南理工数学系概率论课后习题答案概率论讲课提纲(理科)

二、古典概型讲课提纲

1）基本的概率定义，例子。排列组合公式。 加法原理，乘法原理。例子，练习。

2）古典概型的几种常见类型①②③④⑤； 古典概型中概率的性质①②③； 概率与频率的关系

3）几何概率的定义，例子。Buffon 问题，几何概率的性质①～③。

第三次 讲课提纲

（一）几何概率的定义，例子，性质1，2，3，4

)

()

()(S A A P μμ=

，Buffon 问题，可列可加性。 （二）概率的数学定义，先介绍δ-域

),(F Ω，F 为由Ω的一些子集所组成的δ事件域，称为可测空间，可测空间的性质①～④。 概率的数学定义，①②③ 概率的性质①②，推论①② ③概率的连续性推论

定理1，可列可加?有限可加+连续性

性质4 多除少补原理 练习

（三）条件概率，条件概率空间 乘法公式，练习 （多除少补原理），设),2,1( =∈i F A i ，则

n n n i i S S S S S A P 1

43211)1(+=-++-+-=???

? ?? （*）

第四次课 提纲

（一）多除少补原理 例1，例2

（二）条件概率的引入，定义，练习例1，例2，乘法公式的由来，练习例1，例2 （三）全概率公式，样本空间划分

例1，例2

贝叶斯公式，上面两公式的作用 例1，例2

第五次课提纲

一、全概率公式，证明及例子1，2 贝叶斯公式，证明及例子1，2

二、独立事件，独立试验概型。

1）二个事件的独立性，意义，定义，性质。

三个及三个以上事件的两两独立与相互独立的不同及关系。练习例1，例2 2）独立试验序列

重点在n 重贝努力概型。

对n 重贝努力概型，事件A 在n 次试验中出现k 次的概率为k n k

k n n p p C k p --?=)1()(，

)0(n k ≤≤。

练习，例1，例2 巴拿赫问题

下面说明韦布分布的物理模型。

考虑由n 个同类型的环构成的链，两端受大小相等，方向相反的力x 作用。

以ξ表示单个环不被拉断所能承受的力，则ξ是一个v r ,。不失效的概率为)(x P ≥ξ，可设

)()(x g e x P -=≥ξ。

另若环的最低承受力为v （常数），则拉力x 小于r 时，环不断；故??

?>≥≤=v

x v

x x g 当当,0,0)(，另

当x 愈大时，拉断的概率愈大，不拉断的概率愈小，故)(x g 愈大。可设

?????≤>-=v x v x x v x x g m

当当;

0;)()(0

，于是得)

()(x g e x P -=≥ξ。 ??

???≤>--

-=-=≥-=<=-v x v x x v x e e x P x P x F m

x g ;0 ;)(11)(1)()(0)

(ξξ， 则 ??

???≤>-==--

-v x v

x e v x x m x F x f x v x m m

;0;)()(')(0)(10。

设r η为第r 个跳跃发生的时刻。则{

}t r <η发生表明第r 个跳跃出现在时刻t 之前；因此事件{}r t ≥)(ξ也发生，故{}{}r t t r ≥?<)(ξη；反之，当{}r t ≥)(ξ发表即在时刻t 时；)(t ξ值不少于

r ，即第r 个呼叫已来过。因此事件{

}t r <η也发生了。故{}{}t r t r

{}{}∑∑

∞

=-=---==≥=<=r k r k t

k t k r k e t k e t r t P t P t F 1

!)(1!)()()(λλλλξη 因此，??

?

????+--='=∑∑-=-=---10101!)(!)()()()(r k r k t k t k k e t k k e t t F t f λλλλλλ ∑∑-=-=-----=--?-=1

01

1

11)!1()()!1()(!)(r k r k t k k t

k e r t k t e k t t e λλλλλλλλλ

t r e t r P r

λλ--=

1)

( )0(>t

故)1

,1(~λ

η-r P r ；

1.解 设ξ为甲投蓝攻击；η为乙投篮攻击。

则 P P P ====)2( ;4.0)1(ξξ（第一次甲未中，第二次乙未中，第三次投甲投中）+P （第一次甲未中，第二次乙未中，第三次甲未中，第四次乙中）=6.0,6.0,4.0,6.04.0,)4.0(,)6.0(''+''

P P ==)3(ξ（第一次甲未中，第二次乙未中，第三次甲未中，第四次乙未中，第五中，甲投

中）=6.0)6.01()4.01(4.0)6.01()4.01(2222?-+-+?-?-P +（第一次甲未中，第二次乙未中，第三次甲未中，第四次乙未中，第五次甲未中，第六次乙未中）

6.06.0)6.01()4.01(4.0)6.01()4.01()(1

111?--+-?-==----k k k k k P ξ

11116.04.04.06.04.0+---?+??=k k k k

（以甲击中结束）+（以乙投中结束）

7.解 设η为此动物后代的个数，则 ),1(),(+==k k ξξ

∑∞

======k r r k P r P k P )/()()(ξηξη

∑

∞

=---???=k

r k r k k r k

p p C e r )1(!

λλ

p k e k p λλ-=!

)(； ),2,1,0( =k

第二章复习小结

1.牢固掌握随机变量，离散型v r ,，连续型v r ,及分布律分布函数及概率密度的概念及关系，会根据具体问题熟练计算出对应的随机变量的分布律或分布函数及概率密度。

2.熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布（一维）正态分布（一维）会查正态分布表。 指数（布的密度及分布函数）。

3.熟练掌握二维v r ,及联合分布律，分布函数，联合密度的概率及性质，二元均匀分布，二元正态分布的定义及性质。由联合分布律，分布函数，联合密度求出边沿分布律，分布函数，边沿密度。

4.熟练掌握随机变量的独立性（二维及更多维）的定义及性质，条件分布律及条件密度的定义及性。

5.熟练掌握随机变量的函数及其分布函数。 当)(),(~,ξηξg x f v r =时，求?)(~=y f ηη

若)(x g y =有唯一反函数且可导，则))(())(()())(()(1

1'?='?=--y g y g f y x y x f y f ξξη

当),(~),(2121x x f ξξ时，合求21ξξη+=，21

ξξη=，),min(),,max(

212211ξξηξξη==的密

度。

当),(~),(2121x x f ξξ时，合求),(2111ξξηg =，),(2122ξξηg =的联合密度，若唯反函数

???==)

,(),(21222111y y x x y y x x ，()J y y x y y x f y y f ?=)(),,(),(2,12211),(21),(2121ξξηη，2

21

2

2

11

1

y x y x y x y x J ????????=。

第三章 随机变量的数字特征（讲课提纲）

1. ,,r v ξ的期望及方差的概念的引入。由ξ取有限个值的离散型的情形开始，后推广到ξ取值为可列无穷多值的情形，再推广到ξ为连续型的情形。

2. 在引入,,r v ξ的期望，方差概念的同时，计算2(,),(),(,),(,)b n p U a b N M πλδ的分布的期望与方差。

3. ,,r v ξ的函数()g ηξ=的期望，求法。

4.期望方差的性质及例题。