高中数学第一章统计案例1.1.3可线性化的回归分析知识导航北师大版选修1-2讲义

1.3 可线性化的回归分析

自主整理

1.在具体问题中,我们首先应该作出原始数据(x,y)的_____________,从_____________中看出数据的大致规律,再根据这个规律选择适当的函数进行拟合.

2.对于非线性回归模型一般可转化为_____________,从而得到相应的回归方程. 高手笔记

1.几种常见模型

(1)幂函数曲线y=ax b

其散点图在形如下列曲线附近.

设μ=lny,v=lnx,c=lna,则转化为线性关系:μ=c+bv.

(2)指数曲线y=ae bx

其散点图在形如下列曲线附近

设μ=lny,c=lna,则转化为线性关系:μ=c+bx. (3)倒指数函数y=x

b ae 其散点图在如下曲线附近.

设μ=lny,c=lna,v=

x

1

,则转化为线性关系:μ=c+bv. (4)对数函数模型y=a+blnx 其散点图在如下曲线附近.

设v=lnx,则转化为线性关系:y=a+bv.

2.常见几种模型在使用时要注意散点图的形状符合哪一种类型曲线的形状,有时不太容易辨别,可采用多种模型拟合,并转变为线性回归关系.利用线性相关系数来判断检验用哪一种拟合效果较好,就用谁.

3.常见的几种函数模型的解析式在转变为线性相关关系时,要根据函数式的特点,灵活地换元转变为线性函数关系.

名师解惑

实际问题中非线性相关的函数模型应怎样选取?

剖析:(1)要先作散点图;(2)选取所有符合的可能类型;(3)将非线性关系转变为线性关系后,可再作线性相关的散点图来进一步辨别,也可通过计算线性相关系数作比较.

讲练互动

【例1】某地今年上半年患某种传染病人数y与月份x之间满足函数关系,模型为y=ae bx,确

解：设μ=lny,c=lna,则

μ=c+bx,

∑

=

6

1

i

i

x=21,∑

=

6

1

i

i

μ=25.359 5,∑

=

6

1

2

i

i

x=91,∑

=

6

1

2

i

i

μ=107.334,

∑

=

6

1

i

i

i

xμ=90.341 3,x=3.5,μ=4.226 58,

∴b=

∑

∑

=

=

-

-

6

1

2

2

6

1

)

(6

6

i

i

i

i

i

x

x

x

xμ

μ

=

2

5.3

6

91

22658

.4

5.3

6

3413

.

90

?

-

?

?

-

=

5.

17

58412

.1

≈0.09,

c=μ-b x=4.226 58-0.09×3.5=3.911 58,∴μ=3.911 58+0.09x.∴y=e3.911 58·e0.09x.

绿色通道

若函数模型为指数型,可两边取对数转化为线性函数关系,求出回归方程.

变式训练

1.某工厂今年第一季度生产某种产品的数量分别是1万件、1.2万件、1.3万件、1.37万件,

为了估测以后每个月的产量可用函数y=ae bx

来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系,求模拟函数.

∑=4

1

i i

x

=1x i =10,

∑=4

1

i i

μ

=0.759 5,

∑=4

1

2i i

x

=30,

∑=4

1

2i i

μ

=0.201 2,

∑=4

1

1i i

x μ

=2.411,x =2.5，

μ=0.189 9,

b=

∑∑==--4

1

2

2

4

14)(44i i i i

i

x x x x μ

μ

=

2

5.24301899.05.24411.2?-??-=5

52125

.0=0.102 45,c=μ-b x =0.189 9-0.102 45×2.5=-0.066,

∴μ=-0.066+0.102 45x,y=e -0.066·e 0.102 45x

.

(1)画出散点图.

(2)能否建立恰当的函数模型使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重y(kg)与身高x(cm)的函数关系?试写出这个函数模型的解析式.

(3)若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖,低于0.8倍为瘦,那么这个地区一名身高为175 cm,体重为78 kg 的在校男生的体重是否正常?

解析：作出散点图,观察函数曲线得到函数模型,再转为线性函数解答. 解：(1)作散点图.

(2)从散点图可看出函数模型为y=ae bx

型,

设μ=lny,c=lna,则μ=c+bx,

∑=12

1

i i

x =1 380,∑=12

1

i i

μ

=35.542 4,

∑=12

1

2i i

x

=173 000,

∑=12

1

i i

i

x μ

=4 369.249,x=115,μ=2.961 9,

b=

∑∑==-??-12

1

2

2

12

1

)(1212i i

i i i

x x

x x μ

μ

=

2

115121730009619.211512249.

4369?-??-=14300873

.281=0.019 7, c=μ-bx=2.961 9-0.019 7×115=0.696 4,

∴μ=0.696 4+0.019 7x,y=e 0.696 4·e 0.019 7

x. (3)当x=175时

,μ=4.143 9, ∴y=e μ

=e

4.143 9

=63.048,

048

.6378

=1.237＞1.2,此男子偏胖.

绿色通道

根据给出的数据,画出散点图,选择散点图所符合的函数模型,再转为线性关系解答. 变式训练

2.为了研究某种细菌随时间x 变化时繁殖的个数y,收集数据如下:

(2)写出y 关于x 的模拟函数.

解析:作出散点图,观察变化趋势,找出拟合函数关系,并求解. 解:(1)作散点图.

(2)由散点图知x 、y 之间满足函数关系为y=ae bx

, ∑=6

1

i i

x

=21,

∑=6

1

i i

μ

=21.188 3,

∑=6

1

2i i

x

=91,

∑=6

1

i i

i x μ

=86.237, x =3.5,=3.531 4,

b=

2

6

1

2

2

6

15

.36915314.35.36237.8666?-??-=

--∑∑==i i i i

i

x

x x x μ

μ

=5.170776

.12=0.69, c=μ-b x =3.531 4-0.69×3.5=1.115 9,∴μ=1.115 9+0.69x.∴y=e 1.115 9

·e

0.69x

.