黄有度-矩阵理论及其应用习题答案

第一章 第二讲 矩阵及矩阵初等变换2

第二讲 矩阵及初等变换（4节） 在上一讲中，我们简单介绍了n 元线性方程组的求解过程是如何用数表的形式来表达的思想，这种既能简化求解方程组的过程又使得求解形式简单明了的数表，我们称之为矩阵。 矩阵是线性代数中重要的概念之一，它的理论与方法在数学、经济、工程技术等方面都有较广泛的应用。著名的列昂节夫投入—产出模型就是利用矩阵这一数学工具建立起来的。因此掌握矩阵这一数学工具是非常必要的。 本讲的主要内容就是给出矩阵的概念及运算性质，为下一步更好地利用矩阵理论与方法讨论线性方程组提供有力的理论支撑。 1.2.1矩阵的概念 定义2.1 由m n ?个数i j a （=1,2,,i m ；=1,2,j n ）排成了m 行n 列的矩形数表 11121212221 2 n n m m m n a a a a a a a a a 称其为m 行n 列矩阵，记作 11121212221 2 n n m m m n m n a a a a a a a a a ??? ? ? ? ??? 。 其中称ij a 是矩阵的第i 行第j 列元素。矩阵常用大写字母m n A ?，m n B ?… ...表示，或简记m n A ?=()ij m n a ?，m n B ?=()ij m n b ?… … 等. 注意：矩阵的行数m 与列数n 可以不相等，行列相同的矩阵称为方阵. 例如 2行3列矩阵 23231 0-2=2 5 -3A ???? ??? ， 2行2列矩阵 2222 2 1=1 6B ???? ?-??。 例2.1例：给个具体的矩阵表示实例 1.2.2矩阵的运算 矩阵也有加、减、数乘、乘法等基本运算法则，以及转置运算等.由于矩阵是个数表，所以它的运算法则与数之间的运算法则有本质上的区别。下面我们先给出矩阵的基本的运算. 定义2.2 若两个行列相同的矩阵() () ,ij ij m n m n A a B b ??==其对应元素相等，即

上海交大矩阵理论大纲

上海交通大学研究生（非数学专业）数学基础课程 《矩阵理论》教学大纲（附：选课指南） 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数)

矩阵理论中的矩阵分析的实际应用论文

矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．

2016矩阵论复习题

矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设33:R R T →是线性变换， ()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x T -++-+= 求T 的零空间)(T N 和像空间)(T R 的基和维数. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++= 1)确定T 在基},,{k j i 下的矩阵; 2)求T 的像空间的基与维数.

信息论基础理论与应用考试题及答案

信息论基础理论与应用考试题 一﹑填空题（每题2分，共20分） 1.信息论研究的目的就是要找到信息传输过程的共同规律，以提高信息传输的 （可靠性）﹑（有效性）﹑保密性和认证性，使信息传输系统达到最优化。 （考点：信息论的研究目的） 2.电视屏上约有500×600=3×510个格点，按每点有10个不同的灰度等级考虑，则可组成5 31010?个不同的画面。按等概计算，平均每个画面可提供的信息量约为（610bit /画面）。 （考点：信息量的概念及计算） 3.按噪声对信号的作用功能来分类信道可分为 （加性信道）和 （乘性信道）。 （考点：信道按噪声统计特性的分类） 4.英文电报有32个符号（26个英文字母加上6个字符），即q=32。若r=2，N=1，即对信源S 的逐个符号进行二元编码，则每个英文电报符号至少要用 （5）位二元符号编码才行。 （考点：等长码编码位数的计算） 5.如果采用这样一种译码函数，它对于每一个输出符号均译成具有最大后验概率的那个输入符号，则信道的错误概率最小，这种译码规则称为（最大后验概率准则）或（最小错误概率准则）。 （考点：错误概率和译码准则的概念） 6.按码的结构中对信息序列处理方式不同，可将纠错码分为（分组码）和（卷积码）。 （考点：纠错码的分类） 7.码C=｛（0，0，0，0），（0，1，0，1），（0，1，1，0），（0，0，1，1）｝是（（4， 2））线性分组码。 （考点：线性分组码的基本概念） 8.定义自信息的数学期望为信源的平均自信息量，即（11()log ()log ()()q i i i i H X E P a P a P a =??==-????∑）。

上海交大研究生矩阵理论答案

习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出2 3 ,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 1122111 11 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-?????? ??=+==?? ???????? n ∑。 2．设112 2 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===???? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112 222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ??????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1 i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -?????? ===?????? --?????? 。 注：2A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

矩阵变换及应用开题报告

鞍山师范学院 数学系13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号：30 指导教师：裴银淑 2013年12月26日

一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义： 矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词，他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容，在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的CharlesR.Johnson联合编著的《矩阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价：

矩阵分解及其应用

《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月

Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015

中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用

Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1Λ=m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1,Λ=， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ΛΛ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++=Λ10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() (Λ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1,Λ=，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21Λ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1Λ=， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a ΛΛΛ2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a ΛΛΛ21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A ΛΛΛ2121) ()(2)(1)()1(τ，

矩阵分析试题中北大学33

§9. 矩阵的分解 矩阵分解是将一个矩阵分解为比较简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或乘积，这是矩阵理论及其应用中常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了原矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，因而使其对分解矩阵的讨论和计算带来极大的方便，这在矩阵理论研究及其应用中都有非常重要的理论意义和应用价值。 这里我们主要研究矩阵的三角分解、谱分解、奇异值分解、满秩分解及特殊矩阵的分解等。 一、矩阵的三角分解——是矩阵的一种有效而应用广泛的分解法。 将一个矩阵分解为酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积，这对讨论矩阵的特征、性质与应用必将带来极大的方便。首先我们从满秩方阵的三角分解入手，进而讨论任意矩阵的三角分解。 定义1 如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈<=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则上三角矩阵 1112 1222000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a a a R a 称为正线上三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，R 称为单位上三角复（实）矩阵。

定义2如果(1,2,,)ii a i n = 均为正实数，()(,1,2,1;∈>=- ij a C R i j i n 1,2,),=++ j i i n 则下三角矩阵 11212212000?? ? ? = ? ? ?? n n nn a a a L a a a 称为正线下三角复（实）矩阵，特别当1(1,2,,)ii a i n == 时，L 称为单位下三角复（实）矩阵。 定理1设,?∈n n n A C （下标表示秩）则A 可唯一地分解为 1=A U R 其中1U 是酉矩阵，R 是正线上三角复矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LU 其中2U 是酉矩阵，L 是正线下三角复矩阵。 推论1设,?∈n n n A R 则A 可唯一地分解为 1=A Q R 其中1Q 是正交矩阵，R 是正线上三角实矩阵；或者A 可唯一地分解为 2=A LQ 其中2Q 是正交矩阵，L 是正线下三角实矩阵。 推论2 设A 是实对称正交矩阵，则存在唯一的正线上三角实矩阵R ，使得 =T A R R 推论3设A 是正定Hermite 矩阵，则存在唯一的正线上三角复矩阵R ，使得 =T A R R

【免费下载】控制中的矩阵理论习题

练习一： 1．设A 、是Hermite 矩阵，证明：AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是n n C B ?∈AB=BA 。2．设，若，则A 为反Hermite 矩阵。试证明：任意一个都n n C A ?∈A A H -=n n C B ?∈可以唯一地表示为一个Hermitet 矩阵与一个反Hermite 矩阵的和。3．证明反Hermite 矩阵的主对角线上的元素或为零，或为纯虚数。4．设是Hermite 矩阵，rank(A)=1，证明：矩阵A 的主对角线上凡不是零的元素n n C A ?∈都是具有同符号的实数；又设是反Hermite 矩阵，rank(B)=1，证明：矩阵B n n C B ?∈的主对角线上凡不是零的元素都是具有同符号的虚部之纯虚数。5．试求一酉矩阵P ，使为对角矩阵，这里AP P AP P H =-1（1）A=； （2）A=。??????????----10001i i i i ??????????-0010010i i 6. 设是Hermite 矩阵。证明A 是Hernite 正定矩阵的充分必要条件是，存在n n C A ?∈Hermite 正定矩阵B ，使得。2 B A =7．设是Hermite 矩阵,则下列条件等价：n n C A ?∈ （1）A 是Hernite 半正定矩阵； （2）A 的特征值全为非负实数； （3）存在矩阵，使得。n n C P ?∈P P A H =练习二：1．用初等变换化下列多项式矩阵为Smith 标准形：（1） ； （2）；()???? ??+-=λλλλλλλ352223A ()??????????-+--=222211λλλλλλλλλλB （3） ；（4）()()220000 001C λλλλλ??+??=????+????。()()??????????????---=00000100000002222λλλλλλλD 2．求下多项式矩阵的不变因子：

基于Matlab 的 n阶非奇异方阵的LU分解实现

基于Matlab 的n阶方阵的LDU分解实现 1.引言 矩阵的LDU分解是“矩阵理论与方法”课程中非常重要的一部分。LDU分解在实际工程应用中也非常广泛。LDU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个对角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LDU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U和对角矩阵的乘积，其中L和U 分别是下三角和上三角矩阵，D为对角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LDU。即： Matlab 是很好的处理矩阵的工具。它的功能非常强大，包括创建矩阵，对矩阵求逆，转置等操作非常简单，使其成为图像处理，信号分析等领域常用的工具。Matlab 官方已经包括了对非奇异矩阵的LU分解函数[L,U]=lu(A)，为了加深对矩阵分解的理解，本文不采用Matlab 官方的LU分解函数对矩阵A进行LDU 分解，而是根据理论推导和编程实现LDU分解。 2.程序设计 2.1.输入合法检验 LU分解需要被分解矩阵A满足如下条件： 1)矩阵A为方阵 2)A的顺序主子式 全故LU分解需先检验A为n阶方阵，然后检验A的n-1个顺序主子式D k 不为0，才可进行LU分解。而检验主子式D 可以在n-1次循环LU分解中 k 进行，故先检验矩阵是否为方阵。 代码如下

2.2. n-1次循环LDU 分解 LDU 分解本质上是高斯消元法。实质上是将A 通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。从下至上地对矩阵A 做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L 矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。LDU 分解主要分为两步： 1根据高斯消元法对A i ()消元，消元矩阵为L i +1-1；2计算L i +1 -1A i ()=A i +1()以产生下一步迭代的A i ()。 2.2.1. 根据 构造L j ,L j -1(j =i +1) 高斯消元A i ()，使A i ()第i+1列从第i+2行至n 行都为0。构造消元矩阵L j ,L j -1。首先判断是否为0，为0则无法继续分解，退出；否则继续。 代码如下 2.2.2. 计算L i +1-1A i ()=A i +1() D k

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

上海交大研究生矩阵理论答案

n k r n n 1 2 习题 一 1．（ 1）因 cosnx sin nx sin nx cosnx cosx sin x sin x = cosx cos(n sin(n 1)x 1)x sin( n cos(n 1)x 1)x ，故由归纳法知 cosnx sin nx A 。 sin nx cosnx （ 2）直接计算得 A 4 E ，故设 n 4 k r (r 0,1,2,3) ，则 A n A 4 k A r ( 1) A ， 即 只需算出 A 2, A 3 即可。 0 1 0 1 （ 3 ）记 J= ，则 ， 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n a C n a C n a C n a n C 1 a n 1 C n 1a A n (aE J ) n n C i a i J n i i 0 n n a n 。 C 1a n 1 a n 2. 设 A P 1 a 2 P 1(a 1,0),则由A 2 E 得 a 1时, 1 1 1 1 0 1 2 1 2 1 0 2 不可能。 1 而由 a 1 0时, 2 1 知 1 所以所求矩阵为 PB P 1 ， 其中 P 为任意满秩矩阵，而 i i 2 2 2 1 0 1 0 1 0 B 1 , B 2 , B 3 。 0 1 0 1 1 注： A 2 E 无实解， A n E 的讨论雷同。 3. 设 A 为已给矩阵，由条件对任意 n 阶方阵 X 有 AX=XA ，即把 X 看作 n 2 个未知数时线 性方程 AX XA=0 有 n 2 个线性无关的解， 由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 1

研究生矩阵理论知识重点

《矩阵理论》知识重点 一．概况 1．开课学院（系）和学科：理学院数学系 2．课程代码： 3．课程名称：矩阵理论 4．学时/学分：51学时/3学分 5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无 穷级数，常微分方程） 6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。 7．教材/教学参考书： 《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006 《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。 《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。 《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。 《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。 二、课程的性质和任务 矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。 三、课程的教学内容和要求 矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。 (数字表示供参考的相应的学时数) 第一章矩阵代数（复习，2） 1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）

矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案

第二章习题及参考解答 注：第27题(2)(3)错(可将“证明”改为证明或否定)，第28题可不布置。第50题（含）以后属于附加内容，没有参考解答。 1.证明子空间判别法:设U是线性空间V的一个非空子集.则U是子空间??对任 意λ∈F,α,β∈U,有α+β∈U与λα∈U. 证明：必要性是显然的，下证充分性。设U关于加法“+”与数乘均封闭。则U中加法“+”的结合律与交换律以及数乘与“+”的分配律、1α=α均自动成立，因为U?V.由 于U关于数乘封闭，而0=0α∈U,?α=?1α∈U,因此U是子空间。 2.证明子空间的下述性质。(1)传递性:即若U是V的子空间,W是U的子空间,则W 也是V的子空间; (2)任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且是含于这些子空间的最大子空间; 特别,两个子空间U与W的交U∩W仍是子空间. 证明：（1）由子空间判别法立即可得。 （2）由子空间判别法可知任意多个(可以无限)子空间的交集仍是子空间,且若某个子空 间含于所有这些子空间，则该子空间必然含于这些子空间的交。 3.(1)设V是线性空间,U与W是V的两个子空间.证明： dim(U+W)=(dim U+dim W)?dim(U∩W). (2)设V是有限维线性空间.证明并解释下面的维数公式: dim V=max{m|0=V0?V1?···?V m?1?V m=V,V i是V i+1的真子空间} 证明：（1）设dim U=s,dim W=t,dim(U∩W)=r.任取U∩W的一组基α1,α2,···,αr.由于U∩W是U与W的公共子空间,故U∩W的基是U与W的线性无关的向量组,因此 可以扩充成U或W的基.设 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs(0.0.1) 与 α1,α2,···,αr,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.2) 分别是U与W的基.我们证明 α1,α2,···,αr,βr+1,βr+2,···,βs,γr+1,γr+2,···,γt(0.0.3) 是U+W的一组基.为此需要证明该向量组线性无关,且U+W的任何向量均可由这些向量 线性表示. 设 k1α1+k2α2+···+k rαr+b r+1βr+1+···+b sβs+c r+1γr+1+···+c tγt=0.(0.0.4) 12

重庆大学矩阵理论及其应用论文

“矩阵理论及其应用”课程研究报告 科目：矩阵理论及其应用教师：蒋卫生 姓名：学号: 专业：机械电子工程类别：学术 上课时间：2013 年10 月至2013 年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)

最小二乘法问题 摘要：无论在哪个专业领域，都不可避免的要面对测量所得到的一批数据。这些数据看似杂乱无章，但对于特定的时间却是符合特定的规律。而要发现这些规律必须借助一定的手段。矩阵理论作为一门具有强大功能的学科再此发挥了它重要的作用。用矩阵论的理论来处理现代工程技术中的各种问题已经越来越普遍了。在工程技术中引进矩阵理论不仅使理论的表达极为简捷，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是不容质疑的，更由于计算机和计算方法的普及发展，不仅为矩阵理论的应用开辟了崭新的研究途径。矩阵理论与方法已成为研究现代工程技术的数学基础。因此，对于数据的处理采用最小二乘法是最恰当不过的了。 关键词：数据处理，矩阵理论，最小二乘法 正文 一、引言 最小二乘法已有近200年的发展历史，它首先由Gauss K F提出并被应用于天文计算中，现已被广泛地用来解决各种技术问题。在过去的30多年里，它已被成功地应用到过程控制系统的参数估计领域，数字计算机技术又使最小二乘原理更有实践价值。参数估计现在模型结构已知时，用实验法所取得的数据来确定表征系统动力学模型中的参数。最小二乘法原理提供了一个数学程序，通过它可以获得一个在最小方差意义下与实践数据拟合最好的模型，它在稳态系统数学模型的回归分析方面应用已很成熟，在动态系统的参数辨识方面也取得了许多重要成果，其参数估计的收敛性质也得到了深入的研究，可以说在参数估计领域中最小二乘方法已达到了完善的程度。 本文讨论的问题如下： 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：

矩阵论的实际应用(朱月)

“矩阵论”课程研究报告科目：矩阵理论及其应用教师：舒永录 姓名：朱月学号：20140702057t 专业：机械工程类别：学术 上课时间：2014 年9月至2014年12 月 考生成绩： 阅卷评语： 阅卷教师(签名)

相关变量的独立变换 摘要：用矩阵的理论及方法来处理实际生活中或现代工程中的各种问题已 越来越普遍。在工程中引进矩阵理论不仅是理论的表达极为简洁，而且对理论的实质刻画也更为深刻，这一点是毋庸置疑的。本文将矩阵论的知识用于解决实用机械可靠性设计问题。 正文 一、问题描述 在建立机械系统可靠性模型时，一般总假设个元素间关于强度相互独立。但是实际中，各元素间关于应力和强度又往往是相关的，并且这种相关性有时会对系统的可靠度产生显著影响。对于一些随机变量之间不是完全相关，但也不是完全独立的情况，就要进行相关变量的独立变换。 二、方法简述 设系统的基本变量为),,(21n x x x X ，??，各变量之间相关，则随机变量x 的 n 维正态概率密度函数为[1] )1()()(21exp ||2()(1 2 12 ? ??--???-=---X X T X X n X C X C X f μμπ） 式中 ?? ? ???????????=2321232212131212 ),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(21n X n n n n X n X X x x x x x x x x x x x x x x x x x x C σσσ 称为随机变量X 的协方差矩阵。矩阵中的任意元素),cov(j i x x 是变量i x 与变 量j x 的协方差，|C X |是协方差矩阵的行列式，1 -X C 是协方差矩阵的逆矩阵，X ，X μ及 )X X μ-（是n 维列向量 ?? ? ?? ?????--=-????? ?????=?? ??? ?????=n n X n X n x x X x x μμμμμμ 1111, , X

基于Matlab-的-n阶非奇异方阵的LU分解实现

基于Matlab-的-n阶非奇异方阵的LU分解实现

基于Matlab 的 n阶方阵的LDU分解实现 1.引言 矩阵的LDU分解是“矩阵理论与方法”课程中非常重要的一部分。LDU分解在实际工程应用中也非常广泛。LDU分解可以将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个对角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。LDU分解主要应用在数值分析中，用来解线性方程、求反矩阵或计算行列式。 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U和对角矩阵的乘积，其中L和U 分别是下三角和上三角矩阵，D为对角矩阵。当A的所有顺序主子式都不为0时，矩阵A可以分解为A=LDU。即： Matlab 是很好的处理矩阵的工具。它的功能非常强大，包括创建矩阵，对矩阵求逆，转置等操作非常简单，使其成为图像处理，信号分析等领域常用的工具。Matlab 官方已经包括了对非奇异矩阵的LU分解函数[L,U]=lu(A)，为了加深对矩阵分解的理解，本文不采用Matlab 官方的LU分解函数对矩阵A进行LDU分解，而是根据理论推导和编程实现LDU分解。 2.程序设计 2.1.输入合法检验 LU分解需要被分解矩阵A满足如下条件： 1)矩阵A为方阵 2)A的顺序主子式 故LU分解需先检验A为n阶方阵，然后检验A的n-1个顺序主子式D k 全不为0，才可进行LU分解。而检验主子式D 可以在n-1次循环LU k 分解中进行，故先检验矩阵是否为方阵。 代码如下

2.2. n-1次循环LDU 分解 LDU 分解本质上是高斯消元法。实质上是将A 通过初等行变换变成一个上三角矩阵，其变换矩阵就是一个单位下三角矩阵。从下至上地对矩阵A 做初等行变换，将对角线左下方的元素变成零，然后再证明这些行变换的效果等同于左乘一系列单位下三角矩阵，这一系列单位下三角矩阵的乘积的逆就是L 矩阵，它也是一个单位下三角矩阵。LDU 分解主要分为两步： 1根据高斯消元法对A i ()消元，消元矩阵为L i +1-1；2计算L i +1 -1A i ()=A i +1()以产生下一步迭代的A i ()。 2.2.1. 根据构造L j ,L j - 1(j =i +1) 高斯消元A i ()，使A i ()第i+1列从第i+2行至n 行都为0。构造消元矩阵 L j ,L j - 1。首先判断是否为0，为0则无法继续分解，退出；否则继续。 代码如下 2.2.2. 计算L i +1-1A i ()=A i +1() D k