2010年全国高考文科数学试题及答案-全国2

2010年普通高等学校招生全国统一考试（文2）科数学

一、选择题

（1）设全集{}

*

U 6x N x =∈<，集合{}{}A 1,3B 3,5==，,则U ()A B = e（ ）

（Ａ）{}1,4 （Ｂ）{}1,5 （Ｃ）{}2,4 （Ｄ）{}2,5 （２）不等式

3

02

x x -<+的解集为（ ） （Ａ）{}

23x x -<< （Ｂ）{}2x x <- （Ｃ）{}23x x x <->或 Ｄ）{}

3x x > （3）已知2

sin 3

α=

，则cos(2)πα-=

(A) 3-

(B) 19- (C) 19

(D) 3

（4）函数1ln(1)(1)y x x =+->的反函数是

(A)11(0)x y e x +=-> (B) 11(0)x y e x -=+> (C)11(R)x y e x +=-∈ (D) 11(R)x y e x -=+∈

(5) 若变量,x y 满足约束条件1

325x y x x y ≥-??

≥??+≤?

，则2z x y =+的最大值为

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D)4 （6）如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么 1a +2a +…+7a =

(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35 （7）若曲线2

y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程式10x y -+=，则

（A ）1,1a b == （B ）1,1a b =-= （C ）1,1a b ==- （D ）1,1a b =-=-

（8）已知三棱锥S ABC -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，SA=3，那么直线

AB 与平面SBC 所成角的正弦值为 （A

）

4 （B

）4 （C

）4

（D ） 34

（9）将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入

同一信封，则不同的放法共有

（A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种

（10）△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB ，若CB a =，CA b =，1,2a b ==，则CD =

（A ）1233a b +

（B ）2233a b + （C ）3455a b + （D ）4355

a b + （11）与正方体1111ABCD A BC D -的三条棱

AB 、1CC 、11A D 所在直线的距离相等的点 （A ）有且只有1个 （B ）有且只有2个 （C ）有且只有3个 （D ）有无数个

（12）已知椭圆C ：22x a +22b y =1(0)a b >>的离心率为2

3

，过右焦点F 且斜率为k （k ＞0）的直线与C 相交

于A 、B 两点，若AF =3FB ，则k =

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2

第Ⅱ卷（非选择题）

二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 （13）已知α是第二象限的角，1

tan 2

α=

，则cos α=___________. (14) 9

1()x x

+的展开式中3

x 的系数是__________

(15) 已知抛物线2C 2(0)y px p =>：的准线为l ，过M(1,0)且斜

率为l 相交于点A,与C 的一个交

点为B,若，AM MB =

，则p 等于_________.

（16）已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆Ｍ与圆N 的公共弦，AB=4，若OM=ON=3，

则两圆圆心的距离MN=________________.

三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）（本小题满分10分）

△ABC 中，D 为边BC 上的一点，BD=33,5sin 13B = ,3

cos 5

ADC ∠=.求AD.

（18）（本小题满分12分）

已知{}n a 是各项均为正数的等比例数列，且1212112(

)a a a a +=+，345345111

64()a a a a a a ++=++.

(Ⅰ) 求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2

1()n n n

b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE=3EB1. （Ⅰ）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45o,求二面角A1-AC1-B1的大小.

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是p，电流能通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互独立.已知T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M与N之间通过的概率.

（21）（本小题满分12分）

已知函数32()331f x x ax x =-++ （Ⅰ）设2a =，求()f x 的单调区间；

（Ⅱ）设()f x 在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围.

（22）（本小题满分12分）

已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>相交于B 、D 两点，且BD 的中点为M(1,3).

（Ⅰ）求C 的离心率；

（Ⅱ）设C 的右顶点为A ，右焦点为F ，DF BF =17?，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切.