=,1a a b b ?<时，,1a a b b =?=,1a a b b 2、 不等式的性质 3、一元二次不等式的解法步骤：①将不等式变形，使一端为0且二次项的系数大于0；②计算相应的判别式；③当0?≥时，求出相应的一元二次方程的根；④根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集。（大于0取两边，小于0取中间）.含参数的不等式如20(0)ax bx c a ++>≠解题时需根据参数的取值范围依次进行分类讨论：①二次项系数的正负；②方程20(0)ax bx c a ++=≠中?与0的关系；③方程20(0)ax bx c a ++=≠两根的大小。 4、一元二次方程根的分布：一般借助二次函数的图象加以分析，准确找到限制根的分布的等价条件，常常用以下几个关键点去限制：（1）判别式；（2）对称轴；（3）根所在区间端点函数值的符号。设12,x x 是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两个实根，则12,x x 的分布情况列表如下：（画出函数图象并在理解的基础上记忆）
5、一元高次不等式()0f x >常用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤如下：①将()f x 最高次项的系数化为正数；②将()f x 分解为若干一次因式或二次不可分解因式的积；③将每一个根标在数轴上，从右上方向下依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶重根穿而不过，奇重根既穿 又过）；④根据曲线显现出的符号变化规律，写出不等式的解集。 6、简单的线性规划问题的几个概念：①线性约束条件：由关于,x y 的二元一次不等式组成的不等式组是对,x y 的线性约束条件；②目标函数：要求最值的关于,x y 的解析式，如：22z x y =+，
人教版高中数学必修五知识点总结
必修5 第一章 解三角形 一、正弦定理 1.定理 2.sin sin sin a b c R A B C === 其中a ，b ，c 为一个三角形的三边，A ，B ，C 为其对角，R 为外接圆半径. 变式：a =2R sin A ，b =2R sin B ，c =2R sin C 二、余弦定理 1.定理 a 2= b 2+ c 2-2bc cos A 、b 2=a 2+c 2-2ac cos B 、c 2=a 2+b 2-2ab cos C 变形：222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222 cos 2a b c C ab +-= 2.可解决的问题 ①已知三边，解三角形； ②已知两边及其夹角，解三角形； ③已知两边及一边的对角，求第三边.
三、三角形面积公式 （1）111 222 a b c S ah bh ch ?===. 其中h a ，h b ，h c 为a ，b ，c 三边对应的高. （3）如果一个数列已给出前几项，并给出后面任一项与前面的项之间关系式，这种给出数列的方法叫做递推法，其中的关系式称为递推公式. （4）一个重要公式：对任何数列，总有 111, (2). n n n a S a S S n -??? ??==-≥ 注：数列是特殊的函数，要注意数列与函数问题之间的相互转化. 二、等差数列 （1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做数列的公差. （2）递推公式：a n +1=a n ＋d . （3）通项公式：a n =a 1+(n -1)d . （4）求和公式：11()(1).22 n n n a a n n S na d +-==+ （5）性质：
北师高中数学必修五知识点归纳(纯)
必修5知识点 第一章 解三角形 1、正弦定理：在C ?AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ?AB 的外接圆的 半径，则有 2sin sin sin a b c R C ===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R =； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C ++===A +B +A B ． 3、三角形面积公式：111 sin sin sin 222 C S bc ab C ac ?AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-． 5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos 2a b c C ab +-=． 6、设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C = ； ②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ． —1—
第二章 数列 7、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 8、数列的项：数列中的每一个数． 9、有穷数列：项数有限的数列． 10、无穷数列：项数无限的数列． 11、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 12、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 13、常数列：各项相等的数列． 14、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 15、数列的通项公式：表示数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 16、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 17、如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差． 18、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的等差 中项．若2 a c b +=，则称b 为a 与 c 的等差中项． 19、若等差数列 {}n a 的首项是1 a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-． 20、通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②()11n a a n d =--；③1 1 n a a d n -=-； ④1 1n a a n d -=+；⑤n m a a d n m -=-． 21、若{}n a 是等差数列，且m n p q +=+（m 、n 、p 、*q ∈N ），则m n p q a a a a +=+；若{} n a 是等差数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2n p q a a a =+． —2—
高中数学必修1知识点、考点、题型汇总
集合与函数知识点讲解 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如：集合，，，、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 {} {}如：集合，A x x x B x ax =--===||2 2301 若，则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质： {} （）集合，，……，的所有子集的个数是；1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于的不等式 的解集为，若且，求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()（∵，∴ ·∵，∴ ·，，）335 30555 501539252 2 ∈--->=+-0 义域是_____________。
高一数学必修五数列知识点
高一数学必修五数列知识点 1.数列的函数理解： ①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N*或其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的 观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法;b。图像法;c.解 析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。 ③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。 2.通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用 一个公式an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式(注：通项公式不唯一)。 数列通项公式的特点： (1)有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有通项公式(如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，...)。 3.递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。 数列递推公式特点： (1)有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 (2)有些数列没有递推公式。 有递推公式不一定有通项公式。 注：数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。 1、ABC的三边a，b，c既成等比数列又成等差数列，则三角 形的形状是()
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 2、在等比数列{an}中，a6a5a7a548，则S10等于() A.1023 B.1024 C.511 D.512 3、三个数成等比数列，其积为1728，其和为38，则此三数为() A.3，12，48 B.4，16，27 C.8，12，18 D.4，12，36 4、一个三角形的三内角既成等差数列，又成等比数列，则三内角的公差等于() A.0 B.15 C.30 D.60 5、等差数列{an}中，a1，a2，a4恰好成等比数列，则a1的值是()a4 A.1 B.2 C.3 D.4 6、某种电讯产品自投放市场以来，经过三年降价，单价由原来的174元降到58元，这种电讯产品平均每次降价的百分率大约是() A.29% B.30% C.31% D.32% 7、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则∣x∣-∣y∣的最小值是。 (1)记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师在课堂中拓展的课外知识。记录下来本章你觉得最有价值的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。 (2)建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西;能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药;解答问题完整、推理严密。 (3)熟记一些数学规律和数学小结论，使自己平时的运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
