(一)数学系一年级数学分析期末考试题

（一）数学系一年级《数学分析》期末考试题

学号 姓名

一、（满分10分，每小题2分）单项选择题：

1、{n a }、{n b }和{n c }是三个数列，且存在N,? n>N 时有≤n a ≤n b n

c ，则（ ）

A {n a }和{n b }都收敛时，{n c }收敛； B. {n a }和{n b }都发散时，{n c }发散； C {n a }和{n b }都有界时，{n c }有界； D. {n b }有界时，{n a }和{n c }都有界；

2、=)(x f ???

?

???>+=<,0 ,2.( ,0

,0,

,sin x x k x k x x kx

为常数） 函数 )(x f 在 点00=x 必 （ ）

A.左连续；

B. 右连续

C. 连续

D. 不连续 3、'

'f （0x ）在点00=x 必 （ ）

A. x x f x x f x ?-?+→?)

()(lim 02

020 ； B. '

000)()(lim ???? ???-?+→?x x f x x f x ; C. '

000)()(lim ???

? ???-?+→?x x f x x f x ; D. x x f x x f x ?-?+→?)

()(lim 0'0'0 ； 4、设函数)(x f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可微，但≠)(a f )(b f 。则（ ）

A. ∈?ξ（b a ,），使0)('

=ξf ； B. ∈?ξ（b a ,），使0)('

≠ξf ; C. ∈?x （b a ,），使0)('≠x f ；

D.当)(b f >)(a f 时，对∈?x （b a ,），有)('

x f >0 ； 5、设在区间Ⅰ上有?+=c x F dx x f )()(，

?+=c x G dx x g )()(。则在Ⅰ上有（ ） A.

?=)()()()(x G x F dx x g x f ； B. c x G x F dx x g x f +=?)()()()( ； C. ?+=+c x G x F dx x F x g dx x G x f )()()]()()()([ ； D. c x G x F dx x G x g dx x F x f +=+?

)()()]()()()([ ；

二、（满分15分，每小题3分）填空题 ：

1 1

21323lim -+∞→??

?

??-+x x x x ＝ ；

2

)sgn(cos )(x x f =。)(x f 在区间[ππ,-]上的全部间断点为 ；

3 )(x f ＝x 2

sin , =)6

()

11(π

f

；

4 函数)(x f 在R 内可导，且在（1,∞-）内递增，在（+∞,1）内递减,)()(x

xe f x F =，

)(x F 的单调递减区间为 ；

5

=+?

dx x f x f x f )

(1)

()(2' ；

三、（满分36分，每小题6分）计算题：

1、??

?

??-

→x x x 220sin 11

lim ; 2、把函数2

x

x e e shx --=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ;

3、dx e arctg e

x x ?

-+11

；

4、x

e

x f =)(2,计算积分

dx x

x f ?

)( ；

5、

?+--dx x x x 233

2 ；

6、斜边为定长c 的直角三角形绕其直角边旋转，求所得旋转体的最大体积 ;

四、（满分7分）验证题：由有“N -ε”定义验证数列极限 3

2

25332lim

220=--+→n n n h ； 五、（满分32分，每小题8分）证明题：

1 设函数)(x f 和)(x g 都在区间Ⅰ上一致连续，证明函数)()(x g x f +在区间Ⅰ上一致连续；

2 设函数)(x f 在点0x 可导且0)(0'

≠x f ，试证明：y ?～0

)

(x x x df =，其中

)()(00x f x x f y -?+=? ；

3 设函数)(x f 在点a 具有连续的二阶导数，试证明：

)()

(2)()(lim

''20a f h

a f h a f h a f h =--++→ ； 4 试证明：0

时，有不等式 x sin >πx 2 .

（二）一年级《数学分析》考试题

一、（满分10分，每小题2分）判断题：

1、无界数列必发散； （ ）

2、若对ε?>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间（b a ,）内连续； （ ）

3、初等函数在有定义的点是可导的； （ ）

4、?ψ=f ，若函数?在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导 ； （ ）

5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈?，有0)('

≠x f ； （ ） 二、（满分20分，每小题4分）填空题 ：

1、10

2

8

62)

12()12()2(lim

+-+∞

→n n n n ＝ ；

2、曲线x x y ln =的所有切线中，与直线022=-+y x 垂直的切线是 ；

3、)1ln(2x x y ++= ，

=dx

dy

； 4、函数)(x f 二阶可导，)

(x f e

y = ， 则=2

2dx y

d ； 5、把函数2

)(x e x f -=展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，

=)(x f ；

三、（满分30分，每小题6分）计算题:

1、x

e x x x x x 3lim )1(2)1ln(4lim

220

--++→ ；

2、求 ,3)( ,0)(0'

0==x f x f x

x x f x ??-→?)

2(lim

00

；

3、x

x x x

x x y sin cos cos sin +-=

， 求dy ；

4、x x y sin 2

=， 求)

80(y

；

5、2

1

0)lim (

lim x x x

x → ； 四、（满分40分，每小题8分）证明题：

1、设函数)(x f 在区间Ⅰ上满足Lipschitz 条件：L ?>0，∈?21,x x Ⅰ， 有)()(21x f x f -21x x L -≤ ，证明f 在区间Ⅰ上一致连续；

2、证明函数1)(-=x x f 在点1=x 不可导 ；

3、设函数)(x f 在R 内连续且+∞=∞

→)(lim x f x ，试证明)(x f 在R 有最小值；

4、设0

[])()()()(2'22ξξf a b a f b f -=- ；

5、设函数f 和g 可导且0≠f ，又0)

()()

()

('

'

=x g x f x g x f ，证明)()(x cf x g =，其中c 为

常数.

（三）一年级《数学分析》考试题

一 对错判断题：

1、设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n y x φ （ΛΛ 2 1、、=n ）

则n n n n y x ∞

→∞

→lim lim φ ；（ ） 2、若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； （ ）

3、设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； （ ）

4、若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞

→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;（ ）

5、若)(x f y =的导数)('

x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使

2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈? ； （ ）

6、① 当0→x 时，0)n (m )()()(φφn

m n

m

x

o x o x o +=+ ； （ ）

② )(n 0a )(n 0n ∞→→?∞→→n a ； （ ） 7、若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导;

（ ）

8、)(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点321x x x ππ有：

1

3131212)

()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （ ）

9、若)(x f 在0x 二阶可导，则（()00,x f x ）为曲线)(x f y =的拐点的

充要条件为0)(0'

'=x f ； （ ）

10、若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ?,使得 )( , ∞→∞←n x n ； （ ） 二 单项选择题：

1、设 =)(x f ?????=≠-0 ,

0 , )1(1

x k x x x 在0=x 处连续， 则=k （ ） A. 1 B. e C.

e

1

D. －1 2、设 =)(x f ??

?

??=0 x 1 x 10 2φπx x x 当0=x 是不连续是因为 （ ）

A.)(x f 在0=x 无定义

B.)(lim 0

x f x →不存在

C. )0()(lim 0

f x f x ≠→ D.左，右极限不相等

3、设 )()()(x a x x f ?-=，其中)(x ?在a x =处连续但不可导，则=)('

a f （ ）

A. 不存在

B. )('a ?

C. )(a ?

D. －)('

a ? 4、当x 很小时，下列近似公式正确的是 （ ）

A. x e x

≈ B.x x ≈ln C. x x n +≈+11 D. x x ≈sin

5、若)(x f 和)(x g 对于区间（b a ,）内每一点都有)()('

'x g x f =，在（b a ,） 内有 （ ）

A.)()(x g x f =

B.为常数）（2121 , c , )( , )(c c x g c x f ==

D. )()(x cg x f =（c 为任意常数） D. c x g x f +=)()( （c 为任意常数）

三 证明题：

1 证明 9921lim =+++∞

→n

n

n

n

n Λ ;

2 证明不等式：

h h h

h

ππarctan 12

+ ； 3 对任意实数b a ,有)(2

12

b a

b a e e e

+≤

+ ； 4 证明：方程033

=+-c x x （c 为常数）在[]1,0内不可能有两个不同的实根； 5 设函数)(x f 在点0x 存在左，右导数，试证)(x f 在0x 连续； 6 证明：若极限0

lim x x →存在，则它只有一个极限；

四 计算题：

1 写出x x f sin )(=的其拉格朗日型余项的马克劳林公式；

2 求下列极限：

① )1021(lim n n n n +++∞

→Λ ；

② x

x

x arctan lim

0→ ；

③ 1

1lim 1--→n m x x x ；

3 求 )

sin(b ax e

y +=的微分；

4 设函数)(x y y =的参量方程 ???==t

b y t a x sin cos （πππt 0）所确定，求dx dy

.

（四）一年级《数学分析》考试题

一 叙述题：

1 用δε-语言叙述A x f x x =-→)(lim 0

（A 为定数）

2 叙述Rolle 中值定理，并举出下列例子：

1） 第一个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 2） 第二个条件不成立，其它条件成立，结论不成立的例子； 3） 第三个条件不成立，结论成立的例子；

二、计算题：

1 求极限

)122(lim n n n n ++-+∞

→ ；

2 求极限

x n x

-∞→-)2

1(lim ； 3 求)1ln()(x x f +=的带Peano 型余项的Maclaurin 公式； 4 求x

x x

x n sin tan lim

0--→；

三、研究函数

=)(x f ??

?

??+=0 x 10 x 00 22πφx x x 在0=x 处的左，右极限和极限；

四、研究函数

求数集{

}

22

πx x s =的上、下确界，并依定义加以验证； 五、证明题：

1 用定义证明： 35lim

22

=+→x n ；

2 证明：()()())()()(x g o x g o x g o =+ (0x x →)

3 设)(x f 定义在区间Ⅰ上，若存在常数L ，'

x ?,∈'

'x Ⅰ,有

'''''')()(x x L x f x f -≤-

证明：)(x f 在Ⅰ上一致连续；

4 设函数)(x f 在点a 的某个邻域内具有连续的二阶导数，证明 )()

(2)()(lim ''2

a f h

a f h a f h a f h =--++→ .

（五）一年级《数学分析》考试题

一 判断题：（满分10分，每小题2分）

1、若0lim =∞

→n n a ，则∞=∞→n

n a 1

lim

； （ ）

2、有限开区间（b a ,）内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界； （ ）

3、设函数)(x f y =在点0X 的某领域内有定义，若存在数A ，使

)()()(00x o x A x f x x f y ?+?=-?+=?，（0→?x ），则)(x f 在点0X 可导且)(0'x f A = ； （ ）

4、ψ?+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数?和ψ都在点0X 可导； （ ）

5、设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间（b a ,）内可导，若对),(b a x ∈?，

0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； （ ）

二 单项选择题：（满分20分，每小题4分）

1、函数)(x f 在点0x 连续的充要条件是 A. )0(0-x f 和)0(0+x f 中至少有一个存在； B. )0(0-x f 和)0(0+x f 存在且相等；

C. )0(0-x f =)0(0+x f =)(0x f ;

D. )(x f 在点0x 可导

2、设函数f 定义在区间Ⅰ上，且满足Lipschitz 条件，0φL ?，使对∈?21,x x Ⅰ，有2121)()(x x L x f x f -≤-，则)(x f 在区间Ⅰ上 （ ）

A. 连续但未必一致连续；

B. 一致连续但未必连续；

C. 必一致连续；

D. 必不一致连续；

3、)(0'

'x f 定义为：

A.x

x f x x f x ?-?+→?)

()(lim 000 ； B. x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 0'0'0 ；

C.'000

))()((

lim x x f x x f x ?-?+→? ； D. '

000))()(lim (x

x f x x f x ?-?+→? ；

4、设函数)(x φ和)(x ψ在区间Ⅰ内可导)()('

'

x x ψφ=，则在该区间内有 （ ）

A. )()(x C x ψφ=+，其中C 为常数；

B. )()(x C x ψφ=, 其中C 为常数;

C. )()(x x ψφ=;

D. )()(x x ψφ≠;

5、=)(x f ???+≥3 x

, b ax 3

, 2πx x 为使f 在点3=x 可导，应取（ ）

A.3=a ，0=b ；

B. 0=a ，3=b ;

C.6=a ，9-=b ;

D. 9-=a ，6=b ; 三 计算题：（满分30分，每小题6分）

1、1)(2-=x arctg x f ，求h

h f f h )

25()5(lim 0

+-→ ；

2、x

x y ln )

(sin =，求

dx

dy

； 3、x e y x

cos =，求)

5(y ；

4、)sin 11(

lim 220

x

x x -→ ； 5、2)(-+=-x

x

a

a x f ，其中0φa 且1≠a ，写出)(x f 的含4X 项且具Peano 型余项

的Maclaurin 公式； 四 验证题：（满分16分，每小题8分）

1、用定义验证函数x x f sin )(=在（∞+∞- , ）内一致连续； 2 证明函数x x f =)(在点0=x 不可导； 五 证明题：（满分24分，每小题8分）

1、设函数f 和g 在[]b a ,内连续，若对任何有理数),(b a r ∈，有)()(r g r f =，则在

[]b a ,内)()(x g x f =；

2、设函数)(x f 定义在（∞+∞- , ）内，且∈?x （∞+∞- , ）和h ，有2)()(Mh x f h x f ≤-+，

其中M 为正实数，证明)(x f 是（∞+∞- , ）内的常数函数； 3、设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，在开区间（b a ,）内二级可导，且0)(=b f ，

)()()(2x f a x x F -=，试证明：∈?ξ（b a ,），使0)('

'=ξF .