七、几何造型

几何图形如何塑造人物形象

几何图形如何塑造人物形象首先要说人物形象设计中的几个要点：整体体型设计，服装设计，化妆设计。从这些造型设计中就能让观众感受到人物性格特点，烘托人物性格，甚至促进剧情发展。作用巨大。几何图形作为众多设计元素中的一类，无论是从角色整体的体型设定上还是服装设计、妆面设计上，都具有很强的应用性。在人物形象设计中的运用之中，我们要对几何图形进行合理性的运用，使几何图形的风格与衣服的风格保持一致，注意几何图形服装以及妆面设计的协调与统一。因为种类的多样性，装饰的全面性以及象征意义的多功能性，常常被人物形象设计大师作为设计的主要元素。《星球大战》对立角色设定，不同几何元素对角色本身的影响。圆润与棱角给人不同的感受说到人物形象。想到一些词汇，尖嘴猴腮，膀大腰圆，虎背熊腰，虎头虎脑，青面獠牙，憨态可掬，呲牙咧嘴。这些词汇其实就是在侧面表达人物形象的几何表达。

这张图应该都见过。三角脸（锥子脸）的孙悟空、国字脸的唐三藏、还有大圆脸的猪八戒。三角形这个脸型本身就有一个不安定或者不舒服地性格在里面。而唐三藏的国字脸本身就给人一个安静祥和的感受，还有之后圆脸的八戒、沙僧。我就不在这一一分析了为什么会觉得这个图给人的感觉不舒服，主要原因是它概括成是一个不规则的几何图形在面部妆面上采用几何线条也成为了近些年来化妆设计的趋势之一，比如可以在眼窝顺着凹线的方向画一条细线，或者可以用两个细长的三角型突出眼睛的轮廓，从而充分便显出几何元素的张力。可以用几根线条将面部以及五官的轮廓比较明晰地勾勒出来。比如在对眼线进行化妆时，可以大胆使用几何元素。当艳丽缤纷地色彩、变幻莫测地线条、凹凸有致地平面与交叠错落地质感搭配在一起时，往往会让整个妆面呈现出前所未有地新奇感觉，不仅有个性更有时尚感与现代审美地表达。

基于分形几何的分形图绘制与分析

基于分形几何的分形图绘制与分析摘要：基于分形几何的分形图绘制方法源于l系统、迭代函数系统ifs、复动力系统等。在运用分形原理及算法编程绘制多种分形图的基础上，重点对ifs参数进行实验分析，ifs吸引集实现了对原图形的几何变换。分形图的演变具有渐变性。关键词：分形几何迭代函数系统分形图绘制渐变 1 分形几何学现代数学的一个新的分支——，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（b.b.mandelbrot）1973年在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的设想。分形（fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。分形几何的诞生无论是在理论上还是在实践上都具有重要价值。 2 分形的定义目前分形还没有最终的科学定义，曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）分形是hausdorff-besicovitch维数严格大于拓扑维数的集合。因为它把许多hausdorff维数是整数的分形集合排除在外，例如，经典分形集合peano曲线分形维数（2）局部与整体以某种方式自相似的形，称为分形。然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形

如此丰富的内容。实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特征来加以说明。对分形的定义也可同样的处理。 (ⅰ) 分形集合在任意小尺度下，它总有复杂的细节，或者说它具有精细的结构。 (ⅱ) 分形集合是非常不规则的，用传统的几何语言无法来描述它的局部和整体，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。 (ⅲ) 分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。 (ⅳ) 以某种方式定义的分形集合的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。 (ⅴ) 在大多数令人感兴趣的情形下，分形集合是以非常简单的递归的方法产生的。 3 分形研究的对象几何学的研究对象是物体的形状，在自然界中，许多物体的形状是极不规则的，例如：弯弯曲曲的海岸线，起伏不平的山脉，变化无偿的浮云，以及令人眼花缭乱的满天繁星，等等。这些物体的形状有着共同的特点，就是极不规则，极不光滑。但是，所有的经典几何学都是以规则而光滑的形状为其研究对象的，例如：初等平面几何的主要研究对象是直线与圆；平面解析几何的主要研究对象是一

分形几何学

2 分形几何学的基本概念本章讨论分形几何学的一些基本内容，其中：第1节讨论自相似性与分形几何学的创立；第2节讨论分形几何学的数学量度，即三种不同的维数计算方法；第3节讨论应用分形几何方法所实现的对自然有机体的模拟。 2.1自相似性与分形几何学无论人们通过怎样的方式把欧几里得几何学的形体与自然界关联起来，欧氏几何在表达自然的本性时总是会遇到一个难题：即它无法表现自然在不同尺度层次上的无穷无尽的细节。欧氏几何形体在局部放大后呈现为直线或光滑的曲线，而自然界的形体（如山脉、河流、云朵等）则在局部放大后仍呈现出与整体特征相关的丰富的细节（图版2-1图1），这种细节特征与整体特征的相关性就是我们现在所说的自相似性。

自相似性是隐含在自然界的不同尺度层次之间的一种广义的对称性，它使自然造化的微小局部能够体现较大局部的特征，进而也能体现其整体的特征。它也是自然界能够实现多样性和秩序性的有机统一的基础。一根树枝的形状看起来和一棵大树的形状差不多；一朵白云在放大若干倍以后，也可以代表它所处的云团的形象；而一段苏格兰的海岸线在经过数次局部放大后，竟与放大前的形状惊人地相似（图版2-1图2）。这些形象原本都是自然界不可琢磨的形状，但在自相似性这一规律被发现后，它们都成为可以通过理性来认识和控制的了。显然，欧氏几何学在表达自相似性方面是无能为力了，为此，我们需要一种新的几何学来更明确地揭示自然的这一规律。这就是分形几何学产生的基础。

1977年，曼德布罗特（Benoit Mandelbrot）出版了《自然的分形几何学》（The Fractal Geometry of Nature）一书，自此分形几何学得以建立，并动摇了欧氏几何学在人们形态思维方面的统治地位。分形几何学的研究对象是具有如下特性的几何形体：它们能够在不断的放大过程中，不停地展现出自相似的、不规则变化着的细节（图2-1图3）。这些几何形状不同于欧氏几何形体的一维、二维或三维形状，它们的维数不是简单的1、2或3，而是处于它们之间或之外的分数。科赫曲线（Koch Curve）是分形几何学基本形体中的一个典型实例，它是由这样一种规律逐次形成的：用一根线段做为操作对象，对其三等分，把中间一段向侧面旋转60度，并增加另一段与之长度相同的线段把原来的三条线段连接为一体，这四条线段组成的形状就是第一代的科赫曲线；分别对它的每一条线段重复上述的操作，将形成第二代科赫曲线；再对其每一条线段进行上述操作，可得第三代，等等；如此迭代下去（图版2-1图4）。显然，对每一代的构成元素的同样操作决定了自相似性的代代传递，使形成的科赫曲线已经明确地具有了自然的特征。如果再进一步在操作中增加一点随机成分的话，那么所得的随机科赫曲线的自然性就更强列了。[回本章页首] 2.2维数计算：分形几何学的数学量度既然分形几何学是一种严格的数学，那么它一定有自身的数学量度。分形几何学的数学量度是分形几何形体的维数。如前所述，分形几何形体的维数不是整数而是分数，它的计算是分形几何的创立者们在总结归纳的基础上产生的。分形几何体的维数计算的数学推导是复杂的，也不是我们所关心的内容。但维数计算所代表的形象意义却值得我们关注。如前所述，分形几何形体的本质属性是自相似性，而这一自相似性一定是在同一形体的不同层次之间（不论是对自然形体的不同程度的放大，还是对人工形体迭代操作所得到的不同代）得以体现的。因而，分形几何形的维数正是在形状的不同层次的比较之间所反映出来的规律。这一规律所代表的是分形几何形状在空间中的扩张趋势。维数越大，就表明它在空间的扩张趋势越强，形状本身的变化可能性也越丰富。

中学数学中的分形几何.

中学数学中的分形几何广西桂林市恭城瑶族自治县栗木中学数学组何桂荣（542502）桂林市第十八中学数学组蒋雪祥（541004）内容提要：本文论述了规则图形的容量维，对容量维的计算作了说明，同时还对4个较为著名的与中学有关的，或是可以用于启发学生思维的分形问题进行了分析。关键字：容量维 Sierpinski三角毯 Koch曲线 Koch岛 Sierpinski-Menger海绵 1973年，曼德勃罗(B.B.Mandelbrot)在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。分形(Fractal)一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。数千年来，几何学的发展从来没有二十世纪诞生的分形几何那样对物理学和数学发展产生如此巨大的影响。分形几何对我们大多数人来说是陌生的，因为它看起来离我们太远。其实分形就在我们身边，在近年的竞赛与高考中，分形的影子已经出现。中学数学中的分形与数学研究中的分形所看的角度与研究目标都不同，可以说是羊头狗肉之分吧。笔者试对此进行一点探讨，以抛砖引玉尔。一、规则图形的容量维为了描述混沌学中奇怪吸引子的这种奇特结构，曼德尔布罗特(Mandelbrot)最早（1975年）引进了分形（既其维数是非整数的对象）的概念。维数是描述客体的重要几何参量。也可以说，维数是为了确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标数目。已经知道：点是零维，线是一维，平面是二维，而立方体是三维的。这种维数称为拓扑维，用字母"d"表示。维数也可以这样来考虑：比如，取一线段，将该线段的长度乘2，就得到另一个线段，长度为n=2个原线段长度。

第六讲：实体造型技术

图形的实体造型方法

几何造型技术
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造型技术：研究如何在计算机中建立恰当的模型表示这些物体的技术。
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真实世界中存在着千姿百态的物体；它是计算机图形学的重要研究内容之一。
它是由于计算机辅助设计和制造的需要而发展起来的，现在已广泛应用于各种造型系统之中。
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其中，实体造型技术关注表示实体的信息的完备性和可操作性，
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实体的定义
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数学中的点、线、面是其所代表的真实世界中对象的一种抽象，它们之间存在着一定的差别。例：
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数学中平面是二维的，没有厚度，体积为零；在真实世界中，一张纸无论有多么薄，它也是一个三维的体，具有一定的体积。
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这种差距造成了在计算机中以数学方法描述的形体可能是无效，即在真实世界中不可能存在。
? 如右图的立方体的边上悬挂着一张面，立方体是三维物体，而平面是二维对象，它们合在一起就不是一个有意义的物体。通常，实体造型中必须保证物体的有效性。

现实物体的性质
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满足如下性质的物体称为有效物体或实体。具有一定形状（流体不是实体造型技术描述的对象）。具有确定的封闭边界（表面）。是一个内部连通的三维点集。
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如果该物体可分成独立的几个部分，不妨将其看作多个物体。这条性质排除了下图中的形体作为有效物体的情况，其中：两个立方体仅以一条棱相接，内部区域是不连通的。
占据有限的空间，即体积有限。经过任意的运算（如切割、粘合）之后，仍然是有效的物体。
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第6讲分形几何学

实用标准文案第6讲分形几何学主要内容：一、概述二、分维的测定方法（重点内容）三、分维应用实例（重点内容）四、问题讨论一、概述分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念（1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分

几何形态在家具造型中的应用探究

昆明理工大学研究生论文几何形态在家具造型中的应用探究课程名称造型与装饰艺术理论学院艺术与传媒学院专业、领域设计艺术学年级2011 级学制 2.5 年学生姓名唐彬龄学号2011213024 研究方向设计艺术理论研究指导教师李纶导师昆明理工大学 2012年 1 月 11 日

几何形态在家具造型中的应用探究唐彬龄 (昆明理工大学2011设计艺术学，云南昆明650504) 摘要：几何形态以其整齐的构造，明快的线条，简洁的语言，为不同理念的设计师所青睐，成为永不褪色的艺术语言。几何形态家具与其它设计风格一样，有其萌芽、成长、成熟以及多元化发展的时期，家具设计中几何形态的造型方法主要有几何形体的独立使用、组合使用和一些其他使用方法等。关键词：产品装饰性元素 1.几何形态概述几何形态是由基本的几何元素如点、直线、曲线、平面、曲面等构成的几何形物体，通常是指空间的有限部分，一般由三条或更多的边或曲线或以上两种东西的结合而形成，具有一定规则性与封闭性，如：棱柱体、立方体、圆柱体、球体等。几何形态是具象图形被符号化提炼的产物，由于其整齐的构造，明快的线条，简洁的外形可以包含丰富的内涵与时代的审美情趣，因而具有悠久的使用历史。几何形态元素在设计中的运用和几何形态家具风格的形成，是设计由传统走向现代的主要标志，几何形态元素见证了现代设计的成长历程，并贯穿了现代家具设计的始终。 2.现代家具设计中几何形态应用的发展几何形态的家具风格在家具设计中独树一帜，回顾家具发展的历史，与其它设计风格一样，几何形态在家具中的应用也经历了一个从萌芽、成长、成熟到多元化发展的过程。在家具设计史上每一次设计风格的转变中，几何形态在家具中的应用都以其独具个性的造型语言，为不同理念的设计师所青睐，成为永不褪色的艺术语言。 2.1 现代设计之前的家具设计无论是西方的中世纪，还是东方的封建时代晚期，家具设计中我们很难见到纯几何形态的家具。当时的人们相信眼睛、四肢和爪子等各种有力量的客观物象具有保护作用，能抵御邪恶，给人以安全感；或是喜爱自然界动植物的灵气和文化之下所带来的象征意义。这种观念强化了诸如此类的“生命化”造型习惯。家具的腿部、扶手靠背和装饰都成为此类生命化的表现载体，如图1所示为一款以兽脚为椅腿的埃及法老椅，尽管它们原先所含有的魔力概念和含义早已被人们忘却，但此类的家具样式还是得以流传，即使是极为简单的家具也会赋予多姿多彩的生命形象这一点在西方社会和东方社会都没有特例，其中西方的哥特式风格、巴洛克风格和洛可可风格和中国清代的家具设计风格是其中的典型代表。

论分形几何学在首饰设计中的应用

论分形几何学在首饰设计中的应用论分形几何学在首饰设计中的应用作者：来源：浏览次数：5909标签：分形设计饰设随着人们生活水平的提高和消费观念的改变,珠宝首饰在人们心目中的地位越来越高。传统的首饰是由设计人员先在头脑中构思,再通过图纸和计算机表现出来。设计者往往在阅读大量资料的基础上,对传统的图形进行修改和变换,设计思路受到较大的限制,越来越难以满足人们求新、求美、求异的要求。针对目前首饰设计领域的“瓶颈”,亟待在艺术构思、图案设计、制作工艺等方面进行创新。如果将分形图形与首饰设计结合起来,把抽象的分形理论应用到实际的首饰设计中去,可以给首饰设计人员提供新的创作灵感。 1 分形几何学理论及应用分形几何学简称分形,分形一词由法国数学家B. B. Mandelbrot在1967年的“英国的海岸线有多长———统计自相似性与分数维数”论文中首次提出。作为分形,其最显著的特征就是自相似性,即在分形上任选一个局部,无论是将其放大或缩小,其形态、复杂程度、不规则性等均不会发生变化,所得到的图形仍显示原图的特征。这种自相似性可以是近似的,也可以是统计意义的。分形大致可分为两类:一类是几何分形,它不断地重复同一种图案;另一类是随机分形,它抽象地描述了大自然的许多不规则形态。应用分形理论既可以产生由直线、圆、多边形等构成的较为规则的图形,体现出传统美学中的平衡与对称,还可以产生奇妙的非线性图形,超越标准的新的表现形式。分形图案作为技术与美学的结合,对首饰设计具有特别重要的意义,把它引入首饰设计领域,将挑战传统的设计理念,使设计者的思路和视野得到更广泛的拓展。作为研究和处理不规则图形的强有力工具, 目前分形几何学已在物理学、化学、地质学、生物学、材料学等领域取得了较大的进展。近年来,随着对准晶体物质的深入研究,分形理论在微观领域的应用也逐渐引起了人们的重视。分形理论在计算机仿真、艺术设计、室内装饰等领域也逐渐显示出其极高的应用价值,特别是分形几何学在服装设计领域取得了突破性进展,为分形理论在首饰设计领域的应用奠定了基石。 2 在首饰设计中的应用首饰设计一般分为手绘和电脑设计,前者主要是用手工绘制的方法将设计思想在图纸上表现出来,后者则是借助计算机辅助设计软件得以实现。无论采用哪种方式,设计者在整个设计过程中都必须遵循对比与调和或者对立与统一的原则,因为首饰设计作为一种艺术创作,它不单是造型元素的简单叠加,更多的是通过对不同材质与色彩的有机组合,营造整体的和谐与统一,从而真正体现首饰的艺术价值。 2.1 作为构成元素参与首饰设计传统首饰设计的构成元素主要是欧氏几何中描述的具有整数维数的规则图形,设计出的首饰往往比较单一、朴素。而分形作为大自然的几何抽象,能给设计者提供一种新的设计思路。把分形中自相似性的某一重复单元作为一种新的构成要素参与首饰设计。当经过与传统几何要素相同的拉伸、旋转、变形后,新的首饰将呈现出一个更加复杂、精美的分形式造型,从而实现首饰设计的创造性和新颖性。和传统的首饰设计相比,分形首饰的特点[5 ] 在于: (1) 和谐性分形表现最多的是形状的重复,应用到首饰设计中就是造型元素的重复。这就打破了完全对称产生的呆板,给人和谐统一的视觉感。当然,仅仅借助单一结构不能达到对比的效果,

【讲义】项目九-1：时尚小音箱基础知识及几何造型法.

项目九-1:时尚小音箱基础知识及几何造型法小音箱资料收集与分析 1、项目描述时尚小音箱是现代办公和娱乐的不可缺少的产品，时尚可爱的外观设计博得众多年轻人的喜爱，它功能明确，结构简单，在外观上可以发挥学生的创意，运用几何造型设计方法，对小音箱产品进行造型练习来掌握此方法的应用。首先讲解小音箱的工作原理及零部件结构与组装关系，使用方法，最后通过以立方体为例进行小音箱的单体与多体设计，式进行完善。小音箱功能结构及原理分析 1、扬声器的工作原理：如图1当交流音频电流通过扬声器的线圈圈）时,音圈中就产生了相应的磁场.这个磁场与扬声器上自带的永磁体产生的磁场产生相互作用力.于是,这个力就使音圈在扬声器的自带永磁体的磁场中随着音频电流振动起来.而扬声器的振膜和音圈是连在一起的，所以振膜也振动起来.振动就产生了与原音频信号波形相同的声音图1扬声器的工作原理图 2、小音箱工作原理，小音箱工作原理，在扬声器外围需要罩个箱子，是为了美观和固定支撑，更重要的为了获得所需频率特性、声场分布以及特殊的声效果等。所示。接着介绍几何造型设计法的并用二维效果图的形（在扬声器中又叫做音如图2

图2小音箱的工作原理图 3、小音箱零件结构及其组装关系讲解，通过对现有小音箱的拆解，了解小音箱产品的零部几何造型设计法知识点讲解几何造型设计法主要包括单体的点、线、面与综合加减法设计、多体的叠加、贯穿、渐变、嵌入设计。 1、单体加减法设计是针对基本单元体(方体、球体、柱体)进行增加或减少点、线、面改变原有属性，使其原有组成元素增多、丰富，得到新的单元体的设计方法。加法强调的是形态向外部空间拓展和体量的增加，减法强调的是向内部空间拓展，减小体量丰富空间层次。 (1 )点元素：点元素加法可以体现为点阵排列的通风散热孔或装饰作用的小凸台，也可以体现为使用界面的各种操作键，如图 4遥控器面板上各种突起的按键呈现出有规律的点分布；点元素减法可以体现为点阵排列的贯穿切除或凹状切除, 除形成的喇叭孔，沙发凹面上的点阵列切除。声音出口件结构及组装关系。如图 3所示。如音箱球面上的点阵列切图3小音箱零部件构成图1

分形几何中一些经典图形的Matlab画法

分形几何中一些经典图形的Ma ｔlab画法

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分形几何中一些经典图形的Ｍatlab画法（1）Ｋoch曲线程序koｃh.m functionｋoｃh(a１,b1,a2,b２，n) %ｋocｈ（0,0,９,0,3） %a1，b1,a２,b２为初始线段两端点坐标,ｎ为迭代次数 a1=0;ｂ１=0;ａ2＝9;ｂ2=0;ｎ＝３; %第ｉ－1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中[Ａ,B］=sｕｂ＿koch1（a１,b1,ａ2,b2)；ｆｏr i=1:n foｒj=1:leｎgth(A)/5; w＝sub＿koch2(Ａ(1+5*(ｊ-１）：5＊j),Ｂ(1+５＊（j－１）：５＊ｊ)); for k=1:４ [AA（5*4＊(j-１）＋5*(k-1)+１：5*4＊(j-1)+5*(ｋ-1)+5),BB(5＊4*（j－1)＋５*(k－1)+1：５＊4*(ｊ-1)+5＊(k－1）+５）]＝sub_koch1（w(k,1）,ｗ(k，２)，ｗ(ｋ,３),ｗ（k,4)); eｎd end A=ＡA； B＝BB; ｅnd plｏｔ(A,B) hoｌｄon aｘis ｅqｕal %由以(aｘ,aｙ),(bx,bｙ)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存％储在数组A,B中ｆunｃtion [A,B]=sｕb_koch１(ax,ay,ｂx,by) cx=ax+(bx-ａx)／3; cy=ay+（ｂy-ay)/3; ｅx=bx－(ｂx-ax)/3; ey＝bｙ-(by-ａy)/3；Ｌ=ｓqrt((ex-cx).＾2+(ey-cy).^2）; aｌpha=atan（(ｅｙ－cy).／(eｘ－cx)); iｆ(eｘ-cx)<０ａｌpha=alｐha＋pi; end dx=cx+coｓ(alpｈａ+ｐｉ／3）*Ｌ； dy=ｃy+sin（aｌpha+ｐi/3)*Ｌ; A=[aｘ,cx,dx,ex,bx]; B＝[ay,ｃy,dy,ey,bｙ］;

几何造型

几何造型几何造型2010-10-02 21：26几何造型研究三维几何信息如何在计算机内表示、分析和综合几何造型是内在的理论基础和关键技术，是随着航空、汽车等现代工业发展与计算机的出现而产生与发展起来的一门学科几何造型作为信息技术的一个重要组成部分，将计算机高速、海量数据存储及处理和挖掘能力与人的综合分析及创造性思维能力结合起来，对加速产品开发、缩短设计制造周期、提高质量、降低成本、增强企业市场竞争能力与创新能力发挥着重要作用。几何造型这个术语首先是在年代初期，随着计算机图形学、计算机铺助设计和制造技术的迅速发展开始使用的它是几何学与计算机的完美结合几何造型包括两个分支第一个分支研究在计算机内如何描述一张曲面，如何对它的形状进行交互式的显示与控制，即曲面造型第二个分支发展较晚，它着重研究如何在计算机内定义、示一个三维物体，即所谓实体造型曲面造型与实体造型是互相支持、互相补充的光有曲面造型，我们的目光就会停留在组成物体的一张张表面上，无法去计算和分析物体的许多整体性质，如物体的体积、表面积、重心等，也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互关联的性质如两个物体是否相交如不相交，它们之间的最短距离是多少反之，如果光有实体造型而无曲面造型，我们将无法准确地描述和控制物体的外部形状。在历史上，曲面造型和实体造型是互相独立、平行发展的，彼此之间几乎没有影响关于实体造型的理论的发展落后于曲线曲面，虽然近几年已经取得了很大进展并进入实际应用，但仍不及曲线曲面理论那样成熟。一、曲线曲面造型曲面造型(Surface Modeling)是计算机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design,CAGD)和计算机图形学(Computer Graphics)的一项重要内容，主要研究在计算机图象系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源于汽车、飞机、船舶、叶轮等的外形放样工艺，由Coons、Bezier等大师于二十世纪六十年代奠定其理论基础。

分形拓扑几何学

欧几里德几何学、分形拓扑几何学与设计经典几何学对自然界形体的描述是概括的，不近似的，不精确的。它把复杂的山型近似为圆锥，把复杂的树冠近似为圆锥，把复杂的人头近似为球形等等。然后以这些基本形（方、圆、锥、柱、环等）为基础，通过它们的叠加与组合，来描述更复杂的自然界形体。这种描述在不需要精确的领域是可以接受的，如果要求被描述的形体足够精确，采用这种方法就不能很好的满足要求了。另外，对于一些非常复杂的形状，如云形，雪花等，这种方法显得力不从心。为了能够对复杂的自然形体进行比较精确的描述，Mandelbrote提出了分形的概念。分形的方法可以对自然形体比经典几何学进行更精确的描述。这种描述是动态的，是建立在自然形体是自相似原理基础上的。当然，分形的描述也不是与自然形体100％的符合。任何描述都具有概括或抽象的概念。比较经典几何学与分形，发祥它们对自然形体描述的差别在于：经典几何学是以静态的方式来描述形态，这种描述方法具有数据量大的特点；分形几何学是以动态、生成的方式来描述形态，这种方式具有可以根据要求来不断提高被描述形态的精确度，数据量比较小。事实上，这两种对自然界形态描述的方式背后存在着基本观念的差异。经典几何学认为世界是构成的，因此可以将世界分解成很多基本

几何要素，然后根据一定的规律建构起来；分形几何学认为世界是生成的，复杂的世界形态是在时间的流逝中不断演化生成的。建立在构成论的基础上的数学，是静态的描述数学；建立在生成论的基础上的数学，是动态的描述数学。静态的数学中，没有时间变量；动态的数学中，存在时间变量，尽管有时它不是以时间的含义出现（比如迭代的次数，在本质上，就是时间变量）。分形对形态的描述精度，是通过单位面积中留下的间隙或密度来衡量的。如果留下的间隙越小或密度越大，则描述的精确度越高。经典几何学是通过距离来描述精确度的。距离越小，精确度越高。在经典几何学下，艺术家创造形体的方式是描绘式的，不论是通过一点透视，还是通过多点透视的方法来画出的画面，本质上都是描述式的。不论再现式的绘画（以对自然的如实描写为主，通过具体的形象来表达艺术家内心的情感），还是表现式的绘画（不是以对自然的如实描写为主，而是以表现内心情感的为主，通过抽象的、随意的形象来表达），都是一种建构画面的表达方式。在分形几何学下，艺术家

几何造型的历史与现状

计算机辅助几何造型(Computer Aided Geometric Modeling , CAGM )是用计算机及其图形工具表示描述物体形状，设计几何形状，模拟物体动态处理过程的一门综合技术。它的主要内容有曲面造型、实体造型、曲面与实体的表示分析与应用，计算机辅助几何造型技术是计算机辅助几何设计(Computer Aided Ge 。-metric Design , CAGD )、计算机图形学(Computer Graphics , CG )、微分几何、CAD / CAM ( Computer Aided Design / Computer Aided Manufacture )程序设计等多门学科的交又。其理论和应用研究在最近几年已经取得了很大进展，从而促进了相关学科的理论与应用的发展。计算机图形学是研究用数字计算机来生成、显示和处理图形的原理、方法和技术的一门新兴学科。它是20 世纪60 年代才形成和发展的一门新兴边缘学科。其发展紧密地围绕着对图形的实时性和真实感这两大目标的追求。所谓图形的实时性是指计算机图形实时地快速生成、显示、变换、分析和综合等，而图形的真实感是指计算机所生成的图形反映客观世界的逼真程度。显然，CG 技术的发展水平受到硬软件两方面技术的同时制约。 CG 与CAD 技术的日益密切结合已成为当今高技术领域的一项重要的内容，计算机辅助几何造型就是CG 在三维空间的一个具体而又十分重要的应用领域。它以研究如何用计算机系统来表示、处理、分析和输出设计对象的三维形体作为主要内容，是CAD / CAM 集成系统的核心技术，也是真正实现CAD 的基础之一。按所构造的对象来划分，计算机辅助几何造型技术可以分为规则形体造型和不规则形体造型两大类。不规则形体指不能用欧氏几何加以描述的如山、水、树、草、云、烟等自然界丰富多彩的形体。有关不规则形体的造型是进人20 世纪80 年代后才为国际上许多学者所关注，并已有了些长足的进展。规则形体是可以用欧氏几何进行描述的形体，如平面、多面体、曲面或实体等，统称为几何模型。在各工程行业CAD 中所遇到的形体都属于这一类。一个完整的几何模型既包括形体的各部分几何形状及其空间布置(即几何信息)，又包括各部分之间的连接关系(即拓扑结构)。而建立几何模型，描述物体形状的理论、设计方法和手段都属于JL 何造型技术(Geometric Modeling , GM )。随着计算机图形学与计算几何学(Computational Geometric )这两门学科的发展和相互渗透，20 世纪70 年代形成了一门边缘学科计算机辅助几何设计CAGD , 它主要研究自由曲线曲面的表示、设计，造型显示、分析和处理等问题，是几何造型方法的基础。人们很快发现，最佳的描述方法是参数曲面方法。目前在CAD / CAM 中得到广泛应用的各类曲面如Coons 曲面，Bezier 曲面，非均匀有理B 样条曲面(NURBS )均为参数曲面，已经成为曲面造型与实体造型方法中外形表示的首选方式。纵观CAGD 与GM 的发展历史，特别是近年来的研究热点，可看到CAGD 越来越侧重于曲面拼接、设计、造型以及自由曲面与实体的集成造型。最值得一提的发展趋势是： l )曲面形式趋向复杂化、多样化从矩形域上Coons 曲面，到三角域上Bezi - er 曲面，并逐步向一般多边形区域，任何拓扑曲面上发展。 2 )外形表示和设计的复杂化在曲面或实体系统中经常要遇到诸如多边形区域的非矩形、三角形拓扑结构，更常见于机械产品外形，如飞机、船舶、汽车等外形的设计、表示中。 3 )交互设计、修改要求越来越高灵活、方便的交互设计修改能力，既能满足整体要求(如光顺性)，又能小范围内进行修改。实体造型中参数化、特征化设计也是为了满足CAD / CAM 中越来越高的交互设计要求。

分形几何中一些经典图形的Matlab画法

分形几何中一些经典图形的Matlab画法（1）Koch曲线程序koch.m function koch(a1,b1,a2,b2,n) %koch(0,0,9,0,3) %a1,b1,a2,b2为初始线段两端点坐标,n为迭代次数 a1=0;b1=0;a2=9;b2=0;n=3; %第i-1次迭代时由各条线段产生的新四条线段的五点横、纵坐标存储在数组A、B中[A,B]=sub_koch1(a1,b1,a2,b2); for i=1:n for j=1:length(A)/5; w=sub_koch2(A(1+5*(j-1):5*j),B(1+5*(j-1):5*j)); for k=1:4 [AA(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5),BB(5*4*(j-1)+5*(k-1)+1:5*4*(j-1)+5*(k-1)+5)] =sub_koch1(w(k,1),w(k,2),w(k,3),w(k,4)); end end A=AA; B=BB; end plot(A,B) hold on axis equal %由以(ax,ay),(bx,by)为端点的线段生成新的中间三点坐标并把这五点横、纵坐标依次分别存%储在数组A,B中 function [A,B]=sub_koch1(ax,ay,bx,by) cx=ax+(bx-ax)/3; cy=ay+(by-ay)/3; ex=bx-(bx-ax)/3; ey=by-(by-ay)/3; L=sqrt((ex-cx).^2+(ey-cy).^2); alpha=atan((ey-cy)./(ex-cx)); if (ex-cx)<0 alpha=alpha+pi; end dx=cx+cos(alpha+pi/3)*L; dy=cy+sin(alpha+pi/3)*L; A=[ax,cx,dx,ex,bx]; B=[ay,cy,dy,ey,by];

计算机辅助几何造型技术

以下为论述题：曲线曲面的基表示如何分类？怎样判别其中的系数矢量是绝对矢量还是相对矢量？ PDF 55页56页贝齐尔曲线具有哪些性质？哪些性质可以推广到张量积贝齐尔曲面？ 138页 168页一条B 样条曲线由哪些量决定？ 231页232页 B 样条曲线的局部几何性质？ 236页237页几何不变性的概念？隐方程、显方程、参数矢函数表示的曲线曲面各具有怎样的几何不变性？ 56页28页29页 k 次B 样条的定义域和支撑区间是什么？由一条k 次B 样条曲线的定义域又是什么？ 232页233页237页如何构造一条C 2连续的组合参数三次曲线？计算题：给定圆[]()πθθθθ20,0sin cos )(≤≤=R R p ，将其改写为部分规范基与规范基表示？规范基：ρ(θ)=Rcos θi +Rsin θj +(1?Rcos θ?Rsin θ)0 部分规范基：ρ(θ)=Rcos θi +Rsin θj +10 (其中i ，j 是x 轴和y 轴方向上的单位矢量，0是0矢量，具体思想见PDF57页)

给定一组三次贝齐尔曲线的控制顶点，分别用递推计算与作图法求：（1）曲线上的点及其一阶切矢。（2）曲线上由两点间界定的子曲线段的贝齐尔点。（3）升阶一次后的贝齐尔曲线。（本题为课后第五章练习题12题，做法可参考PDF153页的例题，但第二小题有区别）（1） b 01= 1?13 b 0+13b 1= ?5,2 b 11= 1?13 b 1+13b 2 = ?1,6 b 21= 1?13 b 2+13b 3 = 4,4 b 02= 1?1 b 01+1b 11= ?11,10 b 12= 1?13 b 11+13b 21= 23,163 p (13)=b 03= 1?13 b 02+13b 12= ?209 ,4 p′(t )=n (b 1n?1?b 0n?1) 因为是4个顶点，所以n=3： p′(13 )=3(b 12?b 02)=[13,6] （2）（具体思想见166页168页）。对应于t ∈(13 ,1)区间的子曲线段的贝齐尔点为b 03，b 12，b 21，b 3，为了不混淆，取 d 0=b 03，d 1=b 12 ，d 2=b 21 ，d 3=b 3。把(13,1)区间作为整体区间，引入参数u ，原曲线上t =23的点等同于子曲线段上u =(2/3?1/3)/(1?1/3)=1/2的点。再用递推算法求： d 01= 1?1 d 0+1d 1= ?7,14 d 11= 1?12 d 1+12d 2= 73,143

第6讲分形几何学

第6讲分形几何学主要内容：一、概述二、分维的测定方法（重点内容）三、分维应用实例（重点内容）四、问题讨论一、概述分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，被誉为大自然的几何学，它是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。分形理论与动力系统的混沌理论交叉结合，相辅相成。分形理论是用来研究自然界中没有特征长度但又具有自相似性的图形和现象。自然界的许多事物和现象均表现出极为复杂的形态，并非是一种严格的数学分形，而是具有统计意义上的自相似性。分形几何学是应用数学的一个重要组成部分，在数学、物理、化学、生物、医学、地质、材料、工程技术等学科中得到广泛的应用。近年来，对分形几何的研究发展很快，在—些前沿课题上取得了较大的进展。 1、基本概念（1）整数维与分数维 “维”(dimension)是几何学及空间理论的基本概念，是能有效度量几何物体的标准体所需要的独立坐标的数目，是表示几何体形状与分布特征的重要参数。在拓朴学和欧几里得几何学中，维数只能是整数。如直线是一维的，平面是二维的，普通空间是三维的。如果在三维空间中引入直角坐标，就可用三个实数

(x，y，Z)代表空间的一点：n维空间的一点一般可用n个实数(x1，x2,…，xn)来表示。在相对论中，所讨论的时空是四维空间，时空的点，可用坐标(x，y，z,t)来表示，其中t表示时间。可见时空空间的维数也是整数。然而，欧氏空间只是对现实空间的一个最简单的近似描述。正如B．B．Mandelbrot在其1982年出版的《自然分形几何学》一书中所说：“山峰并不是圆锥形，海岸线不是圆弧形，闪电的传播也不是直线的”。为了更确切地描述自然界的无规则现象，法国数学家Benoit B．Mandelbrot于1977年首次提出了不是整数的维数——分数维(fractal dimension)的新概念。例如,英国海岸线的维数D为1.25，宇宙中物质分布的D为1.2。研究表明，凡是可用分数维描述的几何对象，都具有自相似性。（2）自相似性与无标度区所谓自相似性(self-similarity)，是指事物或现象中局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义上的相似性。自然界中的许多客体，如云朵、山脉、海岸线、树、肺脏，甚至描述经济现象的图形，都具有“自相似性”，即局部与整体的形状相似，局部的局部也与整体相似。例如，一段用放大的比例尺画出来的海岸线与整条海岸线形状是相似的；一棵树干分为二支，每支又分为二支——这棵树的局部与整体的形状相似。事实上，地质体大多具有自相似性，一条断层可能以不同比例尺存在，而其外表却十分相像。因此，地质学家长期以来凭直觉认识到了这一基本事实，从而形成了一个不言而喻却是不可改变的原则，即任何地质体的照片必须附上一个比例尺参照物，在野外拍摄的地质照片中通常附上已知尺寸的某种普通物品，例如铅笔、地质锤或人体。自然界事物自相似性只在一定尺度范围内才能出现，这个具有自相似性的范围叫做无标度区。在无标度区内，放大或缩小几何对象的尺寸，整个结构并不改变，即其形状与标度无关。在无标度区外，自相似现象不存在。