第八篇-立体几何：第1讲-空间几何体的结构、三视图和直观图

第1讲空间几何体的结构、三视图和直观图

1．几何体的展开图、几何体的三视图仍是高考的热点．

2．三视图和其他的知识点结合在一起命题是新教材中考查学生三视图及几何量计算的趋势．

【学习指导】

1．学习中，要重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．

2．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长(正)方体、三棱锥等几何体的三视图．

基础梳理

1．多面体的结构特征

(1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的结构特征

(1)圆柱可以由矩形绕一边所在直线旋转一周得到．

(2)圆锥可以由直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周得到．

(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线旋转一周或等腰梯形绕上下底面中心所在直线旋转半周得到，也可由平行于底面的平面截圆锥得到．

(4)球可以由半圆面绕直径旋转一周或圆面绕直径旋转半周得到．

3．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用平行投影得到，这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是全等和相等的，三视图包括正视图、侧

视图、俯视图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：

(1)画几何体的底面

在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°或135°，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半．

(2)画几何体的高

在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．

一个规律

三视图的长度特征：“长对正，宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．

两个概念

(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)下列说法正确的是()．

A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱

B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

C．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥

D．棱台各侧棱的延长线交于一点

答案 D

2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )．

A ．圆柱

B ．圆锥

C ．球体

D ．圆柱、圆锥、球体的组合体解析当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

答案 C

3．(2011·陕西)某几何体的三视图如图所示，则它的体积是( )．

A ．8－2π3

B ．8－π3

C ．8－2π D.2π3

解析圆锥的底面半径为1，高为2，该几何体体积为正方体体积减去圆锥体积，

即V ＝22×2－13×π×12×2＝8－23π，正确选项为A.

答案 A

4．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是

( )．

解析所给选项中，A 、C 选项的正视图、俯视图不符合，D 选项的侧视图不符

合，只有选项B 符合．

答案 B

5．(2011·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)则该几何体的体积为________m 3.

解析由三视图可知该几何体是组合体，下面是长方体，长、宽、高分别为3、2、1，上面是一个圆锥，底面圆半径为1，高为3，所以该几何体的体积为3×2×1＋13π×3＝6＋π(m 3)．

答案 6＋π

考向一空间几何体的结构特征

【例1】?(2012·天津质检)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是( )．

A ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等

B ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补

C ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆

D ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上

[审题视点] 可借助几何图形进行判断．

解析如图

，等腰四棱锥的侧棱均相等，其侧棱在底面的射影也相等，则其腰与底面所成角相等，即A 正确；底面四边形必有一个外接圆，即C 正确；在高线上可以找到

一个点O，使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等，这个点即为外接球的球心，即D正确；但四棱锥的侧面与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立)．故仅命题B为假命题．选B.

答案 B

三棱柱、四棱柱、正方体、长方体、三棱锥、四棱锥是常见的空间几何体，也是重要的几何模型，有些问题可用上述几何体举特例解决．

【训练1】以下命题：

①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；

②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；

③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．

其中正确命题的个数为()．

A．0 B．1 C．2 D．3

解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②错，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．

答案 B

考向二空间几何体的三视图

【例2】?(2011·全国新课标)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为()．

[审题视点] 由正视图和俯视图想到三棱锥和圆锥．

解析由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体应为一个半圆锥和一个有一侧面(与半圆锥的轴截面为同一三角形)垂直于底面的三棱锥的组合体，故其侧视图应为D.

答案 D

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

【训练2】 (2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )．

解析 A 中正视图，俯视图不对，故A 错．B 中正视图，侧视图不对，故B 错．C 中侧视图，俯视图不对，故C 错，故选D.

答案 D

考向三空间几何体的直观图

【例3】?已知正三角形ABC 的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )． A.34a 2 B.38a 2 C.68a 2 D.616a 2

[审题视点] 画出正三角形△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′，求△A ′B ′C ′的高即可．

解析如图①②所示的实际图形和直观图．

由斜二测画法可知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，

在图②中作C ′D ′⊥A ′B ′于D ′，

则C′D′＝

2O′C′＝

8a.

∴S

△A′B′C′＝

2A′B′·C′D′＝

2×a×

8a＝

16a

答案 D

直接根据水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法规则即可得到平面图形的面积是其直观图面积的22倍，这是一个较常用的重要结论．

【训练3】如图，

矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是()．

A．正方形B．矩形

C．菱形D．一般的平行四边形

解析

将直观图还原得?OABC，则

∵O′D′＝2O′C′＝2 2 (cm)，

OD＝2O′D′＝4 2 (cm)，

C′D′＝O′C′＝2 (cm)，∴CD＝2 (cm)，

OC＝CD2＋OD2＝22＋(42)2＝6 (cm)，

OA＝O′A′＝6 (cm)＝OC，

故原图形为菱形．

答案 C

阅卷报告9——忽视几何体的放置对三视图的影响致错

【问题诊断】空间几何体的三视图是该几何体在两两垂直的三个平面上的正投影.同一几何体摆放的角度不同，其三视图可能不同，有的考生往往忽视这一点.

【防范措施】应从多角度细心观察.

【示例】?一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的________(填入所有可能的几何体前的编号)．

①三棱锥；②四棱锥；③三棱柱；④四棱柱；⑤圆锥；⑥圆柱．

错因忽视几何体的不同放置对三视图的影响，漏选③.实录①②⑤

正解①三棱锥的正视图是三角形；②当四棱锥的底面是四边形放置时，其正视图是三角形；③把三棱柱某一侧面当作底面放置，其底面正对着我们的视线时，它的正视图是三角形；④对于四棱柱，不论怎样放置，其正视图都不可能是三角形；

⑤当圆锥的底面水平放置时，其正视图是三角形；⑥圆柱不论怎样放置，其正视图也不可能是三角形．

答案①②③⑤

【试一试】(2011·山东)右图是

长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图，俯视图如右图．其中真命题的个数是()．

A． 3 B．2

C．1 D．0

[尝试解答]如图①②③的正(主)视图和俯视图都与原题相同，故选A.

答案A

理科数学2010-2019高考真题分类训练专题八立体几何第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案

专题八立体几何初步第二十二讲空间几何体的三视图、表面积和体积答案部分 2019年 1.解析该模型为长方体1111ABCD A B C D -，挖去四棱锥O EFGH -后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H ，分别为所在棱的中点，6cm AB BC ==， 14cm AA =，所以该模型体积为： 1111311 664(46432)314412132(cm )32 ABCD A B C D O EFGH V V ---=??-??-????=-=， 3D 打印所用原料密度因为为30.9g /cm ，不考虑打印损耗，所以制作该模型所需原料的质量为：1320.9118.8(g)?=． 2.解析因为长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，所以11111120ABCD A B C D V AB BC DD -=??=，所以三棱锥E BCD -的体积： 111332E BCD BCD V S CE BC DC CE -=??=????=V 11 1012 AB BC DD ???=. 3.解析由题可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得，正四棱锥的高为2. 因为圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，则圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于 1 2 ，由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半，为1. 所以该圆柱的体积为2 1124V Sh π?? ==π?= ??? . 4.解析：由PA PB PC ==及ABC △是边长为2的正三角形可知，三棱锥P ABC -为正三棱锥，

2020高考数学三视图汇编(供参考)

高考立体几何三视图 1（2017全国卷二理数）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A ．π90 B ．π63 C ．π42 D ．π36 【答案】B 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半． 2（2017北京文数）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 A 60 B 30 C 20 D 10 【答案】D 【解析】该几何体是如图所示的三棱锥P-ABC ，由图中数据可得该几何体的体积为115341032V =????= 3（2017北京理数）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为 A 3 B 2 C 2 D 2 【答案】B 【解析】如下图所示，在四棱锥-P ABCD 中，最长的棱为PA ，所以2222=2(22)23+=+=PA PC AC ，故选B ． 4（2017山东理数）由一个长方体和两个14 圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为。【答案】2+2π 【解析】由三视图可知，长方体的长、宽、高分别是2、1、1，圆柱的高为1，底面半径为1，所以 2121121=2+42 V ππ?=??+?? 5（2017全国卷一理数）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A ．10 B ．12 C ．14 D ．16 【答案】B 232

【解析】由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为12(24)2122?+??=，故选B. 6（2017浙江文数）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是（） A. π+12 B. π+32 C. 3+12π D. 3π+32 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体由一个三棱锥和半个圆锥组合而成，圆锥的体积为2111π13232V π=????=，三棱锥的体积为2111213322 V =????=，所以它的体积为12π122V V V =+= + 7．（2016全国卷1文数）如图所示，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是（）． A ．17π B ． 18π C ． 20π D ． 28π 【答案】B 【解析】由三视图可知该几何体是78 个球（如图所示），设球的半径为R ，则374π28π833V R =?=得R=2，所以它的表面积是22734π2+21784S 表ππ=????= 8．（2016全国卷2文数）右图是圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ). A.20π B.24π C.28π D.32π 【答案】C 【解析】由题意可知，圆柱的侧面积为12π2416S π =??= 圆锥的侧面积为212π2482S π=???=

立体几何中三视图

2013届高三三轮立体几何专题训练（二） —空间几何体点、线、面位置关系三视图 1．一梯形的直观图是一个如右图所示的等腰梯形，且该梯形面积为2，则原梯形的面积为( ) A ．2 B. 2 C ．2 2 D ．4 2．已知直线l ⊥平面α，直线m ∈平面β，则“//l m ”是“αβ⊥”的（） A 、充要条件 B 、必要条件 C 、充分条件 D 、既不充分又不必要条件 3．m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四命题：① 若γαβα//,//，则γβ//； ②若αβα//,m ⊥，则β⊥m ； ③ 若βα//,m m ⊥，则βα⊥； ④若α?n n m ,//，则α//m . 其中真命题的序号是（） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 4．设,m n 是不同的直线，,αβ是不同的平面，下列命题中正确的是（） A ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥ B ．若//,,m n m n αβ⊥⊥，则//αβ C ．若//,,//m n m n αβ⊥，则α⊥β D ．若//,,//m n m n αβ⊥，则//αβ 5．将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD a = ，则三棱锥D ABC -的体积为( ) A. 36a B. 312a C. D. 3 12 6．已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（） A 、6 B 、6 C 、3 D 、2 7．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12P P 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值是（） A ．124 B ．112 C ．16 D ．12 8．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，并且总保持AP ⊥BD 1,则动点P 的轨迹为（） A 、线段 B 1 C B 、 BB 1的中点与CC 1中点连成的线段 C 、线段BC 1 D 、CB 中点与B 1C 1中点连成的线段

立体几何三视图[高考题精选]

三视图强化练习（13）10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。（12）7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 （11理）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是A．8 B．62C．10 D．82 （11文）5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．16+162C．48 D．16+322

（13）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （13）5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（） A 、5603 B 、5803 C 、200 D 、240 （13）8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<<

（13全国新课标1）8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 16+ （A）8π 8+ （B）8π 16+ （C）π61 8+ （D）16π -中的坐标分别是(1,0,1)，（13全国新课标2）7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到正视图可以为（） (A) (B) (C) (D) （12天津）（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m）,则该几何体的体积3 m. （11东城二模）（4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为

高中数学立体几何三视图专题资料讲解

高中数学立体几何三视图专题

主视图左视图俯视图 3 4 2 俯视图主视图左视图《三视图》 1.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如左图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 2.一个几何体的三视图如右图所示，其中，主视图中△ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为 3.知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是___________cm 3．（第4题） 4（山东卷6）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 5四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图，则四棱锥P ABCD - 的表面积为__ ▲ . 3 4 2 俯视图主视图左视图 2 2 主视图 2 4 左视图俯视图（第3图）主视图左视图（第7题

（第6题） 6一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示则该三棱锥的外接球的表面积为． 7一个几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图均为上底为2，下底为4，腰为5 的等腰梯形，俯视图为一圆环，则该几何体的体积为． 8.（课本改编题，新增内容）右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为 9据图中尺寸（单位：cm ），可知这个几何体的表面积是（第9题）（第8题） 10图是一个空间几何体的三视图，其主视图、左视图均为正三角形，俯视图为圆，则该几何体的侧面积为 ▲ . 2 2 2 C 2 3 1 3 （第7 主视图左视图俯视图 2 2 （第6

专题：立体几何三视图

专题：空间几何体的结构及其三视图高考中对空间几何体的三视图，主要考查同学们识图、画图的能力、空间想象能力以及运算求解能力等基本能力。因此，首先要熟练掌握三视图的概念和画图要求，其次要熟悉柱、锥、台、球各种基本几何体和它们组成的简单组合体，第三要熟练各种几何体的表面积、体积的计算公式和方法，最后要熟悉如下几种基本题型。知识纵横 1、空间几何体的三视图定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 2、空间几何体的直观图——斜二测画法斜二测画法特点：①原来与x 轴平行的线段仍然与x 平行且长度不变； ②原来与y 轴平行的线段仍然与y 平行，长度为原来的一半。直观图与原图面积之比为1： 3、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表（3）柱体、锥体、台体的体积公式： V Sh =柱 1 3 V Sh =锥（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π 考点剖析一．明确要求 1.了解和正方体、球有关的简单组合体的结构特征，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等简易组合)的三视图，会用斜二测画法画出它们的直观图． 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图或直观图，了解空间图形的不同表示形式． 4.能识别三视图所表示的空间几何体；理解三视图和直观图的联系，并能进行转化. 二．命题方向 1.三视图是新增加的内容，是高考的热点和重点，几乎年年考． 2.柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征及性质是本节内容的重点，也是难点．

立体几何题型归类总结

立体几何题型归类总结(总8 页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除

立体几何专题复习 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ① ???????? →???????→?? ??? 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为正方形 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★② r =d 、球的半径为R 、截面的半径为r ） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切.

注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：2 3 44,3 S R V R ππ== 球球（其中R 为球的半径）

俯视图二、【典型例题】考点一：三视图 1．一空间几何体的三视图如图1所示,则该几何体的体积为_________________. 第1题 2.若某空间几何体的三视图如图2所示，则该几何体的体积是________________. 第2题第3题 3．一个几何体的三视图如图3所示，则这个几何体的体积为 . 4．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图4所示，则此几何体的体积是 . 第4题第5题 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视 3 俯视图 1 1 2 a

高考数学一轮复习第七章立体几何7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图课时提升作业理

空间几何体的结构及其三视图和直观图 (25分钟60分) 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.下列结论正确的是( ) A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解析】选 D.A错误,如图所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是三棱锥; B错误,如图,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边,所得的几何体都不是圆锥; C错误,若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长. 2.已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示,给出下列5个图形: 其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个【解析】选B.根据正视图与侧视图的画法知④不能作为俯视图,故选B. 【加固训练】(2016·忻州模拟)某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是( )

【解析】选C.依题意,此几何体为组合体,若上下两个几何体均为圆柱,则俯视图为A; 若上边的几何体为正四棱柱,下边几何体为圆柱,则俯视图为B; 若俯视图为C,则正视图中应有实线或虚线,故该几何体的俯视图不可能是C; 当上边的几何体为底面是等腰直角三角形的直三棱柱,下面的几何体为正四棱柱时,俯视图为D. 3.(2016·衡阳模拟)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( ) 【解析】选D.如图所示,点D1的投影为C1,点D的投影为C,点A的投影为B,故选D. 【加固训练】用一个平行于水平面的平面去截球,得到如图所示的几何体,则它的俯视图是图中的( ) 【解析】选B.截去的平面在俯视图中看不到,故用虚线,因此选B. 4.(2016·开封模拟)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )

立体几何三视图(高考题精选)

三视图强化练习（13北京）10．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。（12北京）7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+65 B. 30+65 C. 56+ 125 D. 60+125 （11北京理）7．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A．8 B．C．10 D．（11北京文）5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 A．32 B．C．48 D．

（13辽宁）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （13重庆）5、某几何体的三视图如题()5图所示，则该几何体的体积为（） A 、 5603 B 、580 3 C 、200 D 、 240 （13湖北）8、一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为1V ，2V ，3V ，4V ，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（） A. 1243V V V V <<< B. 1324V V V V <<< C. 2134V V V V <<< D. 2314V V V V <<<

高考复习三视图专题

高考复习：三视图专题 1．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的侧面积．．．为 A ． 43 3 B ．43 C ．8 D ．12 2．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为_______． 3．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积为 A ．61 B ．2 3 C ． 332+．332+ 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（） A ．383 cm B ．3 43cm C ．323cm D ．313 cm 主视图俯视图 2 32 左视图正视图俯视图侧视图

D C B A N M A B C D B 1 C 1 5．已知某几何体的三视图如右，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是（） A．3 4 3 cm B．3 8 3 cm C．3 2cm D．3 4cm 6．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、 1 C截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图（或称正视图）为（） 7．如图，在三棱柱 111 ABC A B C -中， 1 AA⊥平面ABC， 1 2, A A AC == 1,5 BC AB ==，则此三棱柱的侧（左）视图的面积为 A．2 B．4 C． 45 D．25 8．如图1，将一个正三棱柱截去一个三棱锥，得到几何体 DEF BC-，则该几何体的正视图（或称主视图）是 A． B． C． D． 9．一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图可以为 A．B．C．D．正视图俯视图第9题图正视图俯视图 2 2 侧视图 2 1 1 2 第5题图第7题图

高中数学立体几何三视图练习题

立体几何-三视图练习题 1.下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )． A ．①② B ．①③ C ．③④ D ．②④ 2.用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )． 3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是（） 4.在一个几何体的三视图中，正(主)视图和俯视图如图所示，则相应的侧(左)视图可以为( )． 5.如图，直观图所示的原平面图形是（） A.任意四边形 B.直角梯形 C.任意梯形 D.等腰梯形 6.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）

7. 一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为( ) A ．24 cm 3 B ．48 cm 3 C ．32 cm 3 D ．28 cm 3 第7题第8题 8.若正四棱锥的正(主) 视图和俯视图如图所示，则该几何体的表面积是( )． A ．4 B ．4＋410 C ．8 D ．4＋411 9.如下图是某几何体的三视图，其中正(主)视图是腰长为2的等腰三角形，侧(左)视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )． A ．π B ．.π 3 C ．3π D ．3π3 第9题第10题 10.已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）Ａ． 34000cm 3 Ｂ．3 8000cm 3 Ｃ．32000cm Ｄ．34000cm 11.3 ，且一个内角为60o 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（） A .23 B .43 C . 4 D . 8 E F D I A H G B C E F D A B C 侧视图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． B E D ．

空间几何体的结构(教学设计)

图 1.1-7 1.1（2）空间几何体的结构（教学设计）一、教学设计理念的背景及教学目标：（一）、教学背景：作为一线数学教师，我们不仅只是参加整合教材的实验，在日常教学中摸索和体会信息技术与数学教学整合的经验，更重要的是要合理运用现代信息技术，身体力行地去优化数学课堂教学并不断从中获益。在信息技术与高中数学教学整合的实践中，我们在了解学生的基础上，首先确定哪些内容最适宜整合，然后考虑采用怎样的形式与方式整合，探索最佳整合点，寻找最佳切入口，为学生学习建构高中数学知识创设情境，搭建舞台。（二）、教学目标 1．知识与技能（1）通过图片观察和实物操作，增强学生的直观感知。（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。（3）会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。 2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。 3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。三、教学过程（一）复习回顾： 1、棱柱、棱锥、棱台的结构特征面、顶点、棱等。（二）创设情境，新课引入：上节课我们学习了两类几何体：多面体、旋转体．也研究了几种具体的多面体的结构特征，本节课我们再来研究几种旋转体的结构特征．（三）师生互动，讲解新课： 1．圆柱的结构特征如书上图1-1的（1），让学生思考它是由什么旋转而得到的。它的平面图如下（图1），我们可以发现这个旋转体是以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三

(完整版)非常好高考立体几何专题复习

立体几何综合习题一、考点分析 1．棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 ①? ? ??????→?? ?????→? ? ?? L 底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱 ★ 底面为矩形底面为正方形侧棱与底面边长相等 2. 棱锥棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ★正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3 ．球球的性质： ①球心与截面圆心的连线垂直于截面； ★②r（其中，球心到截面的距离为 d、球的半径为R、截面的半径为r） ★球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决. B

1．求异面直线所成的角(]0,90θ∈??：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2求直线与平面所成的角[]0,90θ∈??：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。 3求二面角的平面角[]0,θπ∈ 解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）；三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。

立体几何及三视图

立体几何及三视图(四十八) 1．(优质试题·安徽东至二中段测)将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括() A．一个圆台、两个圆锥B．两个圆台、一个圆柱 C．两个圆台、一个圆锥D．一个圆柱、两个圆锥答案 D 解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥．故选D. 2．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是() A．正方体的三视图是三个全等的正方形 B．球的三视图是三个全等的圆 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 B 解析画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆． 3．如图所示，几何体的正视图与侧视图都正确的是() 答案 B 解析侧视时，看到一个矩形且不能有实对角线，故A，D排除．而正视时，有半个平面是没有的，所以应该有一条实对角线，且其对角线位置应为B中所示，故选B. 4．一个几何体的三视图如图，则组成该几何体的简单几何体为()

A ．圆柱和圆锥 B ．正方体和圆锥 C ．四棱柱和圆锥 D ．正方体和球答案 C 5．(优质试题·沧州七校联考)三棱锥S －ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB 的长为( ) A ．16 3 B.38 C ．4 2 D ．211 答案 C 解析由已知中的三视图可得SC ⊥平面ABC ，且底面△ABC 为等腰三角形．在△ABC 中，AC ＝4，AC 边上的高为23，所以BC ＝4.在Rt △SBC 中，由SC ＝4，可得SB ＝4 2. 6．(优质试题·衡水中学调研卷)已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为( ) A ．2 2 B ．6 2 C ．1 D. 2 答案 A 解析因为底面用斜二侧画法所画的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，所以在直角坐标系中，底面是边长为1和3的平行四边形，且平行四边形的一条对角线垂直于平行四边形的短边，此对角线的长为22，所以该四棱锥的体积为V ＝1 3×22×1×3＝2 2. 7.(优质试题·四川泸州模拟)一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如图所示，则该正四棱锥的正视图的面积为( ) A. 2 B. 3 C ．2 D ．4 答案 A

立体几何三视图练习

高考三视图专题训练课标文数8.G2[2011·卷] 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( ) 图1－1 A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817 D ．80 课标文数8.G2[2011·卷] C 【解析】由三视图可知本题所给的是一个底面为等腰梯形的放倒的直四棱柱(如图所示)，所以该直四棱柱的表面积为 S ＝2×1 2×(2＋4)×4＋4×4＋2×4＋2×1＋16×4＝48＋817. 课标理数6.G2[2011·卷] 一个空间几何体的三视图如图1－1所示，则该几何体的表面积为( ) 图1－1 A ．48 B ．32＋817 C ．48＋817 D ．80

图1－3 课标理数7.G2[2011·卷] 某四面体的三视图如图1－3所示，该四面体四个面的面积中最大的是( ) A ．8 B ．6 2 C ．10 D ．8 2 课标理数7.G2[2011·卷] C 【解析】由三视图可知，该四面体可以描述为SA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，且SA ＝AB ＝4，BC ＝3，所以四面体四个面的面积分别为10,8,6,62，从而面积最大为10，故应选C. 图1－4 课标文数 5.G2[2011·卷] 某四棱锥的三视图如图1－1所示，该四棱锥的表面积是( ) 图1－1 A ．32 B ．16＋16 2 C ．48 D ．16＋32 2 课标文数5.G2[2011·卷] B 【解析】由题意可知，该四棱锥是一个底面边长为4，高为2的正四棱锥，所以其表面积为4×4＋4×1 2 ×4×22＝16＋162，故选B. 课标理数7.G2[2011·卷] 如图1－2，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )

立体几何三视图(高考题精选)

三视图强化练习 (13 ) 10 . 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为 (12) 7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是( A. 28+6 ..5 B. 30+6 5 C. 56+ 12 (11理)7?某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是 A . 8 B. 6 ■ 2 C. 10 D. 8.2 (11文)5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是 5 D.60+12 , 5 A. 32 B . 16+16 - 2 C . 48D. 16+32 - 2 )

(13)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 & 一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别记为 V ，V 2，V 3，V 4，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面 (13) (13) 5、某几何体的三视图如题 560 580 240 5图所示，则该几何体的体积为( C 、200 —— I (13) 体，则有( A. V V 2 V 4 V 3 B. V 1 V 3 V 2 V 4 C. V 2 V 1 V 3 V 4 D. V 2 V 3 V 1 V 4

(11东城二模)(4)如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为 2,那么这个几何体的体积为 (13全国新课标1) 8、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (A) 16 8 n (B) 8 8 n (C ) 16 16 n (D) 8 16n (13全国新课标2) 7、一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz 中的坐标分别是(1,0,1)， (1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得 (B) (12) ( 10)一个几何体的三视图如图所示 (单则该几何体的体积 (D)

空间几何体的结构的教学设计

人教版必修2“空间几何体的结构(一)”的教学设计一、设计思想立体几何初步是几何学的重要组成部分，也是新课程改动较大的内容之一．《空间几何体的结构》是新课程立体几何部分的起始课程，是立体几何课程的重要内容，根据新课程的要求，这一部分的教学，就是加强几何直观的教学，适当进行思辨论证，引入合情推理．基于这样的要求，《空间几何体的结构》一课的设计，笔者以培养学生的几何直观能力，抽象概括，合情推理能力，空间想象能力为指导思想，运用建构主义教学原理，用观察实物抽象出空间图形----用文字描述空间图形-----用数学语言定义空间图形这三部曲来构建课堂主框架．每一个概念的得出都与实物相结合，让学生经历观察、归纳、分类、抽象、概括这一过程．整个设计从增强学生参与数学学习的意愿入手，在学生明确学习任务的基础上，在有序列地解决问题中展开学习，运用激活、展示、应用、和整合策略，以师、生、文本三者间的多维对话为手段，最终达到提高学生参与数学学习能力的目标，取得教学的实效性．过程中让学生体验有关的数学思想，提高学生自主学习、分析问题和解决问题的能力，培养学生合作学习的意识．二、教材分析本节课《空间几何体的结构》选自普通高中课程标准实验教科书《数学》人教A版必修2第一章的第一节，课标对空间几何体的结构的教学要求为：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构，发展几何直观能力．教材首先让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生将观察到的实物进行归纳、分类、抽象、概括，得出柱体、锥体、台体的结构特征，在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征．《省学科教学指导意见》将这一节内容安排为两课时，笔者的设计的是第一课时，本节内容在义务教育数学课程“空间与图形”已有所涉及，但要求不同，素材更为丰富，即区别在于学习的深度和概括程度．笔者认为教学时，不能认为这部分的要求是降低了，讲课时一带而过，要领会新课标的意图，加强几何直观的训练，在引导学生直观感受空间几何体结构特征的同时，学会类比，学会推理，学会说理．三、学情分析学生在义务教育阶段学习“空间与图形”时，已经认识了一些具体的棱柱（如正方体、长方体等），对圆柱、圆锥和球的认识也比较具体，能从具体的物体抽象出相应的几何体模型，但没有学习柱体、锥体的定义，只停留在“看”的层面．本节课对它们的研究的更为深入，给出了它们的结构特征．同时，还学习了棱台的有关知识，比义务教育阶段数学课程“空间与图形”部分呈现的组合体多，复杂程度也加大．学生在学习本课时，通过观察实物抽象出空间图形是容易的，但要上升到用数学语言定义空间图形就比较困难．所以笔者让学生在课前先做一些柱体、锥体、台体的模型，教学过程中，每一个空间图形的定义，都通过学生观察他们自己所做的模型，结合教师、教材提供的图片，再讨论得出．

2007-2018全国高考立体几何三视图汇总(文科)

2007-2018全国高考立体几何三视图汇总 1.【2007年新课标文8】已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（ B ） A ．34000cm 3 B ．38000cm 3 C ．32000cm D ．34000cm 2.【2009年新课标文11】一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位：2cm ）为（ A ）（A ）48122+ （B ）48242+ （C ）36122+ （D ）36242+ 3.【2012年新课标卷文7】如图，网格上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的体积为（ B ） A .6 B .9 C .12 D .18 20 20 正视图 20侧视图 10 10 20 俯视图

4.【2013年新课标卷Ⅰ文11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ） A .168π+ B .88π+ C .1616π+ D .816π+ 5.【2013年新课标卷Ⅱ文9】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为（ A ） (A) (B) (C) (D) 6. 【2014新课标卷Ⅰ卷文8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（ B ） A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 7. 【2015年新课标Ⅰ卷文11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( B ) （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

立体几何三视图问题分类

立体几何三视图问题分类一、由空间图形画三视图 1、一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确( ) 解析由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．答案 B 2、在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( ) 【解析】由正视图和俯视图知几何体的直观图是由一个半圆锥和一个三棱锥组合而成的，故侧视图选D. 3、如图，△ ABC 为三角形，AA '//BB ' //CC ' , CC ' CC '⊥平面ABC 且3AA '= 3 2 BB '=CC ' =AB,则多面体△ABC -A B C ''' CC ' 的正视图（也称主视图）是（）【答案】D

4.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体的俯视图为：答案：C 二、正方体 5.如图所示，E，F分别为正方体ABCD－A 1B1C1D1的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________(填序号)．解析由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．答案②③ 6.已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A.108cm3 B.100cm3 C.92cm3 D.84cm3 【解题指南】根据几何体的三视图,还原成几何体,再求体积. 【解析】选B.由三视图可知原几何体如图所示,

高中数学专题——立体几何专题.docx

专题三立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型 1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例 1（ 2008 高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为 6 的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和b的线段，则a b 的最大值为 A．22B．23C． 4D．25 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决．解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为 m, n, k ，由题意得m2n2k27 ，m2k26n 1 ， 1 k 2 a ， 1m2 b ，所以( a21)(b21)6 a2b28，∴ (a b)2a22ab b282ab8 a2b216 a b 4当且仅当 a b 2时取等号．

立体几何中的常见模型化方法

立体几何中的常见模型化方法建构几何模型的两个角度：一是待研究的几何体可与特殊几何体建立关联，二是数量关系有明显特征的几何背景. 例题一个多面体的三视图如图1所示，则该多面体的体积是 A. 23/3 B. 47/6 C.6 D.7 分析该几何体的三视图为3个正方形，所以可建构正方体模型辅助解答. 解图2为一个棱长为2的正方体. 由三视图可知，该几何体是正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V=8-2×1/3×1/2×1×1×1=23/3选A. 解后反思大部分几何体可通过对正方体或长方体分割得到，所以将三视图问题放在正方体或长方体模型中研究，能够快速得到直观图，并且线面的位置关系、线段的数量关系明显，计算简便. 变式1 已知正三棱锥P-A BC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两互相垂直，则球心到截面ABC的距离为____ 分析由于在正三凌锥P-ABC中，PA，PB，PC两两互

相垂直，所以可以将该正三棱锥看作正方体的一部分，构造正方体模型. 解构造如图3所示的正方体. 此正方体外接于球，正方体的体对角线为球的直径EP，球心为正方体对角线的中点O，且EP⊥平面ABC，EP与平面ABC相交于点F.由于FP为正方体体对角线长度的1/3，所以又OP为球的半径，所以OP=.故球心O到截面ABC的距离解后反思从正方体的8个顶点之中选取不共面的点，可构造出多种几何体，这些几何体可以分享正方体的结构特征. 变式2-个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 A.3π B.4π C.3π D.6π 分析将一个正方体切掉四个大的“角”，就可得到一个正四面体. 解如图4所示，构造一个棱长为1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，连接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，?t 四面体B1-ACD1为符合题意的四面体，它的外接球的直径AC1=，所以此正方体外接球的表面积S=4πR2=3π.选A. 解后反思正四面体的体积也可通过这种切割的方法求得.由图形分析可知，正四面体的体积是它的外接正方体体积的}.若正四面体的棱长为a，则其体积为