关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

南方经济２００６年第５期

关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

唐跃志＋

内容摘要这是一篇关于效用函数是否存在，及阿罗不可能定理是否成立的研究性论文。文章讨论了”阿罗不可能定理”的逻辑问题。并且指出，如果将效用函数放在非欧空间里考察。则”投票悖论”可以解决。文章给出了效用函数在空间里的一个猜想模型，并证明了这种可能性。以及如何利用模型，求”Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”的契约曲线及无差异函数。

关键词效用函数非欧空间阿罗不可能定理契约曲线无差异函数猜想模型

ＪＥＬｆｆｆ类：Ｄ１１中图分类号：Ｆ０１６文献标识码：Ａ文章编号：１０００－６２４９（２００６）０５－０００５－０２３

一引言

１９５１年，阿罗Ａｒｒｏｗ，Ｋ．Ｊ）发表并证明了著名的“不可能性定理”。阿罗用公理化方法和５个著名的公理证明了，经济学上的效用函数（ｕｔｉｌｉｔｙｆｕｎｃｔｉｏｎ）是不存在的。这个定理给从那以后的经济学，带来了极大的困难。ｑ许多人试图否定阿罗的结论，但都没有成功。‘爷我们总结了前人的经验，并注意到阿罗证明成立的关键．是以下两个原因：

１．公理化方法有如下逻辑：如果“猜想”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。

２．“投票悖论”的问题。因为，“投票悖论”是由效用函数导出的，而“投票悖论”又与阿罗公理相矛盾。所以，效用函数在阿罗公理条件下不存在。④

＋唐跃志：华中科技大学经济学院武汉４３００７４电子信箱：ｔａｎｇｙｚ＿ｈｕｓｔ＠ｔｏｍ．ｃｏｒｎ。

本文是第５届中国经济学年会（厦门）会议论文。龚强博士、杨其静博士、刘纪显教授、张亚维教授为论文提出了诸多宝贵意见；他们中肯的批评，为文章增色不少。作者在此表示感谢。当然，文章中的错误，由本人负责。

①甚至产生了对市场机制的歪曲。比如认为，既然市场解决不了市场的问题，所以应该由政府“独裁”，由政府在市场之上搞宏观调控。再如在政治上搞“两党制”。

②Ｄｅｂｒｅｕ（１９５４，１９６４）等人证明了：定义在商品空间ＲＩ的非负卦限Ｒ，上的偏好关系乏，如果满足完全性、自反性、传递性、连续性和强单调性，则存在表达这个偏好关系的效用函数ｕ：ＲＩ—Ｒｌ＋。Ｄｅｂ他ｕ；ｔＡｎｇ因此获得诺贝尔经济学奖。但是传递性会导致“投票悖论”；所以，我们认为：Ｄｅｂ坤ｕ等人的结论，还不能从根本上否定“Ａｒｒｏｗ不可能定理”。

③由于阿罗公理与“投票悖论”存在矛盾。许多人选择重新构造公理来论证效用函数的存在性。如Ｓｅｎ（１９７７，１９７９，１９８６，１９９２，１９９６），Ｇｉｂｂａｒｄ（１９７３）、Ｓａｔｔｅｒｔｈｗａｉｔｅ（１９７５）等人从“弱化”Ａ．ｒｇｏｗ“完全理性”假设的角度，来建立社会选择机制。他们的“弱化”方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；或者是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的，将“完全理性”改成“相对理性”。但是这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生新的。不可能性”问题。

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公理化方法

图１“Ａｒｒｏｗ不可能定理”的内在逻辑关系

由此可见，在阿罗的证明中，“投票悖论”是一个非常重要的因素。但“投票悖论”是怎样产生出来的呢？它源自阿罗假设中的“传递性公理”，它的标准假设是“Ａ优于Ｂ，Ｂ优于Ｃ，那么一定Ａ优于Ｃ”。因此，“传递性”。是“不可能定理”不可或缺的因素；如果证明在“传递性假设”上出了问题，那么“不可能定理”就不会再成立。

经过分析，我们发现，“传递性公理”，其实与一条欧氏定理“Ａ＞Ｂ，Ｂ＞Ｃ，那么一定Ａ＞Ｃ”等价；或者在某种意义上说，阿罗公理其实就是一个欧氏公理；阿罗证明实质上要求，效用的公理必须是欧几里德形的，阿罗证明也只在欧氏条件下才会成立。

但问题是，现实的效用体系是否就一定是欧氏几何形？或者说，选择的公理是否就是要求，“如果Ａ优于Ｂ，Ｂ优于Ｃ，就一定有Ａ优于Ｃ”？如果换成非欧几何，“阿罗定理”在非欧条件“Ａ＞Ｂ，Ｂ＞Ｃ，不一定Ａ＞Ｃ”下还会成立吗？

基于非欧几何的知识，我们知道，答案是否定的。“不可能定理”在欧氏条件下成立，但在非欧条件却可能不成立。而且，现实的空间几何，非欧几何也要比欧氏几何合理。

因此，联系到公理化方法的逻辑，我们有一个基本猜测：现实的效用的分析几何，也许应该是非欧几何，而不应是欧几里德几何。在此问题上，阿罗可能把问题的因果关系弄颠倒了，“不可能性定理”并不是经济学的“有效”定理。而且我们还发现，“投票悖论”可以在非欧条件下得到印证。

本文的第一部分，是公理化方法的数学准备；第二部分，是阿罗证明的逻辑讨论；第三部分，是我们对效用空间的一个几何猜想；第四部分，从等效角度证明效用的空间是非欧的；第五部分，用变分法证明效用的传递是封闭的，以及我们对“独裁”的解释；第六、七部分，是本文研究的一个延伸，即如何求“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”上的契约曲线及无差异函数。

公理化方法与几何公理

（一）公理化方法

所谓的公理化方法，也叫演绎推理方法。它是从一些初始概念（不定义的概念）和一些初始命题（不证明的命题、公理）出发，按一定的逻辑规则，定义出所需要的概念，推导出所需的命题（定理）来。这里的“推导”，是一种严格的证明，其依据，只能是初始命题或已由它们证明了的命题，除了逻辑规定外，不得依赖其他任何东西。它是数学上构建严格数理体系的基本方法。该方法的逻辑特点是：如果“猜想命题”不与公理相悖，那么该“猜想”就有可能是对的；反之，如果“猜想”与公理相悖，那么该“猜想”就一定是错误的。因此，“猜想”的正确与否，与公理的构成有很大关系。同一“猜想”，在不同的公理条件下，结论会有很大不同。

数学上最基础的公理，是数的公理与形的公理。数的公理，有Ｐｅａｎｏ数公理、代数公理；形的公理，则有欧氏几何和非欧几何（罗巴切夫斯基几何，黎曼几何）。任何公理，按笛卡尔（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ）的思想，都可化为一６一

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数的公理和形的公理。①联系数、形公理的桥梁，是坐标空间、相函数。由坐标、相函数支撑起来的“相空间”，包含了该公理应具有的一切性质。比如，欧氏几何的“相空间”是“平直的”；非欧几何的“相空间”是“弯曲的”。阿罗公理作为一个代数公理，应与形的公理同态同构。

（－－）几何公理的构成⑦

按希尔伯特（Ｄ．Ｈｉｌｂｅｒｔ）的划分，几何公理的组成如下：

表１几何公理结构

欧氏几何和罗氏几何的区别，是第Ⅳ公设；而黎氏几何与欧氏、罗氏几何的区别，除了第Ⅳ公设外，还得加上一个在关联基础上的分隔公理。

关于第Ⅳ公设，是众所周知的：

欧氏第Ⅳ公设：又称平行公理。过直线Ｌ外一点Ａ，至多可作一条直线与Ｌ不相交。它的等价描述是，△内角和等于订。

罗氏第Ⅳ公设：过直线Ｌ外一点Ａ，至少有两条直线与Ｌ共面而不相交。它是欧氏平行公理的矛盾命题。它的等价描述是，△内角和小于订。

黎氏第１Ｖ公设：过直线Ｌ外一点Ａ的所有直线，都与Ｌ相交。它的等价描述是，△内角和大于１Ｔ。

对于其它公理，了解它们是必要的。

关联公理：④也叫结合（从属）公理。过Ａ，Ｂ两点，有且至多有一直线Ｌ；直线上至少有二点，又至少有三点不在同一直线上；过不在同一直线上的三点Ａ，Ｂ，Ｃ，必有且至多有一平面ｓ；每一平面上至少有三点；如果直线的两点在平面Ｓ上，则该直线的每一点都在Ｓ上。

顺序公理：也称次序公理。若Ｃ在Ａ，Ｂ之间，则Ａ，Ｂ，Ｃ三点共线，且Ｃ在Ｂ，Ａ之间；对于Ａ，Ｂ两点，至少存在点Ｃ，使Ｃ在Ａ，Ｂ之间；在共线三点中，至多有一点在其余两点之间。

欧氏／罗氏顺序公理黎氏分隔公理

图２顺序公理与分隔公理

①Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ的思想，现在被归纳为关系映射反演原则。其思想推动了坐标解析几何的产生与发展。

②本节的五组公理，其内容与Ｄ．Ｈｉｂｅｒｔ原文表示略有不同，但所表达的事实基本一致。本文侧重于其点、线、面的公理表达。

③公理中的“点”应分别理解成“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”为“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”亦为“欧氏面，罗氏面，黎氏面”。并且规定，如果把球面作“黎氏平面”典型面，球面上大圆作“黎氏直线”，“点”在大圆上，且球面上的对径点是一个点，则关联公理就是黎氏关联公理。所以黎氏意义下的直线是封闭的。

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分隔公理：喏Ａ，Ｂ，Ｃ为直线上任意三点，存在Ｄ，Ａ，Ｂ点分隔Ｃ，Ｄ；若Ａ，Ｂ分隔Ｃ，Ｄ，则Ｂ，Ａ分隔Ｃ，Ｄ，Ｃ，Ｄ分隔Ａ’Ｂ；共线四点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，则Ａ，Ｂ分隔Ｃ，Ｄ，Ａ，Ｃ分隔Ｂ，Ｄ，Ａ，Ｄ分隔Ｂ，Ｃ，三种关系恰有一种关系成立。

合同公理：也叫全合（全等）公理。若Ａ，Ｂ为Ｌ上的点，Ａ’是Ｌ７上的点，则在Ｌ’上Ａ’的一侧，恰有点Ｂ’，使得ＡＢ＝Ａ～Ｂ；若ＡＢ＝Ａ’Ｂ’，Ａ”Ｂ”＝Ａ～Ｂ，则ＡＢ＝Ａ”Ｂ”；若Ｂ在Ａ，Ｃ之间，Ｂ’在Ａ’，Ｃ７之间，并且有ＡＢ＝Ａ～Ｂ，ＢＣ＝Ｂ’Ｃ’，则ＡＣ＝Ａ’Ｃ’。

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图３运动合同过程Ｋ一一－Ｋ

运动合同公理：也叫等效公理。对两个几何体Ｋ、Ｋ’，通过运动变换Ｆ，可以由Ｋ’得到Ｋ，并且保持Ｋ、Ｋ’共有的特征性质不变。

由合同或者运动合同公理，可导出：①自反性：ＡＢ＝ＢＡ；②对称性：若ＡＢ＝Ａ～Ｂ，则Ａ～Ｂ＝ＡＢ；③传递

性：若ＡＢ＝Ａ～Ｂ，Ａ～Ｂ＝Ａ”Ｂ，，，则ＡＢ＝Ａ”Ｂ”。同样，由顺序，分隔公理，可定义出：④反对称：ＡＢ＝一ＢＡ；⑤非对称：ＡＢ＃ＢＡ。

以上公理的逻辑关系是：没有关联公理、顺序／Ｓｔ隔公理，就没有合同公理，也就不存在自反性、对称性及传递性；自反性、对称性，以非自反、反月Ｅ对称的存在为前提。决定非自反、反月乍对称的因素，是关联公理和顺序／Ｓｔ隔公理。在同一构造空间里，满足非自反性、反月Ｅ对称性、传递性的几何关系，通常称为序关系。⑦三种不同的公理，构造了三种不同的序。三种序关系，分别代表三种不同的几何。开放的序，代表欧氏或者罗氏几何；＠封闭的序，则代表黎氏几何。叼≮同的几何，将导致不同的几何定理。

比如，在欧氏、罗氏几何条件下，由顺序公理有反对称ＡＢ＝一ＢＡ，于是，如果Ｃ＞Ｂ，Ａ＞Ｃ，则Ａ＞Ｂ。

而在黎氏条件下，由分隔公理，有非对称ＡＢ＃一ＢＡ或者反对称ＡＢ＝一ＢＡ，如果是反对称ＡＢ＝一ＢＡ，则Ｃ＞Ｂ，Ａ＞Ｃ，一定有Ａ＞Ｂ；如果是非对称ＡＢ≠一ＢＡ，则Ｃ＞Ｂ，Ａ＞Ｃ，不一定是Ａ＞Ｂ，而可能是Ｂ＞Ａ。关于连续公理，则从略。

（三）数与形的统一

考虑一个数序对∞力，并引入坐标系｛Ｏ；１，ｉ）；则这个数序对＠，ｙ），可看成复平面上的一个点ｚ＠，ｙ）；这个点通过坐标关系，可构造一个数三＝ｚ?１＋），?ｉ；则有点Ｚ与数ｚ的对应关系：

①。直线”上每一点都在平面Ｓ内，都具有相同的“面序”：在“直线”上诸点的“面序”都相同的基础上．比较该。直线”上诸点的序关系．是平面上顺序公理与分隔公理成立的前提条件。

⑦满足自反性、对称性、传递性的几何关系。是一种等价关系。满足非自反性、反月｝对称性、传递性的几何关系。是一种弱，强序。序有点序、线序、面序之分。

③对于开放的点序，如果其线空间是平直的，则代表欧氏几何；如果其线空间是弯曲的，则代表罗氏几何。

④封闭的序关系。与圆拓扑同构。而圆的内禀几何就是黎氏几何。

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Ｚ（ｘ，ｙ）仁兆＝工?１＋ｙ?ｉ①

同时，ｚ的运动ｚ（ｘ，Ｙ）＿÷ｚ’＠＋毗ｙ＋ｄｙ），将构成线段ｚｚ’，并且有：

ｄｚ２－似?ｌ＋ｄｙ?庐肼?１％２ｄｘｄｙ?１?ｆ＋妒?ｉ２

于是，有线段ｚｚ７与数出：的对应关系：

ＺＺ’营ｄｚ２＝ｄｘ２?１％２ｄｘｄｙ?１?ｉ＋ｄ１Ｉ，２?／２

系和“线”的几何关系

因为，数ｚ、ｄｚ是基元（１，０上的一个线性表示；而数出２则是基元（１，Ｄ的二次正定型；ｄｚ２≥Ｏ。因此，必须对基元（１，ｉ）的性质和算法进行设定。

通常，基元（１，０的确定与基元（１，砂的算法，称为一个变换群。这种变换群，在正交面上共有三种；嗨一种变换群对应着一种几何。＠变换群的具体确定，与公理的构成有关。每一种公理构成，隐含着一种变换群；同时也就隐含着一种几何结构。

衰２“?”算法与几何关系

双曲几何

ｌ‘１ｌ０‘Ｏ－１

抛物几何

１ｌ

ｌｌ０

ｌ００

椭圆几何

ｌ‘

ｌ１０

‘０ｌ

当１?ｉ＝０时，有ｄｚ２＝（山?１）：＋（ｄｙ?０２，它表示引入的坐标系为直角坐标系；数出２的形式，则忠实地反映了直角ＡＺＯＺ’的“勾股弦”关系；并且，这种“勾股弦”关系，在任何直角三角形中都严格成立）。

显然，ｄｚ２为线段ｚｚ’长度的平方，ｄｚ＝ＩＺＺ’Ｉ；

（山?１）２为线段ＺＯ长度的平方，（山?１）＝ＩＺＯＩ；

（ａｙ?ｆ）ｚ为线段ＯＺ’长度的平方，（ｄｙ?Ｏ＝ＩＯＺ’ｌ；

但是。当ｉｚ一１时，却有：

①这里的数ｚ＝工?１＋ｙ．ｉ，其实是一个广义复数。广义复数包括：“普通复数，对偶数。二重数”。当ｉ２一ｌ时，ｉ为虚数单位。：为普通复数；当ｉ２：ｏ时，ｉ为对偶单位，：为对偶数；当产＝＋ｌ时，ｉ为ｚ．ＩＲ单位，：为二重数。对偶数是德国几何学家斯塔第（Ｅ．Ｓｔｕｄｙ，１８６２－－１９３０）曾经研究过，在文献中称为斯塔第对偶数；二重数则是英国数学家克里福德（ｗ．Ｋ．Ｃｌｉｆｆｏｒｄ，１８４５—１８７９）首先引进的。而下面的山２，因为其代表的是一个线段。因此ｄｚ＝不是复数而是一个标积。标积ｄｚ２＞－０。

②平面上的几何，实际有９种。在坐标系（ｏ；ｍ，日中，出２＝ｄ矿?ｒｎ２＋２出ｄｙ?ｍ?ｉ＋妒?ｉ２．．ｍＺ＝－｛－１，０，＋１ｌ，ｉｚ－：＿ｌ－Ｉ，０，＋１１。

③变换群与几何的对应关系、几何按变换群分类的理论．已由Ｍ．Ｋｌｅｉｎ建立。

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配＝（ｄｘ?１）２＋（ｄｙ?Ｄ２＝睇一妒

点Ｚ的运动是弯曲的双曲线，其运动几何为双曲几何。ｑ）从几何的分类上，双曲几何从属于罗氏几何。

而当ｉ２＝０时，有：

ｄｚａ＝（ｄｘ?１）２＋（ｄｙ?Ｄ２＝ｄｘ２

点ｚ的运动是平直的直线，其运动几何为抛物几何。抛物几何从属于欧氏几何。

当ｉ２＝＋１时．有：

ｄｚ２＝（ｄｘ?１）２＋（ａｙ?ｉ）２＝ｄｘ２＋妒

点ｚ的运动是弯曲的椭圆线，其运动几何为椭圆几何。椭圆几何从属于黎曼几何。

可见，在保证ＡＡＢＣ“勾股弦”关系不变的前提下，基元（１，力性质的变化，将使△的几何形态发生较大的扭曲。而且其“△内角和定理”也被修正为：

ＺＡ＋／Ｂ＋ＺＣ＝万＋Ｉｋｇｄｓ＋ＩＩＫｄａｒ∞

其中：ｋ。为线空间曲率，Ｅ为△各边的弧长；Ｋ为面空间曲率，Ｄ为△积分区域。显然有：罗氏几何：等出２的运动轨迹ＢＡ为双曲线，Ｋ＝０，ｋｇ＜Ｏ，有厶４＋／Ｂ＋二ｃ＜１Ｔ；

欧氏几何：等出２的运动轨迹ＢＡ为平直的直线，Ｋ＝０，．｜｝，Ｏ，有厶４＋￡日＋［ｃ＝１ｒ；

黎曼几何：等出２的运动轨迹ＢＡ为椭圆线，Ｋ＝０，ｋ。＞０，有ＬＡ＋ＬＢ＋［ｃⅪ；

图５罗氏几何、欧氏几何、黎曼几何的三角形内角和定理

所以，坐标基（１，ｉ）的性质，对点、线的空间形态影响很大；基元（１，ｉ）的性质，是区分空间几何类型的重要标志。

由于已经证明，阿罗公理体系是一个效用序数对；因此，阿罗公理必属于欧氏几何与非欧几何中的一种。

（四）Ａ＞Ｂ，Ｂ＞Ｃ，不一定Ａ＞Ｃ

几何“猜想命题”的“真伪”，与几何公理性质密切相关。它严密地证明了，仅凭直觉而没有通过逻辑证明的“东西”，是靠不住的。许多在欧氏条件下，看起来直观而平凡的“真理”，在非欧条件下就有可能成为“谬误”。比如，“△内角和等于１Ｔ”这样一个“猜想”。该“猜想”只在欧氏几何条件下成立；在罗氏、黎曼几何条件下不成立。反之，如果“猜想”换成“△内角和不等于耵”，那么“猜想”在罗氏、黎曼条件下是成立的；而在欧氏条件下不成立。再如“如果Ａ＞Ｂ，Ｂ＞Ｃ，那么一定Ａ＞Ｃ”之“猜想”，在欧氏、罗氏条件下是严格成立的；而在黎曼几何条件下不成立。类似的例子还可以举出许多。

所以，在不同的条件下，几何的基本元素和基本关系，不论是几何形态还是几何计量，都要发生根本性

①点ｚ的运动，为一相对运动。相对运动，是保出２不变的运动。观察出２的组成形式，就可知ｚ的运动几何属于哪一种几何。

②该公式是逐段光滑的Ｇａｕｓｓ—Ｂｏｎｎｅｔ公式的一个变形。陈省身认为，物质场的关系方程，与Ｇａｕｓｓ—Ｂｏｎｎｅｔ公式有非常重要的联系。

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的改变。我们不能再用主观的思维，去推论一些“想当然”东西。了解这些，是解决“不可能定理”和“投票悖论”的基础。而且应该记住的是，“点”应严格区分“欧氏点，罗氏点，黎氏点”，“线”分“欧氏线，罗氏线，黎氏线”，“面”应分“欧氏面，罗氏面，黎氏面”；由“点、线、面”等基本元素支撑起来的空间，有“欧氏空间，罗氏空间，黎氏空间”。其几何要素在空间里的表现，除“点”外，“欧氏线，面”在三维欧氏空间里是平直的，而“罗氏线／面，黎氏线／面”在三维欧氏空间里却是弯曲的。“线，面”在三维欧氏空间里是否弯曲，是欧氏几何与非欧几何的根本区别。而“黎氏线”则是“黎氏球面”上的“大圆”，它是一个封闭的“线元”；它通常也叫“测地线”。

图６欧氏几何、非欧几何在常曲率条件下的空间表现

二阿罗公理。“投票悖论＂与不可能定理

（一）阿罗公理①

对备择对象ｘ和Ｙ，考虑一种偏好序关系“乏”；“乏”可看成符号“＿÷”，或者一个算符“≥”；用“茗乏，，”表示“ｘ优于Ｙ”；ｚ和Ｙ经“乏”作用后化成函数“（石）和ｕ（ｙ）；如果ｘ＞－－ｙ，则ｕ（ｘ）＞Ｉｕ（ｙ）。“乏”满足：公理１：连通且自反性。啊任意的ｘ与），，有工乏＿ｙ或ｙ乏ｚ；且二者至少必居其一。

公理２：传递性。对任意的ｘ，ｙ和ｚ，ｚ乏ｙ与ｙ乏ｚ，则必有工乏ｚ。

公理３：一致性。若社会所有成员都认为，某种备选方案优于另一种，那么社会亦应如此认为。

公理４：独立性。比如，原来有两名候选人，现在又添加一名候选人，则人们对原来两名候选人的偏好序。不应受新添候选人的影响。

公理５：非独裁性。即不应使个人的偏好总是自动成为社会偏好，而不管其他人的偏好与他是如何地

①关于阿罗公理，各种文献的表述不一，有政治学的表述，有经济学的表述，也有对策研究表述。本文采用的是经济学的表述。

②严格的说，阿罗的定义及这个公理只是定义了一种联络关系。它包扩无差异的等价关系和有差异的序关系。有差异的优于关系是序关系，无差异的等价关系不是序关系，两者之间是有很大区别的。由于篇幅的关系，本文没有在此展开。

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不Ｉ司。

其中：公理１，２为自然的理性基本条件；①公理３，４，５是阿罗及其支持者，为达合理要求所加的限制性条件，它最直接的结果，是形成“少数服从多数”规则。

（－－）不可能性定理与“投票悖论”

不可能性定理：阿罗认为，五个公理是不相容的，不可能存在满足上述五个条件的效用函数；如果有的话，只可能是外界强加的或者是独裁的。阿罗用公理化逻辑，论证了他的论点。给予他强烈支持的证据，是下面的“投票悖论”。

假设由甲、乙、丙三人组成的一个群体，必须在Ａ，Ｂ，Ｃ三个方案中，进行排序与选择。达成群体偏好尺

图７封闭的循环序关系度的自然方法，是少数服从多数；如果群体中的大多数认为“第一方案乏第二个”，那么群体就认为“第一方案乏第二个”。假定：若甲认为“Ａ乏Ｂ，Ｂ＞－Ｃ”，根据传递性原则，从而有“Ａ乏Ｃ”；乙认为“Ｂ乏Ｃ，Ｃ乏Ａ”，从而“Ｂ乏Ａ”；丙认为“Ｃ乏Ａ，Ａ乏Ｂ”，从而“Ｃ乏Ｂ”。因为有两票的多数（甲，丙；甲，乙）认为“Ａ乏Ｂ，Ｂ乏Ｃ”，根据传递性原则，应有群体序“Ａ乏Ｃ”。但是，综合观察甲、乙、丙三个独立的序，发现也同时存在两票的多数（乙，丙）认为“Ｃ乏Ａ”。显然，由传递性原则导出的“Ａ乏Ｃ”，与由少数服从多数推出的“Ｃ≥Ａ”，两者是相互矛盾的。要消除这种矛盾。只能在矛盾的序关系中两中择一。如果群体选择“Ａ乏

Ｃ”。由于这也是甲的观点，所以等同于甲“独裁”；如果群体选择“Ｃ乏Ａ”，则只能是“外界强加的”，因为它必须否定序的基本原则一传递性。

于是，“投票悖论”导出了一种封闭的序循环关系：

Ａ乏Ｂ乏Ｃ乏Ａ

它与“测地线”拓扑同构。②

阿罗还罗列了利用个人效用构造社会效用函数时，可有多种不同数学表达式的例子，来佐证社会效用函数存在的“不可能性”。关于阿罗证明的过程从略。但其思想逻辑，已基本反映在“投票悖论”中。

（三）不可能定理在逻辑上的问题

１．判断一个函数存在与否，数学上只要两个条件：一是函数是连续的，用集的语言叫连通且自反；二是自变量与因变量一一对应，用公理表达就是，自（因）变量必须满足关联、顺序、合同以及连续公理中的阿基米德公理。价值、效用、序关系，作为不定义的概念，就象平凡几何中的点、线、面一样，都是不证而自明的要素。其函数都由这些要素构成。它们均满足上述的两个条件。因此，从这个意义上说，效用函数是肯

①Ａｒｒｏｗ的“完全理性”假设。曾经导致质疑者强烈的批评。公共选择学派创始人Ｊ．Ｍ．Ｂｕｃｈａｎａｎ认为，完全理性假设是“（将）个体特性的荒谬移植（至群）”，从而导致“整个Ａｒｒｏｗ框架的分析错误”。Ｓｅｎ、Ｇｉｂｂａｒｄ、Ｓａｔｔｅｒｔｈｗａｉｔｅ等人也持相同的观点。他们从“弱化”Ａｒｒｏｗ“完全理性”假设的角度，来建立社会选择机制。如Ｓｅｎ等人的建立了“在个人主权基础上的社会选择机制”，Ｇｉｂｂａｒｄ—Ｓａｔｔｅｎｈｗａｊｔｅ等人则建立了“在防御策略基础上的社会选择机制”。Ｓｅｎ等人的方案是：仅要求“优于关系”具有“传递性”，而不考虑其“无差异关系”是否具有“传递性”；Ｇｉｂｂａｒｄ、ｓａｔｔｅｎｈｗａｉｔｅ等人则是：不再要求所得到的集体选择规则具有自反、传递、和连通的性质，而只是要求集体选择规则是拟传递的或者非循环的。将“完全理性”改成“相对理性”。但是他们这种“弱化”，并没有从根本上摆脱不可能结论，相反还产生了新的“不可能性”问题。如“Ｓｅｎ个人主权不可能性定理”。“Ｇｉｂｂａｒｄ—Ｓａｔｔｅｎｈｗｍｔｅ防御策略不可能性定理”。

②我们后面将给出一个效用的“测地线”方程。这个“测地线”方程是封闭的。它与“投票悖论”拓扑同构。

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定存在的。ｑ烬管效用函数，可能存在多种数学表达式甚至没有表达式，但都不是效用函数不存在的理由。⑦因为社会是“经济人”群体，“经济人”懂得如何在多种表达式中选择最优。至于最优的表达式是什么，只与经济系统的结构有关，而与存在多少种表达式无关。

２．“Ａ乏Ｂ和Ｂ乏Ｃ，从而Ａ乏Ｃ”，只在欧氏条件下是成立的；而在黎曼条件下不成立。推而广之。“效用函数不存在”作为一个“猜想”，在欧氏条件下是成立的，但不等于在黎曼条件下也成立。关键是看效用所在的空间是否弯曲。按笛卡尔的思想，任何公理都可以化为几何公理；阿罗公理当然也不能例外。阿罗传递性公理，其实就是欧氏顺序公理基础上的合同公理。阿罗公理与欧氏几何公理同态同构。我们唯一需要证明的是，选择的公理，应该是非欧的而不应是欧几里德的。即，在理想的情况下是罗巴切夫斯基几何。在大多

封闭的序关系＋“社会独裁”＝传递性公理

图８封闭的序关系与“独裁”的序关系

数情况下是黎曼几何。

３．在黎曼几何条件下，任何序关系都是封闭的，“投票悖论”序拓扑结构，正是这种封闭序关系的真实反映。在黎曼条件下，阿罗传递性（顺序）公理已经失效，要确定Ａ，Ｂ，ｃ三者关系，只能通过分隔公理来确认。根据分隔公理，必须首先确定Ａ，Ｂ的关系，然后再确定Ｃ是在Ａ，Ｂ之间还是Ａ，Ｂ之外。具体地说，就是一要统一确定Ａ，Ｂ，ｃ序的方向，二是统一确定Ａ，Ｂ，Ｃ序的起点和终点。可以认为。“投票悖论”封闭序的产生，其原因就是没有“统一的效用观，统一的起点和方向”所致。而“一致性公理”，则是序关系统一之后的另一种表现。这种统一序的方向、起点和终点的方法，其实就是“独裁”。但要注意的是，这种“独裁”，是“社会独裁”而非“个人独裁”。

４．阿罗把“投票悖论”中的“社会独裁”，直接等同于“一个人说了算的独裁”，而没有注意两者间的区别。他颠倒了原因与结果的因果关系。一般而言，“社会独裁”是群体协商的结果，是一种协商后的“社会准则，法规”；而“个人独裁”，则完全是“一个人说了算的个人强权”；两者是不一样的。古语云：“鹤蚌相争，渔翁得利”。“投票悖论”中的“二择一”，其实是一种“得利”的表现，它是一个“社会独裁”，只不过它与“某个人的意愿”巧合而已。

５．当一种序的基本规则已定时，那么选择只能服从规则，而不能反过来甚至否定规则。归纳起来，阿罗公理的矛盾，是“传递性”与“少数服从多数”的矛盾。“传递性”与“少数服从多数”，作为两个规则，在选择中应有优先次序。其优先次序的确定，应具体问题具体分析。一般而言，如果“传递性”是公理的基本规则，那么在选择中应处于绝对优先地位；“少数服从多数”作为一个辅助规则，则只能处于次要位置。不能因为某种结果，而对它们的次序和地位进行任意曲解。一个很好的例子，是“关于时间的确定”。大堂里挂着三

①ＶｅｎＮｅｕｍａａｎ和Ｍｏｒｇｅｎｓｔｅｍ在１９４５年用公理化方法严格证明了效用函数的存在。随后，Ｄｅｂｒｅｕ在１９５４年、Ｒａｄｅｒ在１９６３年也先

后证明了效用函数的存在性。更早的工作是Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇ做出来的。Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇ在１９４１年就证明了类似的结果。

②辛钦也持相同的观点，见辛钦的《数学八讲》。

一１３—

关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

个钟，三个钟都用统一的原理计量时间，三个钟均没有误差，其中一个指住“９：００”，其余两个指住“１０：００”。但此时能不能按“少数服从多数”确定，当地时间一定是“１０：００”而非“９：００”？显然是不能的。因为，指住“９：００”的可能是“当地北京时间”，指住“１０：００”的是“东京时间”。从时间的数值上说，三个钟均没有指错。只不过“时间的起点”不一样。但是，这种“少数”钟的“独裁”，并不是由“它”自己“专制”决定。它只能由当地的“环境，法规”决定。由社会的选择决定。

三我们的猜测

（一）几何猜想

由于阿罗颠倒了问题的因果关系；因此“不可能定理”可能并不是经济学的“有效”定理。同时，效用函数存在性（猜想）是否与常理相悖，关键是看效用所在的空间是否弯曲。于是，我们猜测：如果效用的空间是弯曲的；那么由效用／２，与交换价值ｔ，张成的“曲面ｓ”，应能嵌在具有坐标＠，也瑚的欧氏三维空间里。并且满足：

ｚｌ＝ｘｌ＠，“）ｘ２＝ｚ２（’，，Ｕ）Ｘ３＝ｚ３（’，，“）

同时而、恐、而对“。ｖ可微。

于是，在某个ｒ投影变换下，“Ｓ曲面”应映照成一个“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒Ｄ”。

（ｈ砧）—二◆０ｌ（Ｖ，ｕ），ｘ２（ｖ，ｕ），ｘ３（ｖ，“））

Ｄ平面

，．

＜＝＝＝＞

图９Ｅ３中的曲面Ｓ在ｒ映射下为Ｅ２中的“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”

“盒Ｄ”的对角线ＡＢ，是交换的契约曲线；契约曲线ＡＢ，是“．ｓ曲面”的“测地线ＡＢ”在“Ｄ”上的投影；“测地线ＡＢ”，是“曲面Ｓ”上的最短直线；ＡＢ既与地秒的空间有关，同时也与ＵＸ＇Ｖ的空间有关；①ＡＢ上的每一点，都是一个“帕累托最优”；而ＡＢ的方向，则反映了无差异交换的传播过程。⑦

（－－）模型

由于市场是一个ｕ与移的相互转换，“ｓ面”是一个ｕ口的组合；“Ｓ面”就代表市场，市场就是“｜ｓ面”；地移满足ＡＢ曲线最短传播要求。因此，市场问题，是一个几何问题。它是ＡＢ曲线在“Ｓ”约束下求极值，是ＡＢ在“｜ｓ”约束下求最优路径。它是ＡＢ在“Ｓ”约束下求“测地线”。

但由于，“Ｓ面”是嵌在Ｅ３空间里的，曲面上ＡＢ长度：

而ｄｓ２＝Ｉｄ，１２＝ｄｚｌ２＋ｄｘ≯＋ｄｘ产。

ｓ彻＝ｄｓ

又由于ｚｌ、恐、而是“，’，的可微函数，ｄｓ２＝ｌｄｒｌ２

①传统的教科书认为。契约曲线是无差异曲线切出来的。我们认为，它存在逻辑上的矛盾。

②根据Ｌ．Ｅｕｌｅｒ在１７３６年所证明的一个定理。可以推断，在无外部作用时，无差异交换的传播，必定是沿测地线Ａ—咀运动的。

一１４—

南方经济２００６年第５期

ｄｒ＝昙幽＋ａ，、ｒｄｖ＝ｒ＝ｄｕ＋ｒｖｄｖ

因此。也有：

ｄｓ２＝ｌｄｒｌ２＝ｌｄｒＩ?Ｉｄｒｌ＝ｌ，嗣ｕ＋ｒ。ｄｖｌ?Ｉ，．Ⅱｄｕ＋Ｌｄ移ｌ

。Ｌｋｄｕ２＋２ｒａｒ。ｄｕｄｖ＋ＬＬｄ”２

令ｇ。＝ｒ＾，踟＝ｒ山，ｇ．删＝ｒ＾，则：

ｄｓ２＝ｇ＝ｄｕ２－２９．ｄｕｄｖ＋ｇ。ｄｖ２

于是，也有：

％＝ｆ．Ｂｖｇ一２ｉｉ面百万

＝ｊ：：Ｂ吖‰。面ｄｕＪ２十二ｇｗ。面ｄｕ）＋ｇ。咖

因此，Ｓ口便是定义在集｛ｕ＠））上的一个泛函。

则ＡＢ的最优路径问题，将转化为求Ｓ丑在“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”内的变分：

瓯筇（肚。喏）２＋２９。（等＋ｇｗｄｖ）＿ｏ

具有ｄｓ２－ｇ埘ｄ“２＋‰ｄｕｄｖ＋ｇ。ｄｖ２形式的“Ｓ面”，通常叫黎曼面。黎曼面上的Ｕ，Ｖ坐标，叫曲坐标。ｄｓ：叫黎曼距离。ｄｓ２是ｕ，ｔ，在“．ｓ”约束下的拉格朗日函数。①ｄｓ２应有极值。保ｄｓ２不变的几何，叫黎曼几何。缸、ｇ珊、

踟叫空间度规系数。

空间度规系数，决定曲面“Ｉｓ”的性质。

如果ｇ叫、踟、踟是Ｍ，口的函数，则“．ｓ”就是曲面。“Ｓ”为曲面，效用的空间就是弯曲的。如果踟、踟、踟是与ｕ，口无关的常数，则“Ｓ”为平面。“｜ｓ”为平面，效用的空间就是平直的。平面是曲面的特殊形式。踟＝０，表示ｕ，移正交。

因此，市场问题就是一个纯粹的黎曼几何问题。

它是％在“．Ｓ”约束下求极值，是ＡＢ在“ｓ”约束下求最优路径。是ＡＢ在“．ｓ”约束下求“测地线”。它是ｓＡ口在“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”内的变分。

关于模型的解，见本文的第五、六、七部分。

四效用空间的非欧性证明

在２０世纪初，Ａ．Ｅ．Ｎｏｅｔｈｅｒ曾经证明了一个非常有用的定理。这个非常有用的定理，就是Ｎｏｅｔｈｅｒ对称。Ａ．Ｅ．Ｎｏｅｔｈｅｒ证明了：在一个相互作用的力学系统里，有多少个守恒量，就有多少个守恒律，守恒量与守恒律是高度对称的，对称性导致相互作用律。这里，守恒量也叫不变元，对称性也叫对称性规则。Ｎｏｅｔｈｅｒ对称的思想，可用图１０表达。

①严格地说，交易系统的拉格朗日函数Ｌ（ｕ，ｖ；ｓ）＝（“ｄｕ，ｄｓ）２＋２岛（ｄｕ／ｄｓ（ｄｖ／ｄｓ）＋ｇ。（ｄｖ／ｄｓ）：）”，它此时的极值恒等于ｌ。它是交易系统的作用量，在交易系统里它是严格守恒的。我们也可以由此出发，利用Ｅｕｌｅｒ—Ｌａｇａｎｇｅ条件，求出交易的契约曲线。

一１５—

关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

图１０Ｎｏｅｔｈｅｒ对称与相互作用律

由于，交换是一个买者与卖者的博弈，交换过程是一个ｕ与移的相互转换；因此，市场也是一个相互作用的力学系统。在这个力学系统里，Ｎｏｅｔｈｅｒ对称也是成立的。

根据Ｎｏｅｔｈｅｒ定理，我们可以考虑一个由／２与口张成的“Ｓ面”的运动。看看这个“．ｓ面”的运动过程中，存在什么样的不变元，以及跟这个不变元有关的变换是什么？如果这个守恒元与欧氏几何有关，则效用的空间就是平直的；如果这个守恒元与非欧几何有关，则效用的空间就是弯曲的。

（一）经济系统对称，等效律或无差异守恒律

经济系统对称的存在，取决于我们对规律的本质认识。如果我们能从规律的本质出发，那么，经济系统的对称性是能够证明的。

从本质上，所谓规律，就是与时间地点变化无关的现象；因此，市场的交换规律，应与坐标系的运动（价值观的变化）无关；与采用什么坐标系（价值体系）无关；其运动的方向（价值体系的演变），都是等效①的或无差异的。只有满足这些要求的，才是规律；否则，就不是规律。

那么。满足规律要求的运动变换是什么呢７

我们先观察“规律与坐标系的运动无关；其运动的方向，都是等效的或无差异的”。看看满足这一要求的几何变换是什么？

考虑坐标系Ｋ’【Ｏ’；ｖ’，ｕ’卜Ⅸ【０；ｖ，ｕ）的运动；跟这个运动相对应的变换为Ａ。

在Ｋ’（Ｏ’；ｖ’，Ｕ’）中，存在复数击’与标积山”，

ｄｓ’＝ｄｖ’?１’＋ｄｕ’～ｉ，（ｉｓ７２＝１２?ｄｖ’２＋２ｄｒ７ｄｕ’?卜ｉ＋产?ｄｕ７２

在Ｋ１０；Ｖ，Ｕ｝中，存在复数山与标积祥，

ｄｓ＝－ｄｖ?ｌ＋ｄｕ?ｆ。ｄｓ２＝１２．ｄｖ２＋２ｄｖｄｕ?１?ｆ＋产?ｄｕ２

由于Ｋ’《与Ｋ’叫的过程是等效的：所以有：

ｄｓ’＝Ａ?ｄｓ；ｄｓ＝Ａ?ｄｓ’

于是：

ｄｓ７一?ｄｓ４?Ａ?ｄｓ’鲋２?（ｉｓ’

从而：

Ａ毡１

①这里的等效，不是指经济效用相等．而是指在运动合同公理下的效果相同；运动合同公理也叫等效公理。等效公理在Ｈｉｌｂｅｒｔ划分中为公理ｎｌ；至于其他公理的组成，我们下面的证明，是将其归纳为确定空间／的性质。

一１６—

南方经济２００６年第５期

图１１运动合同过程Ｋ，一一Ｋ

当Ａ＝一１时，几何变换为反演变换；而当Ａ＝＋１时，几何变换为对称变换。

由于在平面上，对称变换可以定义为一个平移加一个旋转；而反演过程是一个１８０。的旋转；因此，Ａ２＝ｌ。证明了对称性的存在。

同时，等效的过程，带来反演对称规则：

ｄｓ’＝±ｌ?ｄｓ，—｝ｄｖ７＝±１?ｄｖ，ｄｕ’＝±１－ｄｕ

并同时带来“保距”要求：

山’２＝ｄ，

凼”，ｄ，就是跟对称性对应的守恒元；ｄｒ’＝±１?山，表示运动的无差异律；Ａ＝＋ｌ，表示无差异律在任意的系统里都是一样的；ｄｓ’＝＋１．ｄｓ是现实的无差异律的数学表示；ｄｓ”ｄｓ２，代表无差异交换的形式不变，是一个等效交换律；守恒元与守恒律高度对称；对称性决定守恒律；ｄｓｔ２ｄｓ２的形式，则决定交换的空间类型。因此，在设计公理的构成时，必须保持系统的对称。

图１２经济系统对称与等效、无差异律

满足“保距ｄ５’毛ｄ５２”要求的变换Ａ，是反演、平移与旋转。从运动合同的要求，可以将平面内直角坐标系Ｋ’嗽的运动，定义为：

，ｙ＝矿ｃｏｓ缈一ｕ＇ｓｉｎｆ／＋口≥ｆ咖＝咖－ｃ０Ｓ少一玩．ｓｉｎｙ

【ｉｕ＝Ｖ’ｓｉｎｙ＋ｉｕ’ｃｏｓｖ＋ｉｂ【ｉｄｕ＝ｄｖ’ｓｉｎｖ＋ｉｄｕ’ｃｏｓ

其中：（１，对代表任意的复空间，ｉ２＝卜１，０，＋１）；砂为旋转角，砂与空间ｉ的选择有关，ｑ６为平移常数。Ｋ’—咏，是１１，ｉｌ空间加在舭实轴上的平移与旋转过程。整个过程，保证空间Ｉｌ，ｉＩｆ整Ｊ性质不变。

但是，当将ｉ＝．，冉一ｌ的空间加在叫实轴上时，却有：

Ｉｄｖ＝ｄｒ’ｃｏｓＷ一胁’ｓｉｎｖ

ｌｊｄｕ＝ｄｒ’ｓｉｎ少＋ｊｄｕ’ｃｏｓｆ／

也就是：

ｄｓＯ＝ｄｖ＋ｊｄａ＝（ｄｖ’ｃｏｓ（－ｄｕ’ｓｉｎｅ，）＋ｊ（ｄｖ’ｓｉｎＣ，＋ｄｕ’ｃｏ缈）

＝（ｃｏｓ妒０ｓｉｎｅ）ｄｖ’＋仃ｃｏｓｔ—ｓｉｎｓ）ｄｕ’

＝（ｃｏ妙巧ｓｉ州ｄｖ’＋仃ｃｏｓｌｌＯ＋ｊ２ｓｉｎｔ＃）ｄｕ’

＝（ｃｏ缈町ｓｉｒ９０）ｄｖ’＋－『（ｃｏｓＣ＋ｊｓｉ州ｄｕ’

＝（ｃｏ印巧ｓｉｎ们（面’－歹ｄｕ’）＝∥ｄｓ’∞

一１７—

关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

图１３等效的保距过程ｄｓ％ｄｓ＇－。但ｄｓ７＃ｄｓ

ｄｖ’

可见：保也７２：山２运动，并不一定有ｄｓ７ｄｓ，而是ｄｓ’＃ｄｓ；特别是当将ｉ２＝一１的空间加在叫实轴上时，山＝ｅｚ妒ｄｓ’，山、ｄｓ’之间相差砂角。沙的决定，与ｉ的选择有关。

规律与坐标系的运动无关，与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关。

（－－）坐标自身的变化

我们前面考虑了坐标之间的运动，现在考虑坐标自身的变化。

由于规律在任意的坐标系里，都是等效的或无差异的。因此，坐标自身的变化，不应该影响规律的性质；坐标自身的变化，也应是运动合同等效的，也应该具有坐标运动的一切性质。于是，可假设：Ｋ’（０７；ｖ’，Ｕ’）为一个直角坐标系，Ｋ（Ｏ；Ｖ，Ｕ）为一个非直角坐标系；如果Ｋ’＿ＫＫ’—岖是等效的话，则Ｋ’＿Ｋ的运动，也将由一个平移与一个旋转组成。它除了保持出’２＝山２外，还必须保持ｄｓ’＝ｄｓ。

于是。旋转矩阵：

Ｂ＝降ＬＳＩｌｌ孑ｑＣＯｉＳ朝

Ｖｌｆ，）

应该可以对角化，运动可以写成：

ｊＶ＝Ａｖ’＋口ｊｊ咖＝＾咖’

、—，、

ｌｉｕ＝ｉ２２Ｕ’＋ｉｂ【ｉｄｕ＝ｆ旯２ｄｕ’

ＡＩ，Ａ：是旋转矩阵Ｂ的特征根。

解特征方程：

得Ａ＝ｅＪ砂或ｅ峁。＿『２＝一１。图１４等效的自变过程，ｄｓ’２＝ｄｓ２。ｄｓ’＝ｄｓ

ｒ葛ｙ竺汁。．

ｄｓ＝ｄｓ’

ｄｖ’

这实际上是确定了复平面的性质。即沔√２＝一１。

显然，当Ａｌ＝ｅ４≯，Ａ２＿∥时，运动秽’叶口是正方向旋转沙角，ｕ’＿ｕ是反方向旋转沙角；

而当Ａｌ＝ｅ４≯，Ａ２＿∥时，运动移’＿＋秽是反方向旋转砂角，ｕ’叶ｕ是正方向旋转砂角；

但不论哪一种情况，其ｄｓ’２＝ｄｓ２，ｄｓ’＝ｄｓ的联合运动，为复平面内分角。其所分角砂为复角。旋转沙是复平面内转动了角加。它等同于做了变换ｉ叫，砂１沙，秽’却，，口—忉，ｉｕ’１Ｍ’，ｉｕｌ“。

一１８—

南方经济２００６年第５期

ｄｕ’

ｄｖ’

图１５平面上的两种分角行为

因此，将复角Ⅳ代入旋转角，有分角变换：

Ｉｄｖ＝咖’ｃｏｓｊｙ—ｆ如’ｓｉｎｊｙ

ｌｉｄｕ＝咖’ｓｉｎｊ＋ｉｄｕ’ｃｏｓｊｙ

利用ｃｏｓｈＯ＝ｃｏｓ弦Ｊｓｉｎｈ砂＝ｓｉｎ抛，ｉ＝ｊ，，２—１，则ｔＪ，ｕ实轴的变换就是：

ｄｖ＝ｄｖ’ｃｏｓｈ５ｆ，＋ｄｕ’ｓｉｎｈ少

【ｄｕ＝咖’ｓｉｎｈ少＋ｄｕ’ｃｏｓｈ少

它是数序对＠，圳ｊ｜寸予海一１空间后的普遍变换形式。它充分反映了交换几何的现实。它是个市场变换，但却是个双曲旋转。

这个双曲旋转变换，有恒等式ｄｖｚ－ｄｕ％ｄｖｔ２ｄｕ屹及ｄｖｄｕ．＿ｄｖ’ｄｕ’。

但是ｄｖ，２＿ｄｕ幢是Ｋ’直角坐标系的ｄｓ屹＝ｄｖ心＋ｉ２ｄｕ屹在海一１时结果；由于ｄｓ心＝ｄｓ２，于是也有ｄｓ２＝ｄｖ２－

ｄｕ２０

由于ｄｓ：、ｄｓ”，既是Ｋ、Ｋ’的不变元，同时又都具有双曲线的特征。因此，在平面内要求“规律与坐标系的运动无关，且与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关”，则必然带来复平面内的“ｄｓ幢＝出：，ｄｓ’＝ｄｓ”要求；而“距ｄｓ”、ｄｓ：”的形式都为双曲线，都与非欧几何有关；因此，交换的空间必为非欧几何。

特别是ｄｓ％ｄｖ２－ｄｕＺ＝Ｏ时，有ｄｖ＝ｄｕ．，及秒＝ｕ＋ｂ；ｂ为积分常数，常取为０。从“帕累托最优”的定义上衡量，山代表无差异律；出２＝０满足无差异的最优要求。它是“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”的４５。对角线。而当ｄｓ２≠Ｏ时，“帕累托最优”则与４５。线产生了偏移。

图１６平面上的“帕累托最优”模型

（三）坐标变换，黎曼几何

在曲面内，继续推广“规律与坐标系的运动无关，而且与采用什么样的坐标系无关，与坐标系的原点选择无关”要求；看看能不能通过坐标变换，将一个曲坐标化为一个平面坐标，或者将一个平面坐标化为一个曲坐标，或者将一个曲坐标化为一个新的曲坐标；如果能够，就意味着平直空间里发生的交换，与真实的黎曼空间里的规律，是一致的；就意味着可以通过坐标变换，将复杂的空间里的规律，化为简单的双曲模

一１９一

关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

型进行研究：就意味着我们在平面内所导得的结论，具有高度的普适性。

可以证明，这种推广是成立的。直观的例子，是世界地图的形成。它是将球面上的陆地经纬度坐标，共形投影到平面上，形成所需要的世界地图。

假设：Ｋ’｛０’；ｖ’，Ｕ７）为平面坐标系，具有ｄｓ’２％ｖｄｕ心＋２¨ｄｕ’ｄｖ’乜．．．ｄｖ屹形式，＆’。．＝－１，甜＝Ｏ，肌＝１；Ｋ｛Ｏ；ｖ’ｕ）为曲坐标系，具有ｄｓＺ＇－＇－ｇ．ｄｕ％２９．ｄｕｄｖ＋ｇ．ｄｖ２形式，缸、鼬、踟为”，ｕ的函数。

如果Ｖｔ＝Ｖｔ“ｕ），Ｕｔ＝Ｕｐ（ｖ’ｕ）；并且可逆，则只要：

ｇ。：‰．（笋２＋ｇｖｖ（譬）２

ｇ。％ｋ．《，ｃ等坛ｖ静昏

仇Ｉ跏ｄｙｄ”

ｇ。＝‰．昏２＋‰．（笋２

咖咖

就一定有ｄｓ％山２。

于是，Ｋ’—墨Ｋ’—十Ｋ的运动，就一定是等效的。证明完毕。

既然地ｔ，张成的“Ｓ面”，普遍具有黎曼面的形式；那么，效用的空间必是弯曲的。效用的空间几何必是非欧几何。

五效用方程。效用的传递特征，及“独裁＂的数学解释

（一）效用方程

由于市场问题，是％在“Ｓ”约束下求极值或求“测地线ＡＢ”。但在“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”中，Ｓ＾。是ｄｓ在Ａ—Ｂ路径上的积分，其结果与Ａ川过程有关，Ｓ口是％口的函数；因此，Ｓ。极值或“测地线ＡＢ”可由ｓ似移）的变分求出：即可通过：

溉庐８｛Ｉｄｓ｝＝０

求出效用方程。

令ｄｕ＝ｄｕｉ，ｄｖ＝ｄ＃，舻毋，踟＝瓤，踟＝甑，且％移互换，则ｄｓ２可缩并成：

ｄｓ２＝瓯ｄｕｉｄｕｋ

则有：

一８ｄｓ２＝－２ｄｓＥｄｓ＝８（ｇ雎咖‘咖‘）

＝ｄｕ‘ｄｕ‘国磕＋２９睡ｄｕ‘８ｄｕ‘

：ｄｕ…ｄｕ鲁国７＋２９瞎ｄｕ‘ｄＳｕ‘

因此．

Ｓ＝－』鼢＝聘警等等８ｕｌ＋ｇａ警警№

＝琏警警等国ｌ－－丢ｃｇ踌警∥，出坛警国‘

第二项等于零，因为在积分限上，８ｕｔ＝Ｏ。且ｌ＝ｉ，ｋ。

在积分号内的第二项中，可用ｚ来代替ｋ。由于在积分限上，亦有任意的８ｄ＝Ｏ，由变分法引理，呵有：

①ｆ咖（＊）田（ｚ）如＝０．的条件是：在积分的边界上竹（茹）＝ｏ时，咖（ｘ）＝ｏ。

一２０—

南方经济２００６年第５期

三警警等一丢ｃｇ螗警，

ｉｉ百可一五谵螗百’：！型丝盈一，型一型堂堑：ｏ２ｄｓｄｓＯｕ７６“凼２凼ｄｓ８ｕｋ

。

注意到第三项可以写成以下形式：

Ｉｆ８９ｔｉｔ８９Ｈ、ｄｕＩｄｕ’

２、抛‘’抛‘７

ｄｓｄｓ引人克里斯托非尔符号：

Ｆ１．，，ｋｚ１ｔ扩ａｇ．鲁一等，

则得：

ｄ２ｕ；ｔｇ＋

Ｆ。型丝：ｏａ矿＋１¨，ｔｉｉ刮

乘以∥，并注意到ｇ槲ｇａ＝万ｆ咖ｇ村Ｌ’ｉ，ｔ＝聪，ｍ＝ｉ，ｋ．，便得效用方程：⑦

了ｄ２丁ｕｌ＋吒—ｄＦｕｋ攀：ｏ，ｚ：汕；且‘ｌｊ｝可互换ｉ■十１村ｉｉ—ｕ，ｆ２‘，七；且ｂ七口Ｊ且珙

其中，ｓ是质点的空间运动轨迹，它既是一条过口，ｕ交点的测地线，同时也是ｕ，口之间的关系函数；Ｌ是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关。④碟＝ｏ表示空间是平直的，瑶≠ｏ表示空间是弯曲的。

仿射联络公式为：

心＝互１ｇｉｍＬ，＂百ａｇｍｋ＋等一器¨地枷乇尼；且婀互换

因此，获得一个具体效用方程的前提是：必须已知联络系数以，并了解空间的性质；具言之，就是已知空间度规踟，岛，踟，因为只有它们才与以有关。

（－－）效用的传递特征，及“独裁”的数学解释

由于“测地线”是封闭的。于是，效用传递的“循环性”得证。它说明：“投票悖论”可以在非欧条件下推得：效用函数与系统的空间结构有关。

又由于“测地线”方程的解条件是：

ｓ＝¨“ｆ＝“：；ｉｄｕｔ＝丝ｄｓＩ。，且ｉ，尼可互换

珊（一）契约曲线

六求“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒＂的契约曲线方法

①这里印代表Ｋｒｏｎｅｃｋｅｒ的６记号，ｉ＝ｍ当时，印＝ｌ，ｉ≠ｍ时，耻Ｏ。

②这里得出的效用方程，其实是—个与效用有关的方程组；如果其中一个代表效用的主方程，则另外一个就是价值主方程。

③聪是空间的联络系数，它是坐标的函数，与空间的曲率有关。从经济学意义上讲，它可以看成市场的场强。一２１—

关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

由于契约曲线是“曲面”上的“测地线’’在“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒’’上的投影；“测地线”对应着契约关系方程。因此。由“测地线’’方程解出％ｔ，并消掉ｓ，就可求出％秽间的契约曲线。契约曲线，与空间的度规有关。

当矗时，契约曲线方程组为：

解得ｄｕ＝ａｄｖ，ｕ：ａｖ＋ｂ；取积分常数ａ＝ｌ，ｂ＝Ｏ，有ｕ＝移，则契约曲线如图１６左。它是“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”的４５。对角线。

显然，典型面ｄｓ：：±ｄＵ２＋ｄ秽：上的契约曲线Ｕ－－－－－ｔ３，是黎曼面上的最短直线。其度规系数缸＝土１，舶＝０，踟＝１；有璐＝ｏ。此时的黎曼面，其实是一个平面。

如果矗≠０，则契约曲线的求取比较复杂。但可以预计，其契约曲线，将与４５。线发生偏离。如图１６右。

下面是一个在特殊曲面上，求“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”契约曲线的例子。

图１７各种空间条件下契约曲线

（二）约束在“单位球面”上的质点运动方程

“单位球面”的Ｅ３坐标为０１，ｘ２—．３）＝（ｓｉｎｖｃｏｓｕ，ｓｉｎｖｓｉｎｕ，ｃｏｓｙ），

出，：堕咖＋§幽：ｃｏｓ“ｃｏｓｖｄｖ—ｓｉｎｖｓｉｎｕｄｕ

出．：堕咖＋堕幽：ｓｉｎ“ｃｏｓｖｄｖ＋ｓｉｎｖｃｏｓｕｄｕ

ｄｘ３熹虮鲁咖一ｓｉｎ讪

于是：ｄｓ２＝ｌｄｒｌＺ＝ｄｘｌ％ｄｘ２２＋ｄｘｓＺ＝－ｄｖ２＋ｓｉｎ２矿ｄｕ２

从而踟＝１，踟＝舻０，舻ｓｉｎＺｖ。从而旷＝１，矿＝萨０，矿＝ｌ／ｓｉｎＺｖ。

由仿射联络公式，可有ｒ乙＝ｓｉｎｖ?ＣＯＳＹ，ｒｋ＝ｒ１ＩⅦ＿ｃｏｔＶ。其余为０。

于是，约束在“单位球面”上的质点运动方程为：

Ｉｌ万ｄ２ｖ—ｃ。ｓＶｓｔ．ｎＶｉｄｕｉｄｕ＝。

ｌ可ｄ＝ｕ＋２＿ｃ。ｔＶｉｄｕ忑ｄｖ＝。

（－－）“单位球面”上的契约曲线

将方程组的第二式，两端同除以ｄｓｌｄｕ，则有：

堡空＋２ｃｏｔｖ—ｄｖ：０

—２２—

０

０

＝

＝“一２Ｖ一２扩一凼∥一凼

南方经济２００６年第５期

孚［１ｎ了ｄｕ＋２１ｎｓｉｎｖ］；ｏ

ｄＳｄｓ

ｓｉｎ２ｖ．—ｄ—ｕ：Ｃ

其中，１ｎＣ为积分常数。并由此得：

也ｃ

—ｄ—ｓ２—ｓｉｎ—２ｖ

将其代入ｄｓ２＝ｄｖ２＋ｓｉｎｋｙｄｕＬ，１＝（山／ｄｓ）２＋ｓｉｎ２ｖ（ｄ∥！！！：：里量堡：

面ｄｖ一＿√?一意）２

将ｄｕ／ｄｓ与ｄｖ／ｄｓ式相除．消去ｄｓ．则：

令ａ２＝ｌ／Ｃ２—１，则：ｄｕ』Ｃ２一＝ｆ—ｄｖ１／ｓｉｎ２ｖ?（ｓｉｎ２ｖ－Ｃ２）幽＝焘咖

两边积分，并取积分常数为１Ｔ／２，则有：

“：一ａｒｃｓｉｎ（竺）＋要

口Ｚ

这正是ｕ，移在边长为叮Ｔ的“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒”上的契约曲线。

效用分布密度契约曲线

图１８球面条件下效用分布密度及契约曲线

它是“曲面”上的ｕ，秽关系曲线，平铺到“平面”上的结果。并且，该曲线有２个稳定的不动点（ｏ，０），（１Ｔ，耵）和１个不稳定的不动点（，Ｔｒ／２，叮ｒ／２）。

当勘Ｅ［０，１ｒ／２）时，交换是保守的；而当ｖＥ（ｘｄ２，１Ｔ】时，交换却是冒险的。这确实反映了交换的心理变化过程。这从另外的意义上说明，我们平常用心理实验获的契约曲线，实际上是并不是它的真实情况，而是曲面上的关系在平面上的一个变形。①

七求“Ｅｄｇｅｗｏｒｔｈ盒＂的无差异函数方法。无差异曲线性质

（一）无差异函数

无差异函数是等ｓ的地秽关系方程。由第六部分可知：契约曲线与“测地线”方程的积分常数有关；契约曲线是“测地线”方程积分常数的函数；但这个积分常数却与ｓ有关。因此，由“测地线”方程解出／／，，Ｖ并

①比如平面地图上的国境线，并不是真正地理上的国境线；平面地图上的国境线形状，也不是真正地理上的国境线形状；真正地理上的国境线及国境线形状，必须到真实的地球空间去观察；平面地图上的国境线及国境线形状，只不过是球面地理在这个平面上的投影。

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关于效用函数及阿罗不可能定理的一个猜想

消掉积分常数，就可求出如口的无差异函数。无差异函数，也与空间的度规有关。

当时，从典型黎曼面ｄｓＺ＝＋ｄｕ２＋ｄｖ：的“测地线”方程，有：

解得契约关系方程：及：堡：ｏ

ｄ．ｓ，２。≥

堡：ｏ一

出２。

ｄｕ

一＝口

ｄｓ

ａ．ｖ：ｂ：打爵

坐：兰．“：！’，＋，

ｄｖｂ’。。ｂ。

凼：坐，ｓ：兰＋＾．

窗＝一，Ｓ＝一＋，１．

口口

ｆＪ：兰＋＾

｛ａ

卜２赤¨ｆ

消去积分常数口，则得典型黎曼面的无差异曲线：

ｖ：：（１一鸟：（（ｓ一＾）：干“ｚ）

Ｕ

它是有条件凸向原点的变形双曲线或者变形椭圆。

图１９有条件凸向原点的无差异曲线特别是积分常数ｌ＿０时，双曲线绕轴发生旋转。有：

０一脚２＝（Ｕ２＋１，２）

如图１９右。

（二）“单位球面”上的无差异函数

由第六部分有：

塞＝ｎ南２

式中Ｃ为积分常数。

令ａ２＝－ｌｌ：－Ｉ，从而有：

ｄｓ＝一２４一

咖一ｄ（ｃｏｓｖ）一ｄ（ｃｏｓｖ）面丽一丽一辱