高中数学 1.3.1函数的最大(小)值精讲精析 新人教A版必修1

课题：1.3.1 函数的最大（小）值

精讲部分

学习目标展示

1. 理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义；

2. 会由函数的单调性及函数的图象求函数的最值；

3. 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 衔接性知识

1. 已知函数()(0)f x kx b k =+≠是增函数，则实数k 的取值范围是(0,)+∞；()f x 是

减函数，则实数k 的取值范围是(,0)-∞

2. 函数()f x =

[2,)+∞，减区间为(,0]∞-

3. 画出函数()1x

f x x =

+的图象并写出函数的单调区间 解：(1)11()1111x x f x x x x +-===-+++，将1y x

=-的图象先向左平移1个单位，然后再向上平移1个单位就得到了()1x

f x x

=+的图象

由图象可知，()1x

f x x

=+在(1,)-+∞与(,1)-∞-上均递增，所

以单调增区间为(1,)-+∞和(,1)-∞-

基础知识工具箱

典例精讲剖析

例1. 一个星级旅馆有150个标准房，经过一段时间的经营，经理得到一些定价和住房率的数据如下：

解：设y 为旅馆一天的客房总收入，x 为与房价160相比降低的房价，因此当房价为

)160(x -元时，住房率为)%1020

55(?+

x

.于是得 150(5510)%(160)20x y x =?+??-2375

132042x x =-++23(25)13688.754x =--+

由已知，得(5510)%120x

+?≤，解得090x ≤≤ 所以当x =25时y 取得最大值13688.75（元），此时房价定位应是160－25=135（元），相应的住房率为67.5%，最大住房总收入为13668.75（元）． 所以该客房定价应为135元． 例2.已知函数1

()([2,6])1

x f x x x +=

∈- （1）判断()f x 的单调性，并证明；（2）求()f x 的最大值与最小值 解：（1）1(1)22

()1111

x x f x x x x +-+=

==+---，由21y x =-在[2,6]递减，可知()f x 在

[2,6]递减。证明如下：

设1226x x ≤<≤，则

121222

()()(1)(1)11f x f x x x -=+

-+-- 21122[(1)(1)](1)(1)x x x x ---=

-- 21122()(1)(1)

x x x x -=-- 由1226x x ≤<≤，得210x x ->，12(1)(1)0x x -->，所以12()()0f x f x -> 即12()()f x f x <，从而()f x 在[2,6]递减 （2）由（1）知，()f x 在[2,6]递减 所以()f x 的最小值min 617(6)615y f +==

=-，()f x 的最大值max 21

(2)321

y f +===- 例3. 已知函数22()x x a

f x x

++=，若对任意[1,)x ∈+∞，()0f x >恒成立，试求实数a

的取值范围

解：对任意[1,)x ∈+∞有()0f x >恒成立2

20x x a ?++>对任意[1,)x ∈+∞恒成

立22a x x ?>--对任意[1,)x ∈+∞恒成立，设2()2g x x x =--，则max [()]a g x > 而22()2(1)1g x x x x =--=-+-，由()g x 的图象可知，()g x 在[1,)+∞上是减函数

∴当1x =时，max [()](1)3g x g ==-，

于是当且仅当3a >-时，函数f (x )＞0恒成立，即实数a 的取值范围为(3,)-+∞. 例4.已知函数2()23([,2])f x x x x t t =--∈+ （1）若2t =-，求()f x 的最小值；（2）若1

2

t =-

，求()f x 的最小值；（3）若2t =，求()f x 的最小值；（4）若t R ∈时，()f x 的最小值为()g t ，求()g t 的表达式

解：∵22()23(1)4f x x x x =--=--，∴对称轴1x =，

()f x 的图象如图：

（1）若2t =-，则()f x 在[2,0]-上递减，()f x 的最小值 为(0)3f =-； （2）若12t =-

，则()f x 在1[,1]2-上递减，()f x 在3

[1,]2

上递减，所以()f x 的最小值 为(1)4f =-；

（3）若2t =，则()f x 在[2,4]上递增，()f x 的最小值为(2)3f =-； （4）当21t +≤即1t ≤-时，()f x 在[,2]t t +上递减，()f x 的最小值为

2(2)23f t t t +=+-.

当1t ≥时，()f x 在[,2]t t +上递增，()f x 的最小值为2

()23f t t t =--.

当12t t <<+即11t -<<时，则()f x 在[,1]t 上递减，()f x 在[1,2]t +上递减，所以()f x 的最小值为(1)4f =-，

从而()g t 的表达式为2223

(1)()4

(11)23(1)

t t t g t t t t t ?+-≤-?

=--<

精练部分

A 类试题（普通班用）

1. 函数y ＝3x ＋2

x －2

(x ≠2)的值域是( )

A ．[2，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．{y |y ∈R 且y ≠2}

D ．{y |y ∈R 且y ≠3} [答案] D

[解析] y ＝3x ＋2x －2＝3(x －2)＋8x －2＝3＋8x －2，由于8

x －2

≠0，∴y ≠3，故选D.

2．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3

x

(x ∈[2，＋∞))，

(1)证明函数f (x )为增函数．(2)求f (x )的最小值．

[解析] 将函数式化为：f (x )＝x ＋3

x

＋2

(1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2，

f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－

3

x 1x 2

)．

∵x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，

又∵x 1≥2，x 2＞2，∴x 1x 2＞4,1－

3

x 1x 2

＞0.

∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即：f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数． (2)当x ＝2时，f (x )有最小值11

2

3．求函数f (x )＝－x 2

＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值．

[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．

（1）∵f (x )＝－x 2

＋|x |＝?

????

－x 2

＋x (x ≥0)－x 2

－x (x ＜0)

即f (x )＝?????

－(x －12)2＋1

4

(x ≥0)－(x ＋12)2

＋1

4

(x ＜0)

作出其在[－1,2]上的图象如图所示

由图象可知，f (x )的递增区间为(－∞，－12)和[0，12]，递减区间为[－12，0]和[1

2，＋

∞)．

（2）由图象知：当x ＝－12或12时，f (x )max ＝1

4，当x ＝2时，f (x )min ＝－2

4．已知[1,](1)A b b =>，对于函数21

()(1)12

f x x =-+，若()f x 定义域与值域均为A ,求b 的值

解：函数2()(2)1f x x =-+的图象是开口方向向上，顶点坐标是(1,1)，对称轴是1x =的抛物线．因此，当[1,]x b ∈时，()f x 是增函数． ∴当x b =时，()f x 取最大值()f b ，故()f b b =，即

21

(1)12

b b -+=, 整理得2

430b b -+=，解得1b =或3b =.

∵1b >,∴3b =

5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝???

??

400x －12x 2(0≤x ≤400)，

80000 (x ＞400)，

其中x 是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

[解析] (1)设月产量为x 台，则总成本为u (x )＝20000＋100x ，从而f (x )＝R (x )－u (x )， 即f (x )＝?????

－12

x 2＋300x －20000(0≤x ≤400)，

60000－100x (x ＞400).

(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12

(x －300)2

＋25000，

∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )＜60000

－100×400＝20 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000.

B 类试题（3+3+4）（尖子班用）

1．函数f (x )＝???

??

2x ＋6 x ∈[1，2]x ＋7 x ∈[－1，1]

，则f (x )的最大值、最小值分别为( )

A ．10,6

B ．10,8

C ．8,6

D ．以上都不对

[答案] A

[解析] 分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者，最小值为各段上最小值中的最小者．当1≤x ≤2时，8≤2x ＋6≤10，当－1≤x ≤1时，6≤x ＋7≤8.∴f (x )min ＝f (－1)＝6，

f (x )max ＝f (2)＝10.故选A.

2. 函数y ＝3x ＋2

x －2

(x ≠2)的值域是( )

A ．[2，＋∞)

B ．(－∞，2]

C ．{y |y ∈R 且y ≠2}

D ．{y |y ∈R 且y ≠3} [答案] D

[解析] y ＝3x ＋2x －2＝3(x －2)＋8x －2＝3＋8x －2，由于8

x －2≠0，∴y ≠3，故选D.

3．已知函数f (x )＝x 2

＋bx ＋c 的图象的对称轴为直线x ＝1，则( )

A ．f (－1)

B ．f (1)

C ．f (2)

D ．f (1)

[解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线x ＝1，所以f (－1)＝f (3)．又函数f (x )的图象为开口向上的抛物线，知f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数，故f (1)

4. 函数y ＝|x －3|－|x ＋1|有的最大值 ，最小值 [解析] y ＝|x －3|－|x ＋1|＝????

?

－4 (x ≥3)2－2x (－1＜x ＜3)

4 (x ≤－1)，画出函数的图象，可知y ∈[－

4,4]，从而最大值为4-，最小值为4

5. 函数y ＝－x 2

－10x ＋11在区间[－1,2]上的最小值是________． [答案] －13

[解析] 函数y ＝－x 2

－10x ＋11＝－(x ＋5)2

＋36在[－1,2]上为减函数， 当x ＝2时，y min ＝－13.

6. 已知二次函数2()21f x ax ax =++在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________ [答案]

1

3

或5- [解析]22()21(1)1f x ax ax a x a =++=++-，对称轴1x =-，

当0a >时，图象开口向上，在[－2,3]上的最大值为2(3)(31)16f a a =++-=，所以

13

a =

； 当0a <时，图象开口向下，在[－2,3]上的最大值为(1)16f a -=-=，所以5a =-

7.已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋3

x

(x ∈[2，＋∞))，

(1)证明函数f (x )为增函数．(2)求f (x )的最小值．

[解析] 将函数式化为：f (x )＝x ＋3

x

＋2

(1)任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1＜x 2，

f (x 1)－f (x 2)＝(x 1－x 2)(1－

3

x 1x 2

)．

∵x 1＜x 2， ∴x 1－x 2＜0，

又∵x 1≥2，x 2＞2，∴x 1x 2＞4,1－

3

x 1x 2

＞0.

∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即：f (x 1)＜f (x 2)． 故f (x )在[2，＋∞)上是增函数． (2)当x ＝2时，f (x )有最小值11

2

.

8. 求函数f (x )＝－x 2

＋|x |的单调区间．并求函数y ＝f (x )在[－1,2]上的最大、小值．

[解析] 由于函数解析式含有绝对值符号，因此先去掉绝对值符号化为分段函数，然后作出其图象，由图象便可以直观地判断出其单调区间．再据图象求出最值．

（1）∵f (x )＝－x 2

＋|x |＝?

????

－x 2

＋x (x ≥0)－x 2

－x (x ＜0)

即f (x )＝?????

－(x －12)2＋1

4

(x ≥0)－(x ＋12)2

＋1

4

(x ＜0)

作出其在[－1,2]上的图象如图所示

由图象可知，f (x )的递增区间为(－∞，－12)和[0，12]，递减区间为[－12，0]和[1

2，＋

∞)．

（2）由图象知：当x ＝－12或12时，f (x )max ＝1

4

，当x ＝2时，f (x )min ＝－2.

9. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝???

??

400x －12x 2(0≤x ≤400)，

80000 (x ＞400)，

其中x 是仪器的月产量．

(1)将利润表示为月产量的函数f (x )；

(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益＝总成本＋利润)

[解析] (1)设月产量为x 台，则总成本为u (x )＝20000＋100x ，从而f (x )＝R (x )－u (x )， 即f (x )＝?????

－12

x 2＋300x －20000(0≤x ≤400)，

60000－100x (x ＞400).

(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12

(x －300)2

＋25000，

∴当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60000－100x 是减函数，f (x )＜60000－100×400＝20 000.∴当x ＝300时，f (x )的最大值为25 000. 10. 已知[1,](1)A b b =>，对于函数21

()(1)12

f x x =-+，若()f x 定义域与值域均为A ,求b 的值

解：函数2

()(2)1f x x =-+的图象是开口方向向上，顶点坐标是(1,1)，对称轴是1x =的抛物线．因此，当[1,]x b ∈时，()f x 是增函数． ∴当x b =时，()f x 取最大值()f b ，故()f b b =，即

21

(1)12

b b -+=, 整理得2

430b b -+=，解得1b =或3b =.

∵1b >,∴3b =