2017-2018学年高中数学人教a版选修1-1练习：第2章 圆锥曲线与方程2.3.2 含解析
第二章 2.3 2.3.2
A 级 基础巩固 一、选择题
1．过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点且垂直于x 轴的弦为AB ，O 为抛物线顶点，则∠AOB 的大小导学号 03624559( C )
A ．小于90°
B ．等于90°
C ．大于90°
D ．不能确定
[解析] 过抛物线焦点且垂直于x 轴的弦AB 为通径，其长度为2p ，又顶点到通径的距离为p
2
，由三角函数知识可知，∠AOB 大于90°.
2．若AB 为抛物线y 2＝4x 的弦，且A(x 1,4)、B(x 2,2)，则|AB|＝导学号 03624560( B )
A ．13
B ．13
C ．6
D ．4
[解析] 代入点A ，B 可得x 1＝4，x 2＝1，由两点间距离公式得|AB|＝
13.
3．若抛物线y 2＝x 上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为导学号 03624561( B )
A ．(14，±24
)
B ．(18，±2
4
)
C ．(1
4，2
4)
D ．(1
8，2
4
)
[解析] 设焦点为F ，原点为O ，P(x 0，y 0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，又F(14，0)，∴x 0＝1
8
，
∴y 20＝
1
8，∴y 0＝±2
4
，故选B ． 4．已知P(8，a)在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为导学号 03624562( B )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
[解析] 根据题意可知，P 点到准线的距离为8＋p ＝10，可得p ＝2，所以焦点到准线的距离为2p ＝4，选B ．
5．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为导学号 03624563( C )
A ．3
4
B ．1
C ．5
4
D ．7
4
[解析] 设A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，
由|AF|＋|BF|＝3得，x 1＋x 2＋1
2
＝3，
∴x 1＋x 2＝5
2
，
∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x 1＋x 22＝5
4
.
6．(2017·全国Ⅱ文，12)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线
交于C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为导学号 03624564( C )
A ． 5
B ．2 2
C ．2
3
D ．3
3
[解析] 抛物线y 2＝4x
的焦点为F(1,0)，准线方程为x ＝－1.
由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)．
联立得方程组???
??
y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，
解得?
??
?
?
x ＝13
，y ＝－233或?????
x ＝3，y ＝2 3.
∵点M 在x 轴的上方， ∴M(3,23)．
∵MN ⊥l ，
∴N(－1,23)． ∴|NF|＝
(1＋1)2＋(0－2
3)2＝4， |MF|＝|MN|＝(3＋1)2＋(2
3－2
3)2＝4.
∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3.
故选C ． 二、填空题
7．过点M(3,2)作直线l 与抛物线y 2＝8x 只有一个交点，这样的直线共有__1__条.导学号 03624565
[解析] ∵点M(3,2)在抛物线内部，∴过点M 平行于x 轴的直线y ＝2与抛物线y 2＝8x 只有一个交点．
8．若抛物线y 2＝－2px(p>0)上有一点M ，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，则点M 的坐标为__(－9，－6)或(－9,6)__.导学号 03624566
[解析] 由抛物线方程y 2＝－2px(p>0)，得其焦点坐标为F ? ????
?－p 2，0，准线
方程为x ＝p
2，设点M 到准线的距离为d ，则d ＝|MF|＝10，即p
2－(－9)＝10，∴
p ＝2，故抛物线方程为y 2＝－4x.
将M(－9，y)代入抛物线方程，得y ＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)． 三、解答题
9．(2016·山东聊城高二检测)抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方