抽象函数常见题型解法综述
抽象函数常见题型解法综述
赵春祥
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题
例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f(x)的定义域。
解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2
x 满足412≤≤x
从而函数f(x)的定义域是[1,4]
评析:一般地,已知函数))((x f ?的定义域是A ,求f(x)的定义域问题,相当于已知
))((x f ?中x 的取值范围为A ,据此求)(x ?的值域问题。
例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21
[,-,求函数)]3([log 2
1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21
[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得411
1)21(3)21(2)3(log 1122
1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x
所以函数)]3([log 2
1x f -的定义域是]411
1[,
评析:这类问题的一般形式是:已知函数f(x)的定义域是A ,求函数))((x f ?的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知
)(x ?的值域B ,且A B ?,据此求x 的取值范围。例2和例1形式上正相反。
二、求值问题
例3. 已知定义域为+
R 的函数f(x),同时满足下列条件:①5
1
)6(1)2(=
=f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f(3),f(9)的值。
解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f +=
因为51)6(1)2(==f f ,,所以5
4
)3(-=f
又取3==y x
得5
8
)3()3()9(-=+=f f f
评析:通过观察已知与未知的联系,巧妙地赋值,取32==y x ,,这样便把已知条件5
1
)6(1)2(=
=f f ,与欲求的f(3)沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用技巧。
三、值域问题
例4. 设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。
解:令0==y x ,得2
)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。
若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在
实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。
由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有
0)]2
([)2()2()22()(2≥==+=x
f x f x f x x f x f
下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x ,
设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f
评析:在处理抽象函数的问题时,往往需要对某些变量进行适当的赋值,这是一般向特殊转化的必要手段。
四、解析式问题
例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x
x f x f +=-+1)1
()(,求f(x)的解析式。
解:在)1(1)1(
)(x x x f x f +=-+中以x
x 1
-代换其中x ,得: )2(12)11()1(x
x x f x x f -=--+-
再在(1)中以11
--x 代换x ,得
)3(1
2)()11(--=+--x x x f x f
)3()2()1(+-化简得:)
1(21
)(23---=x x x x x f
评析:如果把x 和x
x 1
-分别看作两个变量,怎样实现由两个变量向一个变量的转化是
解题关键。通常情况下,给某些变量适当赋值,使之在关系中“消失”,进而保留一个变量,是实现这种转化的重要策略。
五、单调性问题
例 6. 设f(x)定义于实数集上,当0>x 时,1)(>x f ,且对于任意实数x 、y ,有
)()()(y f x f y x f ?=+,求证:)(x f 在R 上为增函数。
证明:在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ,得2)]0([)0(f f = 若0)0(=f ,令00=>y x ,,则0)(=x f ,与1)(>x f 矛盾 所以0)0(≠f ,即有1)0(=f
当0>x 时,01)(>>x f ;当0
所以0)
(1
)(>-=
x f x f 又当0=x 时,01)0(>=f
所以对任意R x ∈,恒有0)(>x f
设+∞<<<∞-21x x ,则1)(01212>->-x x f x x ,
所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+= 所以)(x f y =在R 上为增函数。
评析:一般地,抽象函数所满足的关系式,应看作给定的运算法则,则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。
六、奇偶性问题
例7. 已知函数)0)((≠∈x R x x f ,对任意不等于零的实数21x x 、都有
)()()(2121x f x f x x f +=?,试判断函数f(x)的奇偶性。
解:取1121=-=x x ,得:)1()1()1(f f f +-=-,所以0)1(=f 又取121-==x x 得:)1()1()1(-+-=f f f ,所以0)1(=-f 再取121-==x x x ,则)()1()(x f f x f +-=-,即)()(x f x f =- 因为)(x f 为非零函数,所以)(x f 为偶函数。
七、对称性问题
例8. 已知函数)(x f y =满足2002)()(=-+x f x f ,求)2002()(11x f x f -+--的值。
解:已知式即在对称关系式b x a f x a f 2)()(=-++中取20020==b a ,,所以函数)(x f y =的图象关于点(0,2002)对称。根据原函数与其反函数的关系,知函数
)(1x f y -=的图象关于点(2002,0)对称。
所以0)1001()1001(11=-++--x f x f
将上式中的x 用1001-x 代换,得0)2002()(11=-+--x f x f
评析:这是同一个函数图象关于点成中心对称问题,在解题中使用了下述命题:设a 、b 均为常数,函数)(x f y =对一切实数x 都满足b x a f x a f 2)()(=-++,则函数
)(x f y =的图象关于点(a ,b )成中心对称图形。
八、网络综合问题
例9. 定义在R 上的函数f(x)满足:对任意实数m ,n ,总有)()()(n f m f n m f ?=+,且当x>0时,0 (1)判断f(x)的单调性; (2)设)}1()()(|){(2 2 f y f x f y x A >?=,, }1)2(|){(R a y ax f y x B ∈=+-=,,,若?=B A ,试确定a 的取值范围。 解:(1)在)()()(n f m f n m f ?=+中,令01 ==n m ,,得)0()1()1(f f f ?=,因为0)1(≠f ,所以1)0(=f 。 在)()()(n f m f n m f ?=+中,令x n x m -==, 因为当0>x 时,1)(0< 所以当0 所以01) (1 )(>>-= x f x f 又当x=0时,01)0(>=f ,所以,综上可知,对于任意R x ∈,均有0)(>x f 。 设+∞<<<∞-21x x ,则1)(001212<-<>-x x f x x , 所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f <-?=-+= 所以)(x f y =在R 上为减函数。 (2)由于函数y=f(x)在R 上为减函数,所以)1()()()(2222f y x f y f x f >+=? 即有122<+y x 又)0(1)2(f y ax f ==+-,根据函数的单调性,有02=+-y ax 由?=B A ,所以直线02=+-y ax 与圆面122<+y x 无公共点。因此有 11 22 ≥+a ,解得11≤≤-a 。 评析:(1)要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题:一是f(0)的取值问题,二是f(x)>0的结论。这是解题的关键性步骤,完成这些要在抽象函数式中进行。由特殊到一般的解题思想,联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为(2,6),试判断(4,8)是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间? 8. 设f (x )是定义在R 上的奇函数,且对任意a ,b ,当a+b ≠0,都有b a b f a f ++)()(>0 (1).若a >b ,试比较f (a )与f (b )的大小; (2).若f (k )293()3--+?x x x f <0对x ∈[-1,1]恒成立,求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在(-∞,3]上的减函数,已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立,求实数a 的取值范围。 10.已知函数(),f x 当,x y R ∈时,恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下: 一、定义域问题 例1. 已知函数)(2x f 的定义域是[1,2],求f (x )的定义域。 解:)(2x f 的定义域是[1,2],是指21≤≤x ,所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x 从而函数f (x )的定义域是[1,4] 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[,-,求函数)]3([log 2 1x f -的定义域。 解:)(x f 的定义域是]21[,-,意思是凡被f 作用的对象都在]21[,-中,由此可得 4111)21(3)21(2)3(log 1122 1≤≤?≤-≤?≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 2 1x f -的定义域是]4111[, 二、求值问题 例3. 已知定义域为+R 的函数f (x ),同时满足下列条件:①5 1)6(1)2(==f f ,;②)()()(y f x f y x f +=?,求f (3),f (9)的值。 解:取32==y x ,,得)3()2()6(f f f += 因为5 1)6(1)2(= =f f ,,所以54)3(-=f 又取3==y x 得5 8)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题 例4. 设函数f (x )定义于实数集上,对于任意实数x 、y ,)()()(y f x f y x f =+总成立,且存在21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠,求函数)(x f 的值域。 解:令0==y x ,得2)]0([)0(f f =,即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ,则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ,对任意R x ∈均成立,这与存在实数21x x ≠,使得)()(21x f x f ≠成立矛盾,故0)0(≠f ,必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立,因此,对任意R x ∈,有 0)]2 ([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明,对任意0)(≠∈x f R x , 设存在R x ∈0,使得0)(0=x f ,则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾,因此,对任意0)(≠∈x f R x , 所以0)(>x f 四、解析式问题 例5. 设对满足10≠≠x x ,的所有实数x ,函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1( )(, 导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上,()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数, 4323()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332x mx f x x '=-- 2 ()3g x x mx ∴=-- (1) ()y f x =Q 在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < (0)030 2(3)09330g m g m <-???>? ?<--? 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 【二次函数的定义】 (考点:二次函数的二次项系数不为0,且二次函数的表达式必须为整式) 1、下列函数中,是二次函数的是 . ①y=x2-4x+1;②y=2x2;③y=2x2+4x;④y=-3x; ⑤y=-2x-1;⑥y=mx2+nx+p;⑦y =(4,x) ;⑧y=-5x。 2、在一定条件下,若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t,则t=4 秒时,该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m-7)x2+4x+5是关于x的二次函数,则m的取值范围为。 4、若函数y=(m-2)x m -2+5x+1是关于x的二次函数,则m的值为。 6、已知函数y=(m-1)x m2 +1+5x-3是二次函数,求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 (技法:如果解析式为顶点式y=a(x-h)2+k,则最值为k; 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c,则最值为4ac-b2 4a 1.抛物线y=2x2+4x+m2-m经过坐标原点,则m的值为。 2.抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为(1,3),则b=,c= . 3.抛物线y=x2+3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.若抛物线y=ax2-6x经过点(2,0),则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5.若直线y=ax+b不经过二、四象限,则抛物线y=ax2+bx+c( ) A.开口向上,对称轴是y轴 B.开口向下,对称轴是y轴 C.开口向下,对称轴平行于y轴 D.开口向上,对称轴平行于y轴 6.已知抛物线y=x2+(m-1)x-1 4 的顶点的横坐标是2,则m的值是_ . 7.抛物线y=x2+2x-3的对称轴是。 8.若二次函数y=3x2+mx-3的对称轴是直线x=1,则m=。 9.当n=______,m=______时,函数y=(m+n)x n+(m-n)x的图象是抛物线,且其顶点在原点,此抛物线的开口________. 10.已知二次函数y=x2-2ax+2a+3,当a= 时,该函数y的最小值为0. 高考数学总复习:抽象函数题型 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是中学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也难以处理,而高考中又出现过这一题型,有鉴于此,本文对这一问题进行了初步整理、归类,大概有以下几种题型: 一. 求某些特殊值 这类抽象函数一般给出定义域,某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”,即在其定义域内令变量取某特殊值而获解,关键是抽象问题具体化。 例1 定义在R 上的函数f x ()满足:f x f x ()()=-4且f x f x ()()220-+-=,求 f ()2000的值。 解:由f x f x ()()220-+-=, 以t x =-2代入,有f t f t ()()-=, ∴f x ()为奇函数且有f ()00= 又由f x f x ()[()]+=--44 =-=-∴+=-+=f x f x f x f x f x ()() ()()() 84 故f x ()是周期为8的周期函数, ∴==f f ()()200000 例2 已知函数f x ()对任意实数x y ,都有f x y f x f y ()()()+=+,且当x >0时, f x f ()()>-=-012,,求f x ()在[]-21,上的值域。 解:设x x 12< 且x x R 12,∈, 则x x 210->,2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数
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