辽宁省大连市第二十高级中学2016届高三上学期10月月考数学(理)试题
2015-2016学年度高三第一次月考
数学试卷（理）
考试时间：120分钟 试题分数：150分
第Ⅰ卷
一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合2,{|20},U R A x x x ==--≥，则U C A =（ ） （A ）[1,2]- （B ）(1,2)- （C ）(2,1)- （D ）[2,1]-
2. 复数
3i
i
-在复平面上对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3. 下列结论正确的个数是（ ）
①若0x >，则sin x x >恒成立；②命题“0,ln 0x x x ?>->”的否定是“0000,ln 0x x x ?>-≤”； ③“命题p q ∨为真”是“命题p q ∧为真”的充分不必要条件. （A ）1个
（B ）2个
（C ）3个
（D ）4个
4.已知平面直角坐标内的向量)32,(),3,1(-==m m b a
，若该平面内不是所有的向量都能写
成b y a x
+（),R y x ∈的形式，则m 的值为（ ）
（A ）7
9
-
（B ）
7
9 （C ）3 （D ）—3
5. 下列四个图中,函数10ln 11
x y x +=
+的图象可能是（ ）
6. 在△ABC 中,角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，且B A ∠=∠2则B
B
3sin sin = ( )
（A ）
c a （B ）b c （C ）a b （D ）c
b 7. 已知等差数列}{n a 前n 项为n S ，若361
3S S =，则=12
6S S （ ） （A ）
10
3 （B ）
3
1 （C ）
8
1
（D ）
46
11 8.设函
数32
cos ()412
f x x x x θ=++-，其中5[0,]6πθ∈，则'(1)f -的取值范围是
（ ）
（A ）[3,6] （B
）[3,4 （C
）[4 （D
）[4
9. 正三角形ABC 内一点M 满足CM mCA nCB =+ ，45MCA ∠=?，则m
n
的值为（ ）
（A
1
（B
1
（C
（D
10. 已知函数))2
,
0((tan ln )(π
αα∈+=x x f 的导函数为()f x '，若使得0()f x '＝0()f x 成
立的0x ＜1，则实数α的取值范围为 （ ） （A ）（
4π，2π） （B ）（0，3π） （C ）（6π，4π） （D ）（0，4
π
） 11. 已知数列*)(321023N n n n n a n ∈+-=，给定n ，若对任意正整数n m >，恒有
n m a a >，则n 的最小值为（ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）3
（D ）4
12. 设函数(
)x f x m
π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
2200x f x m +
（A ）()(),66,-∞-?∞（B ）()(),44,-∞-?∞ （C ）()(),22,-∞-?∞ （D ）
()(),11,-∞-?∞
第Ⅱ卷
二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
13. 与向量)4,3(=a
垂直且模长为2的向量为 .
14. 已知递增的等差数列{}n a 满足2
1321,4a a a ==-，则n a = .
15. 在ABC ? 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2
7
4sin
cos 222
A B C +-=，且
5,a b c +=，则ab 为 .
16.已知函数)0(ln )(>-+=a n x x a x f ，其中??=20)2
cos 2sin 2(π
dt t
t n 。若函数)(x f 在定
义域内有零点，则实数a 的取值范围为 .
三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分） 在
ABC
?中，角
C
B A 、、对边分别为
c
b a 、、，且
2s i n (2)s a A b c B c b C
=+++． (Ⅰ)求角A ；
(Ⅱ) 若2a =，求ABC ?周长的取值范围． 18.（本小题满分12分）
已知向量a ，b 满足a
))sin (cos 3,sin 2(x x x +-=，b )sin cos ,(cos x x x -=，函数
=)(x f a ·b
()x R ∈．
(Ⅰ)将()f x 化成)||,0,0)(sin(π?ω?ω<>>+A x A 的形式； (Ⅱ)求函数()f x 的单调递减区间； (Ⅲ) 求函数()f x 在[0,]2
x π
∈的值域．
19.（本小题满分12分）
已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 22+=（n *
∈N ），数列}{n b 的前n 项和21
n
n T =-（n *
∈N ）. （Ⅰ）求数列}1
{
1
+?n n a a 的前n 项和；
（Ⅱ）求数列}{n n b a ?的前n 项和.
20.（本小题满分12分） 已知ABC ?中，
2,1,120o AB AC BAC ==∠=，AD 为角分线．
（Ⅰ）求AD 的长度；
（Ⅱ）过点D 作直线交,AB AC 于不同两点,E F ，
且满足,AE xAB AF yAC == ，求证：12
3x y
+=．
21.（本小题满分12分） 已知函数2
3
2()(0),3
f x x ax a x R =-
>∈ （1） 求()f x 的单调区间和极值；
（2）若对于任意的1(2,)x ∈+∞，都存在2(1,)x ∈+∞，使得12()()1f x f x ?=，求a 的取值范围．
22.（本小题满分12分） 已知函数2
1()ln ,()(1),12
f x x a x
g x a x a =
+=+≠-． （I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；
（II ）若(1,]a e ∈，设()()()F x f x g x =-
，
求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．
2015-2016学年度高三第一次月考数学试卷 （理）答案 1-12 B BBDC DAADA AC 13．)5
6,58(),56,58(--
14．12-=n a n 15．6 16．]1,0(
17.（1）由正弦定理得2
2
2
a b c bc =++，得120A =
（2）由正弦定理得
sin sin b c B C ==
所以0sin )sin(60))b c B C B B +=
+=+-∈
周长∈(4,23
+
或者用均值不等式
18.（1）2()sin(2)3f x x π=+
，周期为π（2）5[,],1212
k k k Z ππ
ππ-+∈（3）[- 19.121,2n n n a n b -=+=（1）
3(23)
n
n +（2）(21)21n n -+
20.（1）由角分线定理233
AB AC
AD =+
，两边平方可得2||3AD =
（2）223333AB AC AE AF AD x y
=+=+
，所以12
133x y += 21解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=，解得0x =或1
x a
=
，列表如下：
)(x f 的增区间是)1,0(a ，减区间),1(),0,(+∞-∞a 。当0=x 时，)(x f 取极小值0，当a x 1
=
时，)(x f 取极大值231
a
（2）由0)23()0(==a f f 及（1）知，当)23,
0(a x ∈时，0)(>x f ；当),23
(+∞∈a
x 时，
0)( 设集合{}),2(|)(+∞∈=x x f A ，? ?? ?? ?≠+∞∈=0)(),,1(|)(1x f x x f B ，则对任意的 ),2(1+∞∈x ，都存在),1(2+∞∈x ，使得1)()(21=?x f x f 等价于B A ?，显然B ?0 当