数学历史文化和生活中的数学

第一讲欧氏几何学的发展简史及

其重建

一、欧氏几何学的简史

几何学的研究始于埃及。这是公元前5世纪希腊历史学家希罗多德（Herodotus）的看法，他认为几何学源自于社会生产的需要。每年雨季到来时，尼罗河泛滥，都要淹没尼罗河流域肥沃的土地，有时会摧毁边界的标记，有时则会改道而冲走许多块土地。由于人们按照耕地的多少来征收农业税，所以为了恢复地界和确定税金，洪水过后需要重新丈量土地。发明快速、精确的方法来丈量耕地显得是埃及人发展几何学的动力。为了满足这些简单的需求，埃及人很快就发展了简单的度量几何学，这部分几何学主要包括他们在测量中所涉及的方法和概念。

这些早期的应用数学家的主要工具之一是可以围成三角形的绳子。事实上，这些早期的测量员（数学家）被称为“司绳”，其中蕴含的想法十分简单。假设一条绳子被等分成（可能用绳结来分）12段。当它围成三角形时，如果一条边长三个单位，另一条边长四个单位、最后一条边长五个单位，那么就构成了一个直角三角形。这条绳子围成的直角三角形的角可以用来做简单的角度测量，绳子本身也是长度测量的一个方便工具。很明显，简单的结绳方法是埃及人进行快速、精确的测量所必需的，他们所应用的这些方法对邻近的希腊人产生了重大的影响。

埃及人对几何的兴趣没有超越实际生活的需要，他们发明了公式来计算某些简单的面积和体积，其中有些公式精确一些，有些并没有那么精确，但是对于实际应用来说，一个好的近似公式与一个精确的公式一样适用，埃及人一般不区分这两类公式。现在对埃及人的数学知识的最详细的了解来源于阿梅斯纸草书和莫斯科纸草书。

在研究三维图形时，埃及人对金字塔的几何性质很感兴趣，例如知道金字塔

的地面边长和它的高度，就可以计算出金字塔的体积。这样体积就跟可以长度测量的边长和高度联系起来了，而长度测量往往比体积测量容易得多。埃及人还讨论了金字塔的其他数学性质，如，已知底面边长和高度，就知道如何计算一个刻画金字塔侧面险峻程度的数值（其实是计算斜面的坡度）。起初，埃及的数学发展十分迅速，埃及人在早期研究了大量的二维和三维的问题，然而它不久便停滞不前了，而且在之后的两千多年的时间里没有太大的改变。肥沃的尼罗河谷，一直被描述为世界最大沙漠中的最大绿洲，被一条最绅士派头的河流所灌溉，地理上的天然屏障保护着一片辽阔区域免遭外人入侵，对那些在很大程度上追求平静安宁、与世无争的生活方式的爱好和平的人民来说，这里就是天堂。对仁慈神诋的爱，对传统的尊重，以及对死亡的专注和死者的需要，这一切助长了这种高度的停滞。

要想看到更进步的数学成就，你必须把目光转向那片更加动荡不宁的江河流域，人们把这里称作美索不达米亚。美索不达米亚位于现在的伊拉克境内，距离埃及约1000英里（1600千米）。它的建筑物不如埃及的著名，那是因为埃及人的坚实的建筑物是用石头建造的，而美索不达米亚人的建筑物是用不耐久的泥砖建成。然而美索不达米亚的数学却比埃及的出名，因为他们用来记录数学知识的泥板比埃及的纸草书保存得要持久得多。有关埃及的数学原始著作仅有极少数幸存下来，而美索不达米亚却有成百上千块数学泥板文书被发现和翻译。不管是埃及数学家还是美索不达米亚数学家对代数学的喜好程度胜于几何学，甚至他们的几何问题也常常带有代数的色彩。

与埃及人相比，美索不达米亚人对于数及计算方法有着更为深刻的理解，所以他们发明了远比同期埃及人更为精确的近似解法，特别是在代数学方面和某些几何问题上，他们得到较为先进的结果。例如，埃及人显然没有意识到毕达哥拉斯定理的一般情形，而美索不达米亚不但在毕达哥拉斯出生前好几个世纪就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）且能深刻理解这个定理，他们解决许多与之相关的问题，其中一些问题对于当今受过还好教育的人来说也是一种挑战。跟埃及人一样，美索不达米亚人通常对精确解和一个良好的近似解不加区分，而且美索不达米亚数学家对证明他们得到的结果不太感兴趣，他们对从整体上建立一套严格方法来研究几何学不感兴趣。

埃及和美索不达米亚的数学家们主要对发展实用的几何学感兴趣，他们寻求数学公式，并用他们来计算某些已知长度的特殊几何形状的面积和体积。这两地的数学家都寻求数值解来解决计算问题，他们研究的内容是求积几何学，其工作中没有中心思想，也没有发明一套理论系统来编排自己发现的公式。这些工作是在特定时期内解决特定问题的数学，在通常意义上不能称之为数学。一般来讲，对几何学感兴趣的现代数学家们关心的是：从一般原理演绎出更广泛的类型的几何对象的性质。然而这种“现代”的方法其实一点都不现代，它可以追溯到古代所有具有“现代意韵的”文化中最早的数学文化。这就是希腊的数学文化。

埃及人和美索不达米亚人研究几何学的方法，带着具有数学传统的古代文化所共有的特征，但希腊文化除外。希腊的数学方法从一开始就与众不同，它更重视抽象而轻视计算。希腊数学家们研究了许多类几何对象的性质，他们关注的不仅是他们知道什么，而且关注他们如何知道。希腊哲学家和米利都的数学家泰勒斯（Thales of Miletus约公元前650年—前546年）的工作最能体现这种风格了。

对于几何学的历史来讲，不仅“泰勒斯知道什么”是重要的，“他如何知道

了那些知识”也是重要的。证明“直径平分圆”这一定理人们一致将此定理归功于泰勒斯。一条直径将圆分成相等的部分，这是一个了不起的结果，不是因为它让人感到出乎意料，而是它太显然了。埃及和美索不达米亚的数学家从未怀疑过这个事实，而且几乎可以肯定地说，泰勒斯也没有提出过质疑，然而他觉得有必要演绎出这个结果，即证明这个命题的真实性。这是思考数学的新思路：不再强调直觉而是强调演绎推理的重要性。演绎推理，即从一般原理到特殊情形的推理过程，是数学与众不同的特征。数学是一门演绎性科学。现在，所有数学家都是从已知原理出发开始研究，然后推导出新的事实作为那些原理的逻辑推论，但泰勒斯是严格运用此方法的第一人。

传说古希腊第二个重要的数学家是泰勒斯的学生——萨摩斯的毕达哥拉斯（Pythagoras）。与泰勒斯不同，他不是商人而是神秘主义者，和几何相比，他对数更感兴趣，他的兴趣源于宗教信仰以及对数学的深信不疑。和泰勒斯一样，毕达哥拉斯年轻时游历广泛。到他最终定居下来时，他成了一位被人们崇拜的人物。在追随者的簇拥下，毕达哥拉斯建立了带有神秘色彩的组织，成员们共享财产，而且任何数学发现都不能冠以个人名义。因而，我们无法知道哪些成果是毕达哥拉斯发现的，又有哪些成果是其追随者首先发现的。我们在前面已经提到：早在毕达哥拉斯出生一千多年以前，美索不达米亚人已经知道并且广泛使用这个冠以他名字的定理了。有人说是他首先证明这个定理，这也是有可能的，但没有找到证据支持这说法。然而，不管怎么样，他在数学史上有着重要的地位。

毕达哥拉斯对数学和哲学的影响是深远的。毕达哥拉斯学派最重要的发现和数与数的比有关。“万物皆数”是这个学派的信条，他们认为宇宙万物都可以仅用正整数及其比来描述。从数学史上来看，无理数是毕达哥拉斯学派最重要的发现之一。无理数是指不能表示为两个整数之比的数，这一发现推翻了毕达哥拉斯学派所坚持的一切事物都可以用整数之比来表示的信条，据说他们曾经试图保守这个秘密。人们也通常把后面称为“黄金分割”的发现归功于毕达哥拉斯学派。黄金分割是一个特殊的比，希腊人用两条线段的比来表示。他们的五角星会徽里含有“黄金比例”。虽然毕氏学派发现了“黄金分割”，但是他们并不占为己有，希腊的建筑师们将“黄金分割”纳入到他们设计的建筑中，希腊艺术所用的诸多比例中也出现过“黄金分割”，自然界之中同样也遍及“黄金比例”。在过去几千年历史中，人们发现了很多有关这个比例的奇怪性质，这些性质的发现对于相信“数是自然界的基石”的毕达哥拉斯学派来说影响深远。

雅典是希腊的首都，帕提农神庙也坐落在这里，帕提农神庙（古希腊文：Παρθεν?ν），是古希腊雅典娜女神的神庙，兴建于公元前5世纪的雅典卫城。它是现存至今最重要的古典希腊时代建筑物，一般被认为是多立克柱式发展的顶端；雕像装饰是古希腊艺术的顶点，此外还被尊为古希腊与雅典民主制度的象征，是举世闻名的文化遗产之一。帕提农神庙的正立面的各种比例尺度一直被作为古典建筑的典范，柱式比例和谐，视觉校正技术运用纯熟，山花雕刻丰富华美。整个建筑既庄严肃穆又不失精美。被美术史家称为“人类文化的最高表征”，“世界美术的王冠”。

虽然雅典不是许多数学家的故乡，只是少数数学家生活在那里，如欧多克索斯（Eudoxus，约公元前408年-----前355年）曾在雅典生活一段时间，但是这个地方好像是古希腊三大著名几何问题的诞生地。第一个是倍立方体问题，它最初开始于一场可怕的天灾。公元前430年左右，雅典居民大量死去，绝望中的人们到当时居住在提洛岛（Delos）的在希腊世界享有盛誉的神谕（在古希腊宗教中，神谕是一位祭司或女祭司，人民通过他们询问神祇问题并得到解答。神谕可用来解梦、指引人们行动或是解释奉献的动物中的脏器所代表的意义，在希腊，雅典神话中，神谕被认为是神所下达的律令，在不同的领域中，神依靠神谕，制定自己的规则，诸规则完美契合，使世界秩序向前，而诸神的领域也往往会有冲突，这就是诸神之争的内在。诸神的信徒与神并不是直接的沟通，而是通过至高无上的神，以下达神谕的方式，给予信徒以指引。）那里去寻找帮助。神谕建议他们修建一个比庙里现有的祭坛大一倍的立方体新祭坛献给太阳神阿波罗。他们按照忠告，建造了一个边长为原立方体边长的两倍，这样一来，新立方体祭坛的体积就为原来8倍。从这不幸的事件中产生了古希腊三大著名几何问题之一：给定一个立方体，用无刻度的直尺和圆规做一条线段，使得它为边的立方体是原给定立方体的体积的两倍。

大约在同一时期，在雅典又有另外两个问题提了出来。一个是关于将任意角三等分的：给定任意一个角，仅用无刻度直尺和圆规将其三等分。另一个问题对我们的语言都产生了影响，你或许听到人们谈论某些事情不可能完成时会说“化圆为方”。这个短语概述了第三个著名问题：给定一个圆，仅用无刻度直尺和圆规作一个正方形，使之与给定圆有相同的面积。

两千多年来，这三个问题一直吸引着数学家们的注意力。但是它们从来没有从几何学上获得解决，因为仅用无刻度直尺和圆规是不可能解决的。这跟“解法还没有找到”是完全不同的，这里找不到解法是因为它不存在。人们通过使用19世纪发展起来的一种新型的、强有力的代数发现了这个惊人的事实。

雅典除了著名的三大几何问题的发源地之外，还是众多哲学家的故乡，例如苏格拉底是雅典人，但他对数学没有太多贡献。苏格拉底的学生柏拉图热爱数学，他显然从毕达哥拉斯学派那里学到了数学知识。后来柏拉图在雅典建立了自己的学派，并鼓励自己的弟子学习数学，学园的门口写着“不懂几何者，不得入内”。柏拉图称不上数学家，但是他其中的一个学生------欧多克索斯，成为同代

人中第一流的数学家。在几何方面，欧多克索斯发明了现在称为穷竭法的方法，它是对数学的深刻理解，在数学之外也有很多运用。希腊人用他的方法解决很多前人不能解决的问题。比如，化解了毕达哥拉斯学派发现的不可通约量引起的第一次数学危机、求圆和椭圆的面积等……，穷竭法对应于希腊数学里的极限思想，它是两千多年后所创立的微积分学中蕴含的主要思想。穷竭法对希腊数学后续的发展是极其深远的。

亚里士多德像欧多克索斯一样，也是柏拉图的学生。他是古往今来学识最渊博的学者，是一位哲学家和生物学家，但他十分熟悉数学家的活动。亚里士多德还是亚历山大大帝的老师。他可能在当时一场主要论战中担任了一个角色，因为有一篇论文《论不可分线》被归到他名下。这部著作的主题是：柏拉图学园掌门人色诺克拉底所支持的不可分线的学说是站不住脚的。长度、面积或体积不可分（或固定的无穷小值）让很多时代的人们神魂颠倒；色诺克拉底认为，这一概念会解决一些让数学和哲学思想饱受折磨的悖论，比如芝诺悖论。亚里士多德也给芝诺悖论极大的关注，但他试图在常识的基础上驳倒它们。亚里士多德对数学的发展做出了贡献，他对算术和几何中潜在的和实际的无穷量的讨论，影响了很多后来的以数学基础的作者。意义更加积极的是，他还对数学中的定义和假设的角色做出了分析。

公元前323年，亚历山大大帝突然去世，他的帝国分崩离析。在雅典，亚里士多德被认为是外国人，他发现自己很不受欢迎，如今他的那位有权有势的军人学生又去世了，于是他离开了雅典，翌年辞别人世。在整个希腊世界，无论是政治秩序还是文化秩序，旧的秩序正在改变。在亚历山大统治下，一直存在希腊的和东方的习俗和学术逐步融合。此外，这位世界的征服者建立的新城市亚历山大城此时取代了雅典，成为了数学世界的中心。因此在文明史上，人们习惯区分希腊世界的两个时期，以亚里士多德和亚历山大的几乎同时去世作为一条方便的分界线。前一个时期被称作古希腊时代，后一个时期被称作希腊或亚历山大时代，希腊数学的黄金时代开始了……

亚历山大大帝的去世，导致了希腊军队将领之间的互相残杀；不过到了公元前306年，帝国的埃及部分的控制权已经牢牢掌握在托罗密一世的手里，这位开明的统治者得以能够把他的注意力转移到建设性的努力上来。他的早期行动之一，就是在亚历山大城创建一所学校------缪斯学院，在当时首屈一指。他请来了一帮最重要的学者，到学校执掌教席，其中就包括包括有史以来最成功的数学教科书《几何原本》的作者欧几里得。考虑到这位作者的名声以及他的超级畅销书，人们对欧几里得生平的所知甚少就显得格外醒目了。他的生平如此不详，甚至没有个出生地跟他的名字联系在一起。欧几里得是柏拉图的学生，以其《几何原本》闻名于世，没有哪位伟人能象他那样声誉持久。其贡献在于对前人的材料加以整理，并在书中作了系统阐述，于公元前300年完成《几何原本》。本人是一个温和敦厚的教育家，受托勒密一世之邀，长期在亚历山大城进行教学和研究工作。他反对学数学投机取巧，也反对狭隘的实用观点。一次，托勒密问他有无学习几何的捷径，回答说：“在几何里，没有专为国王铺设的大道。”成为千古传诵的学习箴言。又一个学生问学习几何后能得到什么，欧几里得回答说：“给他三个钱币，因为他想在学习中获得实利。”

欧几里得与他的巨著——《原本》一起名垂千古，这本书是世界上最著名、最完整而且流传最广的数学著作，也是欧几里得最有价值的一部著作。在《原本》里，欧几里得系统地总结了古代劳动人民和学者们在实践和思考中获得的几何知

识，欧几里德把人们公认的一些事实列成定义和公理，以形式逻辑的方法，用这些定义和公理来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理得几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系——几何学。而这本书，也就成了欧式几何的奠基之作。两千多年来，《几何原本》一直是学习几何的主要教材。哥白尼、伽利略、笛卡尔、牛顿等许多伟大的学者都曾学习过《几何原本》，从中吸取了丰富的营养，从而作出了许多伟大的成就。《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，集整个古希腊数学的成果和精神于一书。既是数学巨著，又是哲学巨著，并且第一次完成了人类对空间的认识。除《圣经》之外，没有任何其他著作，其研究、使用和传播之广泛，能够与《几何原本》相比。欧几里得所著的《原本》大约成书与公元前300年，原书早已失传，现在见到的《几何原本》是经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容有关图形的知识（即几何知识）。《原本》是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著，他对数学及其他科学乃至人类的思想所产生的巨大推动作用是其他著作无法取代的。欧几里得的方法（称为公理化方法）为人们提供了一种研究问题的方法，标志着人类思维的一场革命，是科学思想时尚的一个里程碑。

《几何原本》由23个定义，5条公理，5条公设，推演出465条定理。最后一条公设就是著名的平行公设，或者叫做第五公设。它引发了几何史上最著名的长达两千多年的关于“平行线理论”的讨论，并最终诞生了非欧几何。值得注意的是，第五公设既不能说是正确也不能说是错误，它所概括的是一种情况。非欧几何则在推翻第五公设的前提下进行了另外情况的讨论。

《几何原本》的影响：

在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的“根据”和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的展开全部几何学，这项工作，前人未曾作到。《几何原本》的诞生，标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。并且《几何原本》中的命题1.47，证明了是欧几里德最先发现的勾股定理，从而说明了欧洲是最早发现勾股定理的大洲。关于几何论证的方法，欧几里得提出了分析法、综合法和归谬法。所谓分析法就是先假设所要求的已经得到了，分析这时候成立的条件，由此达到证明的步骤；综合法是从以前证明过的事实开始，逐步的导出要证明的事项；归谬法是在保留命题的假设下，否定结论，从结论的反面出发，由此导出和已证明过的事实相矛盾或和已知条件相矛盾的结果，从而证实原来命题的结论是正确的，也称作反证法。从欧几里得发表《几何原本》到现在，已经过去了两千多年，尽管科学技术日新月异，由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青少年逻辑思维能力的好教材。

历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

《几何原本》的缺憾

但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的“根据”问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。又如，欧几里得在逻辑推理中使用了“连续”的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。

《几何原本》的传播情况

《几何原本》最初是手抄本，以后译成了世界各种文字，它的发行量仅次于《圣经》而位居第二。19世纪初，法国数学家勒让德，把欧几里德的原作，用现代语言写成了几何课本，成为现今通用的几何学教本中国最早的译本是1607年意大利传教士利玛窦（Matteo Ricci，1552－1610）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的。该译本第一次把欧几里德几何学及其严密的逻辑体系和推理方法引入中国，同时确定了许多我们现在耳熟能详的几何学名词，如点、直线、平面、相似、外似等。他们只翻译了前6卷，后9卷由英国人伟烈亚力和中国科学家李善兰在1857年译出。

二、从毕氏学派到欧氏几何诞生历程的回顾及欧氏几何的重建

欧氏几何的创立，是数学史也是人类文明史上破天荒的大事。古埃及与巴比伦的直观、个案的经验几何知识，传到古希腊，Thales 首先尝试用「逻辑」加以组织。接着是毕氏学派，采用原子论(atomism) 的观点，将几何建立在算术基础上面。毕氏学派主张：点是几何的「原子」，其长度 d > 0，因而任何两线段皆可共度。由此证明了长方形的面积公式、勾股定理与相似三角形基本定理。不幸的是，毕氏的门徒Hippasus 发现了不可共度线段，震垮了毕氏学派的几何学。后来虽有Eudoxus 的比例论来补救，但欧氏已不走毕氏的旧路，改采公理化的手法，以几何公理来建立几何。这一段历史非常珍贵，不论是在知识论、科学哲学或教育上，都深具启发性。

当代著名的科学哲学家拉卡托斯（I. Lakatos, 1922～1974），在《论分析与综合方法》一文中说得好：

我认为对于希腊几何所能做的最精采工作，是分析欧氏之前的几何(pre-Euclidean geometry) 及其在产生欧氏演绎系统的过程中所扮演的角色。大部分的欧氏几何，在欧氏(Euclid) 给出公理与定义（公元前300年）之前已经存在，正如数论在Peano 给自然数作出公理化（1889年）之前、微积分在实数系建构（1870年，Dedekind、Cantor、Meray、Heine、Weierstrass 等人的工作）之前、机率论在Kolmogorov 公理化（1933年）之前，都已经存在。问题在于为何需要公理化？公理化对于数学的进一步发展有什么帮助？

在数学史上，欧氏几何是第一个公理化的知识系统，由定义与公理出发，推导出一系列的定理。我们读欧氏几何都接受这样的推展程序。

然而，公理是怎么得来的呢？为什么要选取这样的公理？公理并不是天经地义的。显然，它们都是经过长期的试误(trial and error) 才演化出来的。公理有如宪法，都是人们制订出来的，可以挑战，更可以修订或重订。这是欧氏几何产生出非欧几何(non-Euclidean geometry)，牛顿力学被修正成为相对论与量子力学，导致科学进展的理由。

我们尝试对欧氏之前的几何学作合理的重建工作(rational reconstruction)，最主要是重建毕氏学派的几何研究纲领(the research program of geometry)，以及欧氏做出欧氏几何的分析过程。毕氏这一工作虽然没有完全成功，但是却可比美于他为了追寻音律而用单弦琴(monochord) 所作的第一个物理实验（见参考资料18），并且也为欧氏几何的诞生铺路。成功是踏着前人的失败走过来的。

一、经验与逻辑

经验与逻辑

物理学家爱因斯坦认为，西方文明对人类的两大贡献是：

1. 古希腊哲学家发明的演绎系统，即采用逻辑推理来组织知识的方法：先

追寻出基本原理，再论证并推导出各种结论，总结欧氏几何。

2. 文艺复兴时代（十五、六世纪）发展出来的实证传统(positivistic

tradition)，即透过有目的与有系统的实验观察，以找寻真理与检验真理的态度。

爱因斯坦「直指本心」地点明出：经验与逻辑是西方文明的骨干，它们是建立科学与数学的两块基石，缺一不可。知识在「眼见」（经验）加上「论证」（逻辑）的双重锤炼下，才变成真确可信。这是其它民族所欠缺或没有奠下的基础。

经验与逻辑是科学的两只眼睛，它们在十七世纪紧密结合起来，透过刻卜勒、伽利略与牛顿等人的伟大工作，终于产生了近代的科学文明。

希腊奇迹

一般而言，一门学问的发展都是先从累积直观的、实用的、经验的知识开始，储存丰富了之后，才进一步地组织成比较严谨的知识系统。这是因为经验知识难免会有错误、含混、甚至矛盾，所以需要加以整理，去芜存菁。德国哲学家康德（I. Kant, 1724～1804）说的好：

所有的人类知识起源于直观经验(intuitions)，再发展出概念(concepts)，最后止于理念(ideas)。

最令人惊奇的是，古希腊人将古埃及与巴比伦长期累积下来的经验几何知识，用逻辑锤炼成演绎系统，由一些基本原理（公理）推导出所有的结论（定理）。从「实用」，转变成「论理」之完全「质变」，这就是历史上所称的「希腊奇迹」(the Greek miracle) 之一。

古希腊人将数学提升到可以「证明」并且要讲究「证明」的境界，使得数学变成最严密可靠的知识，而有别于其它学问。这是数学的魅力之一。

英国逻辑家罗素（B. Russell, 1872～1970）说「数学最让我欣喜的是，事物可以被证明。」(What delighted me most about mathematics was t hat things could be proved.)

古希腊人从编造神话故事来解释世事（神话诗观），进展到亚里斯多德(Aristotle) 的有机目的观：一切事物都趋向其目的地而运动。在数学中，更

进步到欧氏几何的公理化体系，利用直观自明的公理来解释所有观测到的经验几何知识。这是知识的巩固，也是进一步发展的基础。

直观经验几何

几何学起源于测地、航海、天文学，以及日常生活的测积（长度、面积、容积）与铺地板等等。换言之，大自然与生活是几何学乃至是数学的发源地。

几何观念的来源

根据希腊历史学家希罗多德（Herodotus, 约公元前485～425年）的说法，几何学开始于「测地」。古埃及的尼罗河每年泛滥，湮没田地，因此需要重新测量土地。几何学「Geometry」一词就是由「Geometrein」演变而来的，其中「geo」是指土地，「metrein」是指测量。测量土地的技术员叫做操绳师(rope-stretchers)，因为绳子是用来帮忙测量的工具。原子论大师德谟克瑞塔斯（Democritus, 公元前460～370年）曾提到，当时的操绳师具有精湛的测量技术与丰富的几何知识，几乎快要跟他一样好。德谟克瑞塔斯自夸道：「在建构平面图形与证明方面，没有人能超过我，就连埃及的操绳师也不例外。」

几何观念的第二个来源是航海与天文学。哲学家康德说：

有两样事物充满着我的心，并且产生永不止息的敬畏。那就是：在头上灿烂的星空，以及心中的道德法则。

人类长久以来对星空的观察，除了敬畏与订历法之外，还从中抽取出点、线、三角形、多边形、圆、方向、角度、距离……等几何概念，以及三角形的测量。更重要的是，从行星井然有序与周而复始的运行中，产生了规律感与美感(the sense of orders and beauty)，这是科学发展的必要条件。数学家兼哲学家怀海德（Whitehead, 1861～1947）说得好：

活生生的科学是不可能产生的。除非人们具有普遍而本能地深信：事物存在有规律；或特别地，大自然存在有规律。

科学追寻大自然的内在秩序与规律。同理，几何追求几何图形的内在秩序与规律。它们最早都是从天文学得到启示。天文学是数学的故乡与发源地。毕氏学派将几何学、天文学、算术与音乐并列为四艺，是有远见的（中世纪时，再加上文法、修辞与辩证(Dialectic)，合称七艺）。

几何学的第三个来源是日常生活的测积。由此引出了长度、面积、容积、体积、表面积、重心等概念，也归结出一些计算公式。

这些直观的、实验的、经验的几何概念与知识，世界上各古老民族都出现过，并不限于古埃及与巴比伦。除了实用之外，更要紧的是，人们从中看出（或发现）了几何图形的一些规律。我们仅择几个重要的介绍，分别于各小段说明。

铺地板只有三种样式

根据普罗克拉斯（Proclus, 410～485）的说法，毕氏学派已经知道，用同样大小且同一种的正多边形铺地板时，只能用正三角形、正方形与正六边形，得到三种图案（见图一～图三）。读者可以用劳作剪纸片或积木游戏加以证实。然而，数学史家阿尔曼(Allman) 却认为，古埃及人习价用这三种正多边形来铺地板，并且从长期的生活经验中，观察而发现「勾股定理」与三角形三内角和定理。

的图案，则可得到

13 种样式，这是一个很好的思考论题。

三角形三内角和定理

古埃及人又从铺地板中，发现三角形三内角和为一平角（即180度）。

在图一中绕一顶点的六个角，合起来一共是一周角（即360度），因此正三角形三内角和为一平角。这虽只是特例，但却是进一步发现真理的契机。在图二中，绕一顶点的四个直角，合起来一共是一周角，因此正方形四?茪漕予M 为一周角」。作正方形的对角线，得到两个相同的等腰直角三角形，从而得知等腰直角三角形三内角和为一平角。将正方形改为长方形，前述论证也成立，因此任何三角形都可以分割成两个直角三角形（作一边的高），所以任意三角形三内角和为一平角。

这个结果美得像物理学的一条守恒定律 (conservation law)，令人激

赏。奇妙的是，它也可以用剪刀劳作看出来：将三角形的三个角剪开来（见图四），再将三个角排在一起，就得到一个平角（见图五），著名的伟大科学家巴斯卡（Pascal, 1623～1662）小时候就是如此这般重新发现这个定理。

我们也可以利用折纸的实验，发现这个定理（见图六）。即沿着 DE 、DG 、EF 把三角形折成长方形 DEFG ，那么 叠合于 A' 点，成为一平角。利用旋转铅笔的实验，也可看出这个定理（见图七）。

勾股定理

这是关于直角三角形三边规律的定理：对于「任意」的直角三角形都有 c 2 = a 2 + b 2（见图八）。

古埃及人仍然是从铺地板中看出其端倪。在图九中，直角三角形ABC 斜边AB 上的正方形面积，等于两股上正方形面积之和。这是勾股定理的一个特例。

我们可以利用几何板(geoboard)，玩出更多勾股定理的特例。图十与图十一就是两个例子。

另一方面，巴比伦人与中国人都观察到一个木匠法则。即木匠在决定垂直、直角及边长时，发现边长为3, 4, 5 的三角形，三边具有32 + 42 = 52

的关系并且为直角三角形（毕氏逆定理之特例）。

这些线索好象是矿苗，人们很快就发现了勾股定理之「金矿」。这只需用剪刀劳作（够直观经验吧！）就可以看出来。在图十二中，以边长a+b 作两个正方形；左图剪掉四个直角三角形，剩下两个小正方形，面积之和为a2 + b2；右图从四个角剪掉四个直角三角形，剩下一个小正方形之面积为c2；

等量减去等量，其差相等。因此a2 + b2 = c2。

相似三角形基本定理

如果两个三角形的三内角分别对应相等，则对应边成比例。亦即，在图十三

中，若，，，则

这个结果是直观显明的。因为两个三角形三内角分别对应相等，表示它们之间有一个是另一个的放大或缩小，所以它们的大小不同但是形状相同，叫做相似。从而对应边成比例，比值就是放大率或缩小率。我们注意到：三角形在作放大或缩小时，只有角度是不变的。

根据历史记载，泰利斯（Thales, 公元前640？～546）当年游学古埃及时，就曾利用这个定理推算出金字塔的高度。另外，他也推算出海面上的船只到岸边的距离。

柏拉图五种正多面体

正多边形有无穷多种，但是正多面体不多也不少恰好有五种。这是很美妙的结果。小孩子玩「积木片」（例如市面上流行的百力智能片）的拼凑游戏就可以做出来，是真正可以看得见、摸得到的。在图十四中，总共有正四面体(tetrahedron)，正六面体 (cube)、正八面体 (octahedron)、?县Q二面体(dodecahedron) 以及正二十面体 (icosahedron)。

根据数学史家奚斯（Heath, 1861～1940）的看法，毕氏学派可能已知这五种正多面体。数学家魏尔（H. Weyl, 1885～1955）认为正多面体的发现，在数学史上是独一无二的精品，是最令人惊奇的事物之一。柏拉图拿它们来建构他的宇宙论，从正四面体到正二十面体分别代表火 (fire)、土 (earth)、气 (air)、宇宙(universe) 与水 (water)。

二、

泰利斯：几何证明的初试

古埃及与巴比伦人，由于长期（约三千年）的生活实践，累积了大量直观的、经验的、实验的几何知识──可能对也可能错。然后传到了古希腊（Thales、Pythagoras、Democritus……这些希腊先哲都曾到过埃及与巴比伦旅行、游学，带回了许多几何知识），加上希腊人自己所创造的几何遗产，经过一群爱智、求完美、讲究论证、追根究柢、为真理奋斗的哲学家们之增益与整理，开始发酵而产生质变。

在古希腊文明的早期，希腊人编造许多神话来解释各种现象。但是当他们面对几何时，毅然决定给经验注入论证与证明，迫使神话与独断让位给理性 (myth and dogma gave way to reason)，这是数学史也是文明史上了不起的创举，最重大的转折点。

古希腊人花了约三百年的时间（从公元前600～300年），才将经验式的几何精炼成演绎式的几何。首先由泰利斯（Thales, 公元前约625～546年，被尊称为演绎式几何之父）发端，他试图将几何结果排成逻辑链条 (logical chain)；排在前面的可以推导出排在后面的，因而有了「证明」的念头。

根据亚里斯多德的学生欧德孟斯（Eudemus, 公元前330年左右）的说法，泰利斯曾游学埃及，他是第一位将埃及的几何知识引进希腊的人。他自己也发现了许多命题，并且勤教后进，展示其背后的原理。他有时采用一般方法，有时则采取较经验的手法来论证。

古埃及、巴比伦人面对的是个别的、具体的这个或那个几何图形。泰利斯开始加以抽象化与概念化，研究图形本身并且给出普遍叙述的几何命题。这是几何要成为演绎系统的必要准备工作。

举例说明：在日常生活中，我们看见车轮子是圆的、中秋节的月亮也是圆的、……于是逐渐有了「圆形」的概念 (concept)。「圆形」绝不曾跟「方形」混淆。最后抽象出「圆」的理念 (idea)：在平面上，跟一定点等距离的所有点，所成的图形叫做圆；定点叫做圆心，定距离叫做半径，通过圆心且两端在圆上的线段叫做直径。另一方面，如图十五，我们观察到车轮子由直径裂成相等约两半，化成

「理念」得到：直径将圆等分成两半。这是一个普遍的几何命题，生存在柏拉图的「理念与形的世界」(the world of ideas and forms)。古埃及与巴比伦人只见到这个或那个具体的圆形，而希腊人思考的是抽象理念的「圆形」本身。

一般而言，数学史家公认下面六个几何命题应归功于泰利斯：

命题一、两直线相交，则对顶角相等。

命题二、一个圆被其直径等分成两半。

命题三、等腰三角形的两个底角相等。

命题四、半圆的内接角为一个直角。

命题五、两个三角形若有两个角及其夹边对应相等，则两个三角形全等。

命题六、两个三角形若三个内角对应相等，则其对应边成比例。

这些命题都相当「直观而显明」。据猜测，古埃及与巴比伦人可能也都知道这些结果，不过是以孤立的经验几何知识来存在。

为何需要证明？最主要的理由是经验知识可能错误，即「眼见不完全足凭」。例如，关于半径为r的面积，泰利斯从巴比伦人得到的是3r2，又从埃及人学到

的答案，两者不同，因此至少必有一个是错误的。又如，在《莱因纸草算经》(Rhind papyrus) 中说，四边为a, b, c, d之四边形，其面积为

，这只有在长方形的情形才成立。人类常会「看走了眼」，明明眼见「地静」与「地平」，怎么又有「地动」与「地圆」的争论呢？色盲者所见的世界跟一般人不尽相同。对于同一个历史事件或物理事实，立场不同的人可以

「英雄所见完全不同」。「鸟瞰的世界」与「人看的世界」当然不同。人是诠释者，也是权衡者。证明就是要以理说服自己，然后再说服他人。在下面的图中，我们再举几个常见的、易起不同看法或错觉的图形，见图十六～十七。

图十六：一图两种看法（右图王雨荷画的）图十七：两线段相等，但看起来不等。

图十八：并行线，但看起来不平行。

因此，感官经验虽是知识的根源，但是若要得到正确的知识，必须再经过论证与证明，才能分辨对错。这是泰利斯深切体会到的。因此，亚里斯多德说：

对于泰利斯而言……，他的主要问题并不在于「我们知道什么」，而是在于「我们是怎么知道的」。

进一步，泰利斯要问：「为何」(why) 知道？这里涉到知识论的两个基本问题：

(i)如何看出或发现猜测 (conjectures)？

(ii)如何证明或否证一个猜测？

有了猜测才谈得上证明，否则证明什么呢？能够通过证明的猜测，才成为定理。

对于命题一至六，泰利斯如何给予「证明」呢？根据数学史家的看法，当时的「证明」包括两种：直观的示明 (visually showing the truth of a theorem) 与演绎的示明 (deductive argument)。前者如苏格拉底教男童倍平方问题就是一个例子（详见参考资料 19）。我们不要忘了，泰利斯是为演绎数学立下「哥伦布的蛋」的第一人，因此瑕疵在所难免。

命题一之证明：

如图十九所示，= 平角 = ，两边同减去得。同

理可证，证毕。

命题二之证明：

沿着直径将圆折叠起来，两半恰好重合。这只是实验与直观的验证而已。

后来欧几里得将这个命题当作一个定义，他说：「一个圆的直径是指通过圆心而止于圆周上的任何线段，并且此线段等分此圆。」

命题三之证明：

如图二十所示，沿着中线AD将三角形折叠起来，两半恰好重合，因此。证毕

这个命题又叫做驴桥 (asses' bridge) 定理，意指「笨蛋的难关」，对初学者已构成困难。

命题四之证明：

如图二十一所示，连结A点与圆心O，则与都是等腰三角形。由命题三知

又因为三角形的三内角和为一平角，所以

证毕。

泰利斯非常喜爱这个定理，据说他是观察到长方形的对角线互相平分而得到的。他为此而特别宰了头牛庆祝一番。因此这个定理又叫做泰利斯定理，再推广就是圆周角定理。

命题五之证明：

利用移形的方法，可以使两三角形完全叠合在一起，所以它们是全等的，证毕。

命题六之证明：

见前节的「相似三角形基本定理」。

总结上述之证明，所用到的基本原理计有：等量代换法、等量减法、移形叠合法、标尺作中线、两点决定一直线与三角形三内角和为一平角等等。

关于泰利斯将几何定理排成逻辑链条一事，历史上并没有实例。下面我们试举一个例子：

移形叠合公理─→命题三↘

三角形三内角和定理───→泰利斯定理（命题四）

泰利斯的生平点滴

泰利斯是爱奥尼亚学派 (Ionian school) 之首，亦是希腊的七贤之一。他是探讨宇宙结构与万物组成的第一人，提出了「万有皆水」(All is water) 的主张。他相信在大自然的「混沌」中，有「秩序」可寻；并且将希腊人面对大自然所采取的神话诗观（mythopoetic view, 超自然的），转变成以自然的原因来解释自然的科学观，这是了不起的进步。

由于热衷于天文学，泰利斯曾经因为专心天文观测，而掉进水沟里，被女仆嘲笑说：「泰利斯的眼睛只注视着天上，而看不见身边的美女。」

他预测了公元前585年会发生日蚀──对此，今日有历史学家持怀疑的态度。泰利斯多才多艺，他也是一位商人，经常以一头驴子运盐，渡过一条河。有一次驴子不小心滑倒了，盐在水中溶化掉一部分，当驴子重新站起来时，感觉轻了许多，很高兴；后来驴子常如法泡制。泰利斯为了惩罚牠，改载海绵。这次驴子又故技重施，结果却因海绵吸了很多水，驴子淹死了。

好朋友索龙 (solon) 问泰利斯：为何不结婚？为了回答索龙，他在第二天派专人传话说：索龙钟爱的儿子意外地被杀死了。泰利斯随后赶去安慰这位悲痛欲绝的父亲，并道出真相说：「我只是想告诉你为什么我不结婚的理由。」

科学哲学家波柏 (K. Popper) 认为泰利斯更重要的贡献是，为古希腊开创了一个自由讨论与批判的传统 (the tradition of critical discussion)，这是学术发展的先决条件。泰利斯意识到真理都不是最终的，必须开放批判，以求进步。我们的知识与学说不过是一种猜测、一种假说而已，而不是确定不移的最后真理，只有批判的讨论才是唯一使我们更接近真理的方法。这就是大胆猜测，然后小心求证，鼓励批判与创新。这个传统开启了理性的或科学的态度。

两、三个世纪之后，亚里斯多德的学说开始盛行，又跟宗教结合，「威权」性格日重，主导西方世界约两千年之久。直到文艺复兴时，才重新回复泰利斯的批判传统，其中伽利略扮演了关键性的角色，因而被尊称为「近代科学之父」。

从泰利斯开始，古希腊哲学家为人类开启了第一道理性文明的曙光，经过两千多年的努力经营，终于照亮大地。

毕氏学派的几何研究纲领

在泰利斯的工作基础上，毕氏学派提出了更深刻的几何研究纲领。毕氏是泰利斯的学生，他采用原子论 (atomism) 的观点来研究几何。

点有多大？

如果采用连续派的观点，主张线段可以经过无穷步骤的分割，最终得到一个点，令其长度为d，那么对于d可以提出两种假说：

(i) d=0，

(ii) d为无穷小 (infinitesimal)。

东方的老子说：「至大无外，至小无内」，可为脚注。

如果采用离散派的观点，主张线段只能作有限步骤的分割，线段经过（很大的）有穷步骤分割后，得到一个点，其长度d虽然很小很小，但是不等于0，那么自然就有第三种假说：

(iii) d>0

毕氏分析(i)与(ii)两个假说：如果d=0，由于线段是由点组成的，那么就会产生由没有长度的点累积成有长度的线段；这种「无中生有」(something out of nothing) 是不可思议之事。毕氏无法打开这个困局。如果说d是无穷小，那么什么是无穷小？显然它不能等于 0，否则又会落入「无中生有」的陷阱。（不过，老子却认为「天下万物生于有，有生于无」。）它可以是某个很小很小而大于 0 的数吗？这也不行，因为这会变成线段是由无穷多个正数加起来的，其长度是无穷大！这也是一个矛盾，换句话说，无穷小不能等于 0，并且要多小就有多小。这简直就是老子所说的「搏之不得名曰微」。因此，无穷小更诡谲深奥。

然而，在实数系中，「不等于 0」与「要多小就有多小」，这两个概念是不兼容的。因为一个正数，若是要多小就有多小，那么它必为 0。另一方面，一个不为0 的正数，根本不可能要多小就有多小。因此，无穷小不能生存在实数系之中，它像个活生生的小精灵 (demon)，云游于「无何有之乡」，令人困惑。

经过上面的分析，毕氏采用(iii)的大胆假说，叫做

毕氏假说：

点有一定的大小，其长度d>0。

换言之，在毕氏学派的眼光里，世界万物是离散的。线段是由具有一定大小的点排列而成的，像一条珍珠项链。

任何两线段皆可共度

在毕氏假说之下，可以推导出：

定理一：

任何两线段a与b都是可共度的 (commensurable)，即存在共度单位

u>0，使得且，其中m与n为两个自然数。

定理二：

任何两线段a与b可共度为一个有理数。

上述定理一是显然的，因为至少一个点的长度d就是一个共度单位。通常共度单位取其尽可能大，最大共度单位就是m与n的最大公因子，它可以用辗转相除法求得。

要言之，毕氏学派大胆地（直观地）假设点的长度d > 0，于是自然得到任何两线段皆可共度。两线段辗转互度时，只需有穷步骤就可以度量得干净，不曾没完没了。

在实际作两线段的辗转互度时，由于人类眼睛的精确度有限且误差不可避免，因此原则上有限步骤就会停止，而得到最大共度单位。读者可做一下实验。

我们也可以采用度量的观点来看，什么是度量？我们人为地取一个单位长度，例如公尺，用它来度量一个线段。如果量三次恰好量尽，那么我们就说线段长是三公尺。如果量不尽呢？把剩下的部分，用小一点的单位，例如公寸，再去量。如果量七次恰好量尽，那么我们就说线段长是三公尺七公寸。如果还是量不尽呢？按上述要领，用公分再去量。这样一直做下去，会不会永远没有量完的时候呢？毕氏学派回答说：不会，因为任何两线段皆可共度！

因此，度量只会出现有理数（rational numbers，又叫做比数）。再加上毕氏的另一个神奇发现：乐音的弦长成为简单的整数比，例如两弦长之比为 2:1 时，恰为八度音程；比例为 3:2 时，为五度音程；比例为 4:3 时，为四度音程（毕氏音律）。这使得毕氏欣喜而情不自禁地宣称：

万有皆整数与调和！(All is whole number and harmony)。

这意思是说，所有存在事物最终都可以用自然数及其比值来表达，世界的内在结构是数学的，具有高度的单纯性与规律性。整数是构成宇宙的最终之真实！毕氏不让其师泰利斯的「万有皆水」专美于前。毕氏的天空简单明朗、晴空万里、仙乐飘飘。

物质由原子构成，就像几何图形由点构成一样。行星之间的距离成简单整数比，因此运行时奏出「星球的音乐」(the harmony of spheres)：「哲学是最上乘的音乐」，思想灵动所发出的音乐；以及勾3股4弦5。这一切似乎在诉说着：「万有皆整数与调和」，并且为其作证。