第十三讲图形的初步认识

第四单元图形初步与三角形第13讲图形的初步认识

考纲要求命题趋势1．了解直线、线段、射线的相关性质以及线段中

点、线段的和、差和两点间距离的意义．

2．理解角的有关概念，熟练进行角的运算．

3．了解补角、余角、对顶角、垂线、垂线段等概

念及性质．

4．会识别同位角、内错角和同旁内角，掌握相交

线与平行线的定义，熟练运用垂线的性质，平行线

的性质和判定.

中考中，对这部分内

容命题的难度较小，主要

以选择题、填空题的形式

出现，重点考查互为余

角、互为补角的角的性

质、平行线的性质与判定

的应用.

知识梳理

一、直线、射线、线段

1．直线的基本性质

(1)两条直线相交，只有________交点．

(2)经过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条__________________．

2．线段的性质

所有连接两点的线中，线段最短，即：两点之间______最短．

3．线段的中点

把一条线段分成两条________线段的点，叫做这条线段的中点．

4．

直线、射线、线段的区别与联系

有几个

端点

向几个方

向延伸

表示图形

直线02

两个大写字母

或

一个小写字母

射线11两个大写字母

线段20

两个大写字母

或

一个小写字母

1．角的有关概念

角是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．射线端点叫做角的顶点，两条射线是角的两边．从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线就叫做这个角的________．

2．角的单位与换算

1°＝60′，1′＝60″，1周角＝2平角＝4直角．

3．余角与补角

如果两个角的和等于________，就说这两个角互为余角；如果两个角的和等于______，就说这两个角互为补角．同角(或等角)的余角________；同角(或等角)的补角______．4．对顶角与邻补角

在两条相交直线形成的四个角中，如果两个角有公共顶点，一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角称为对顶角．如果两个角有公共顶点，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，这样的两个角为邻补角．对顶角________，邻补角________．

三、垂线的性质与判定

1．垂线及其性质

垂线：两条直线相交所构成的四个角中有一个角是__________，则这两条直线互相垂直，

其中一条直线叫做另一条直线的垂线．

性质：(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．(简说成：垂线段最短)

2．点到直线的距离

直线外一点到这条直线的________的长度，叫做点到直线的距离．

3．判定

若两条直线相交且有一个角为直角，则这两条直线互相垂直．

四、平行线的性质与判定

1．概念

在同一平面内，不相交的两条直线，叫做平行线．

2．平行公理

经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．

3．性质

如果两条直线平行，那么同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．

4．判定

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；在同一平面内垂直于同一直线的两直线________，平行于同一直线的两直线______．自主测试

1．如图，C，D是线段AB上两点，若CB＝4 cm，DB＝7 cm，且D是AC的中点，则AC 的长为()

A．3 cm B．6 cm

C．11 cm D．14 cm

2．如图，已知直线AB，CD相交于点O，OE平分∠COB，若∠EOB＝55°，则∠BOD的度数是()

A．35°B．55°

C．70°D．110°

3．如图所示，∠1＋∠2＝()

A．60°B．90°

C．110°D．180°

4．下列四个角中，最有可能与70°角互补的角是()

5．如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝__________.

考点一、直线、射线、线段

【例1】在直线l 上任取一点A ，截取AB ＝16 cm ，再截取AC ＝40 cm ，求AB 的中点D 与AC 的中点E 的距离．

解：(1)当C 在AB 的延长线上时，如图， ∵D 是AB 的中点，AB ＝16 cm ，

∴AD ＝12AB ＝1

×16＝8(cm)．

∵E 是AC 的中点，AC ＝40 cm ，

∴AE ＝12AC ＝1

×40＝20(cm)．

∴DE ＝AE －AD ＝20－8＝12(cm)．

(2)当C 在BA 的延长线上时，如图，由(1)知AD ＝8 cm ，AE ＝20 cm.

∴DE ＝AE ＋AD ＝20＋8＝28(cm)．

答：D 点与E 点的距离是12 cm 或28 cm.

方法总结对于线段的和、差关系以及线段的中点问题的计算，需结合图形，认真观察分析．若已知线段上给出的点未明确其位置，还需要分类讨论，千万不要漏解．

触类旁通1 如图，点C 是线段AB 上的点，点D 是线段BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝8，则CD ＝__________.

考点二、角的计算

【例2】如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝100°，则∠BOD 的度数是( )

A ．20°

B ．40°

C ．50°

D ．80°

解析：∵OA 平分∠EOC ，∠EOC ＝100°，

∴∠AOC ＝1

∠EOC ＝50°.

又∵∠BOD 与∠AOC 是对顶角， ∴∠BOD ＝∠AOC ＝50°，故选C. 答案：C

方法总结解决有关图形中的角的计算问题时，首先要从图形中读出具有度量关系的角，如互余、互补、对顶角等，然后合理利用相关的定义、性质求解．

触类旁通2 如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，AB平分∠EOD，则∠BOD的度数为()

A．120°B．130°

C．135°D．140°

考点三、平行线的性质与判定

【例3】如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝55°，则∠4的度数是()

A．110°B．115°C．120°D．125°

解析：∵∠2＝∠6，∠1＝∠2，∴∠1＝∠6，

∴l1∥l2，∴∠3＋∠5＝180°.

∵∠3＝55°，∴∠5＝125°.

∵∠4与∠5是对顶角，

∴∠4＝∠5＝125°，故选D.

答案：D

方法总结平行线的性质和判定常用来解决下列问题：

(1)作图形的平移；

(2)证明线段或角相等；

(3)证明两直线平行；

(4)证明两直线垂直．

触类旁通3 如图，已知直线a∥b，∠1＝40°，∠2＝60°，则∠3等于()

A．100°B．60°C．40°D．20°

1．(2012重庆)已知：如图，BD平分∠ABC，点E在BC上，E F∥AB，若∠CEF＝100°，则∠ABD的度数为()

A．60°B．50°C．40°D．30°

2．(2012山东临沂)如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠1＝40°，则∠2的度数是()

A．40°B．50°

C．60°D．140°

3．(2012湖南长沙)下列四个角中，最有可能与70°角互补的是()

4．(2012湖南长沙)如图，AB∥CD∥EF，那么∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝________度．

A．2个B．3个C．4个D．1个

4．如图，已知直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于()

(第4题图)

A．30°B．40°C．60°D．70°

5．如图所示，已知CD平分∠ACB，DE∥AC，∠1＝30°，则∠2＝__________.

(第5题图)

6．如图所示，直线a，b被c，d所截，且c⊥a，c⊥b，∠1＝70°，则∠2＝__________.

7．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝50°，则∠AEG＝__________.

8．(1)如图，∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．

(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．

(3)如果(1)中∠BOC＝β(β为锐角)，其他条件不变，求∠MON的度数．

(4)从(1)，(2)，(3)的结果能看出什么规律？

(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，写出其中的规律来．

参考答案

导学必备知识

自主测试

1．B2．C3．B4．D5．118°

探究考点方法

触类旁通1．2因为AB＝12，AC＝8，所以BC＝AB－AC＝12－8＝4.又点D是线段BC的

中点，所以CD＝1

2BC＝2.

触类旁通2．C因为直线EO⊥CD，垂足为点O，所以∠DOE＝90°.又AB平分∠EOD，所以∠AOD＝45°.因为∠AOD与∠BOD是邻补角，所以∠BOD＝135°，故选C.

触类旁通3．A过∠3的顶点作直线c∥a，∴∠4＝∠1＝40°.

∵a∥b，∴b∥c，∴∠5＝∠2＝60°，

∴∠3＝∠4＋∠5＝60°＋40°＝100°，故选A.

品鉴经典考题

1．B∵EF∥AB，∠CEF＝100°，∴∠ABC＝100°.

∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠ABD的度数为50°.

2．B∵AB∥CD，∠1＝40°，∴∠BCD＝∠1＝40°.

∵DB⊥BC，∴∠2＝90°－∠BCD＝90°－40°＝50°.故选B.

3．D因为70°角的补角＝180°－70°＝110°，是钝角，结合各选项，只有D选项中的角是钝角，故选D.

4．360∵AB∥CD，∴∠BAC＋∠ACD＝180°①.

∵CD∥EF，∴∠CEF＋∠ECD＝180°②，

①＋②得，∠BAC＋∠ACD＋∠CEF＋∠ECD＝180°＋180°＝360°，即∠BAC＋∠ACE＋∠CEF＝360°.

5．6由题意得，平面内的不同的n个点最多可确定n(n－1)

2条直线，则

n(n－1)

2＝15，所以

n＝6.

研习预测试题

1．D2．B3．A4．A

5．60°∵CD平分∠ACB，∴∠ACB＝60°.∵DE∥AC，∴∠2＝∠ACB＝60°.

6．70°7．130°

8．解：(1)∠MON＝∠COM－∠CON＝1

2∠AOC－

2∠BOC＝

2×120°－

2×30°＝45°；

(2)∠MON＝∠COM－∠CON＝1

2∠AOC－

2∠BOC＝

2(α＋30°)－

2×30°＝

α；

(3)∠MON＝∠COM－∠CON＝1

2∠AOC－

2∠BOC＝

2(90°＋β)－

β＝45°；

(4)∠MON的大小等于∠AOB的一半，而与∠BOC的大小无关；

(5)如图，设线段AB＝a，延长AB到C，使BC＝b，点M，N分别为AC，BC的中点，求MN的长．

规律是：MN的长度总等于AB的长度的一半，而与BC的长度无关．

第十三讲 图形的初步认识

第十三讲图形的初步认识