数列的极限

一）复习：数学归纳法

1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特点：由特殊→一般.

2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.

3. 完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.

4.数学归纳法：对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先

证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N *

，k ≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.

5.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤： (1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；

(2)假设当n=k(k ∈N *

，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确. 【注】n 0应为n 能取到的最小正整数 【练习巩固】

练1：若f （n ）=1+

1

213121++???++n （n ∈N*），则当n =1时，f （n ）为 练2：将全体正整数排成一个三角形数阵：

12

3456

7

8

910

L L L L L L L L

按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为 。

练3：已知12,,,n a a a ；12,,,n b b b （n 是正整数），令112n L b b b =+++L ，

223

L b b =+,n b ++L L

，n n L b =. 某人用右图分析得到恒等式：

1122n n a b a b a b +++= 112233a L c L c L +++ k k

c L +n n c L ++ ，

则k c =__________(2)k n ≤≤

练4：已知*

N n ∈,证明:n n 211214131211--+???+-+-n

n n 21

2111+???++++=.

练5：试证：当n ∈N *时，f (n )＝32n ＋

2－8n －9能被64整除.

二）数列的极限概念以及简单的应用

1、定义：对于无穷数列{n a }，当n 无限增大时，无穷数列{n a }中的n a 无限趋近于一个常数Ａ，那么Ａ叫做数列{n a }的极限，或者数列{n a }收敛于Ａ，记作lim n n a A →∞

=；如果数列

没有极限，那么我们称数列{n a }是发散的。

【注】①一定要注意，ｎ要想无限增大，必须满足这个数列必须有无穷多项，是无穷数列。（判断数列存在不存在极限）

②n a 无限趋近于一个常数Ａ，说明一个数列的极限只有这一个。（判断数列存在不存在极限）

③ 那么lim n n a A →∞

=可变形为lim ||0

n n a A →∞

-=，用绝对值代表距离，这种定义常用于证

明A 是否是n a 的极限。 2、常见求极限题型

（1）常用极限：（1）∞→n lim

C=C （C 为常数）（2）当1

→n

n q ； （3）01

lim

=∞→n

n （2）

()

()n g n a f n =

()f n 、()g n 为n 的多项式，分子分母同除以n 的最高次幂， 起决定作用的

只是分子分母中n 次数最高的项。 ①如果()g n 、()f

n 中的最高次数相同，例如：34lim

n n n →∞+，2246

lim n n n n →∞-++，那么数列存在极限，

其极限即为其最高次幂的系数比；

②如果()g n 中n 的最高次数高于()f n 中n 的最高次数，例如：lim 4n n →∞，367

lim 4n n n →∞++那么数

列不存在极限；

③如果()f n 中n 的最高次数高于()g n 中n 的最高次数，例如：24lim

67n n n →∞++，

1

lim

4n n →∞，那么数

列存在极限，其极限即为0。 【练习巩固】

练1：求下列数列的极限

（1）n n n ++++∞→ 212

lim （2）3423lim +-∞→n n n （3）)

1(312lim 2

++∞→n n n n （4）无穷数列{}n a 前n 项和1

13

n n S a =-

（5）n n n n n 2223lim 22+-∞→ （6）∞→n lim αn 1

=0（α＞0） （7）∞

→n lim （n n +2－n ） （8

）)lim

x x

→+∞

练2：用极限定义证明：1)2

1

1(lim =-

∞

→n n

二）新课：数列极限的运算法则

1、数列极限的运算性质：设数列｛a n ｝、｛b n ｝，∞

→n lim a n =A, ∞

→n lim b n =B

(1)∞

→n lim （a n ±b n ）=A ±B ;

(2)∞

→n lim （a n ·b n ）=A ·B ;

【注】①∞

→n lim （C ·a n ）=C ·A ②推广到有限个数列和、差、积的极限：若∞

→n lim c n =C ,∞

→n lim

（a n +b n+c n ）=A+B+C (3)∞

→n lim

n n b a =B

A

（b ≠0） 【注】（1）性质公式使用条件：数列｛a n ｝、｛b n ｝都存在极限

（2）性质1、2的使用前提是参与运算的数列个数是有限的 【典型例题】

例1：“B b A a n n n n ==∞

→∞

→lim ,lim ”是“B A b a n n n +=+∞

→)(lim ”成立的（ ）

（A ）充分非必要条件；（B ）必要非充分条件； （C ）充要条件； （D ）既非充分又非必要条件 例2：计算

（1）)3

2(lim ++∞→n n n ； （2）22

)12()2(3lim -+∞→n n n ； （3）

)1

100

13312211(

lim 2++++++++∞

→n n n n n

（4）n n n n n 5

335lim 12

1-++++∞→ （5）)1131211(lim 2222++++++++∞→n n n n n n

【练习巩固】

练1：已知2lim ,3lim -==∞

→∞

→n n n n b a ，求n

n

n n b b a 2lim

+∞→

练2：计算

(1)lim n →∞2n －12n ＋1 （2）121lim 22--+∞→n n n n （3）n

n n n n -+-+∞→21lim （4）lim n →∞12)12(312---+++n n n （5）1

1112323lim --++∞→+-n n n n n

练3：已知｛a n ｝、｛b n ｝都存在极限，且满足

)(lim ,1)2(lim ,1)2(lim n n n n n n n n n b a b a b a ?=-=+∞

→∞

→∞

→求的值

练4：若12lim =∞

→n n na ，且n n a ∞

→lim 存在，则求n n a n )1(lim -∞

→

三）无穷等比数列各项的和

（一）无穷等比数列各项的和的概念

1、复习：等比数列前n 项和公式：等比数列｛a n ｝，前n 项和S n =1,1,1)1(1

1≠???

??=?--q q a n q q a n

2、无穷等比数列各项的和的概念：①等比数列｛a n ｝是无穷等比数列 ②公比

1

则当∞→n 时S n 将无限趋向于一个常数

q

a -11

，即q a S n n -=∞→1lim 1

（二）无穷等比数列各项的和的应用

1、化循环小数为分数 【典型例题】

例1：把下列循环小数化为分数

（1）?

?31.0 （2）?

?323.0

例2：设｛a n ｝是无穷等比数列，且公比的取值范围是1

1a ，求a 1取值范围。

【练习巩固】

练1：计算?

?

?

?

+?+++12.067.078.089.0

练2：计算?+-+?++n n 2

1

223212