法向量详解
专题：法向量的详解
高中数学法向量的定义：如果向量⊥
a平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下：
一、求点到平面的距离
设A是平面α外一点，AB是α的一条斜
线，交平面α于点B，而是平面α
那么向量在方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h，
所以h=
?
=
※
例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的
距离。
解：如图建立空间直角坐标系，
＝（1，1，0），＝（0，
2
1，1），
1
DA＝
（1，0，1）
设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z），
则有：
?????=?=?00，即?????=+=+02
1
0z y y x 令2
1
11=-==z y x ，，,
取＝（1，－1，2
1
），则A 1到平面DBEF
的距离1==
h
注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。法向量的求解有多种，根据线面垂直的判定定理，设n ＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。
二、求异面直线间的距离
假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a '，且交b 于点A ，那么直线a '和
b 确定平面α，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n
⊥。所以异面直线a 和b 的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。
结论：12,l l 是两条异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离，则||||
CD n d n ?=。
例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求直线DA 1和AC 间的距离。
解：如图建立空间直角坐标系，
则＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接11C A ，则AC C A //11,设平面D C A 11的法向量为
)(z y x ，，=，
由 ?????=?=?0
01DA ，解得＝（1，1，－1），又1AA ＝（0，0，1）
所以点A 到平面A 1C 1D
的距离为3
3=
=h ，即直线DA 1和AC 间的
距离为
3
3
。 注：这道题若用几何推理，需连结D 1B ，交△DA 1C 1和△B 1CA 分别为E 、F ，并证明△D 1DE ≌△B 1BE ，且EF 恰好等于DA 1和AC 的公垂线段长而且三等分线段D 1B ，进而求解EF ，解题过程几经转化，还需添加大量辅助线，不如用法向量求解更直接简便。
三、求直线与平面所成的角
直线AB 与平面α所成的角θ可看成是向量与平面α的法向量
所成的锐角的余角，所以有=
=sin θ
例3：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角。
解：如图建立空间直角坐标系，
AB ＝（0，1，0）
，1AD ＝（－1，0，1），AE ＝（0，2
1，1）
设平面ABC 1D 1的法向量为＝（x ，y ，z ）,
由?????=?=?0
01AD 可解得n ＝（1，0，1）
设直线AE 与平面ABC 1D 1所成的角为θ
，则5
10
sin ==
θ，
5
10arcsin
=∴θ 四、求二面角的大小
若αn 、βn 分别为平面βα,的法向量，则二面角l αβ--
的平面角，θn n ?=（或者其补角）。
例4：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1与平
面ABCD 所成的二面角的大小。
解：如图建立空间直角坐标系，11C A ＝（－1，1，0），B A 1＝（0，1，－1）
设1n 、2n 分别是平面A 1BC 1与平面ABCD 的法向量，
由????
?=?=?0
11111C A n A n
可解得????
?==)
1,0,0()
1,1,1(21n n
所以，3
3== 所以平面A 1BC 1与平面ABCD 所成的二面角大小为3
3arccos
或
3
3arccos
-π。
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的
方向，取的方向不同求
出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。
五、证明两平面平行或垂直
①若α∥β， 则 αn ∥βn ；反之也成立。
②若α⊥β， 则 αn ⊥βn ；反之也成立。
例5：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、M 分别是
A 1C 1、A 1D 和
B 1A 上任一点，求证：平面A 1EF ∥平面B 1M
C 。 证明：如图建立空间直角坐标系，
则11C A ＝（－1，1，0），B 1＝（－1，
0，－1）
A 1＝（1，0，1），
B 1＝（0，－
1，－1）
设111C A A λ=，A A 11μ=，B B 11ν=（λ、μ、 νR ∈，且均不为0）
设1n 、2n 分别是平面A 1EF 与平面B 1MC 的法向量，
由?????=?=?001111A n A n ，可得?????=?=?0012111A n C A n μλ，即?????=?=?0
012111A n C A n 解得：1＝（1，1，－
1）
图4
由?????=?=?001212B n B n ，可得?????=?=?001212B n B n ν，即?????=?=?0
01212B n B n 解得2n ＝（－1，1，
－1），
所以21n n -=，21//n n ，所以平面A 1EF ∥平面B 1MC 。
注：如果求证的是两个平面垂直，可以求出两个平面的法向量，利用
02121=??⊥n n n n 来证明。
利用法向量来解决上述五种立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，高中阶段用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。
例5如图4，在长方体ABCD -1111A B C D AD=1AA =1，AB=2，点E 在棱AB （Ⅰ）证明：11D E A D ⊥；
（Ⅱ）当E 为AB 的中点时，求点E 到
1ACD 的距离；
（Ⅲ）AE 等于何值时，二面角1D EC D --的大小为4
π。
分析 本题是立体几何试题的常见题型，考查的是传统内容。证线线垂直，求点到平面的距离，求二面角的大小，可用传统的几何方法求
解，也可利用向量法求解。下面给出向量法求解。 解：建立如图所示的空间直角坐标系，设AE a =，则1(1,0,1)
A ，1(0,0,1)D ，
(1,,0)E a ，
(1,0,0)A ，(0,2,0)C 。
（Ⅰ）证明：由1(1,0,1)DA =，1(1,1,1)D E a =--，
11(1,0,1)(1,1,1)110DA D E a ?=?--=-=，有11DA D E ⊥，于是11D E A D ⊥。
（Ⅱ）E 是AB 的中点，得(1,1,0)E ，∴1(1,1,1)D E =-，(1,2,0)AC =-，
1(1,0,1)AD =-。
设平面1ACD 的法向量为(,,1)n x y =，单位法向量为0n ，
由100n AC n AD ??=???=???(,,1)(1,2,0)0(,,1)(1,0,1)0x y x y ?-=???-=??2010x y x -+=??-+=?，解得112
x y =???=??。
于是1(1,,1)2n =
，有01
(1,,1)
212(,,)333n ==。 设点E 到平面1ACD 的距离为d ，则102121
(1,1,1)(,,)3333
d D E n =?=-?=
所以点E 到平面1ACD 的距离为1
3
。 （Ⅲ）平面DEC
的法向量1(0,0,1)n =，设平面1D E C 的法向量
2(,,1)
n x y =。 又(1,2,0)EC a =--，1
(0,2,1)DC =-。 由22100
n EC n D C ??=???=??，得(,,1)(1,2,0)0(,,1)(0,2,1)0
x y a x y ?--=??
?-=? (2)0210x y a y -+-=???-=?，解得121
2
a x y ?
=-???
?=??，于是21
(1,,1)22
a n =-
。 设所求的二面角为θ，则4
π
θ=，有
121(0,0,1)(1,,1)
cos cos ,a DD n θ?-
=<>=
=，得
21
(1)1224
a -
++=。
解
得2a =
所以，当
AE=21D EC D --的大小为4
π
。 例6 如图5，四棱锥P ABCD -中，底面例7 PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 中点。
（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）设
，求AC 与平面AEF
分析：本题考查的是立体几何的重点内容：直线与平面 垂直和直线与平面所成的角，考查空间想像能力和推理 论证能力，本题也是一题两法。
（Ⅰ）证明：建立空间直角坐标系（如图5）， 设AD=PD=1，AB=2a （0a >），
则E(a ,0,0)，C(2a ,0,0)，A(0,1,0)，B(2a ,1,0)，P(0,0,1),，F （2
1
,21,
a ）. 得11
(0,
,)22EF =，(2,1,1)PB a =-，(2,0,0)AB a =。 由11
(0,,)(2,0,0)022
EF AB a ?=?=，得EF AB ⊥，即EF AB ⊥，
同理EF PB ⊥，又AB PB B =， 所以，EF ⊥平面PAB 。
（Ⅱ）解：由AB =
，得2a =
2
a =。
得E
，11,)22
F
，C 。 有(2,1,0)AC =-，2
(
1,0)AE =-，11(0,,22EF =。
A
B
C D
M
P
图 6
设平面AEF 的法向量为(,,1)n x y =
由00n EF n AE ??=???=?
?11(,,1)(0,,)022(,,1)(1,0)02
x y x y ??=??????-=?
?
11
0220
y x y ?+=???-=
，解得1y x =-???=?? 于是(2,1,1)n =--。
设AC 与面AEF 所成的角为θ，AC 与n 的夹角为,AC n <>
则sin cos ,AC n AC n AC n
θ
?=<>=
=
=?，
得a r c s i
n θ=。 所以，AC 与平面AEF 所成角的大小为arcsin
说明：用传统的几何方法，在限定的时间内，很难找到AC 与平面AEF 所成的角。而利用平面的法向量解题，可顺利地避开这一切麻烦，只要找到平面的法向量n ，利用向量间的代数运算，可方便简捷地解决此题。
利用法向量也可顺利求解： 如图 6 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯
形，AB//DC ，0
90DAB ∠=，
PA ⊥
底面
ABCD ，
点。
且PA=AD=DC=
1
12
AB =，M 是PB 的中
（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。 解：（略）
说明：本题求二面角的大小，由于不易找到二面角的平面角，无论是用传统的几何方法还用一般的向量方法，都很不易解决，这也是造
成立体几何解答题得分不高的原因之一，如果采用平面的法向量解题，情况就大不相同了，请大家仔细体会。
以上介绍了平面的法向量及其几个引理，以此为工具，解决了立体几何中的部分难题。利用平面法向量解题，方法简便，易于操作，可以避开传统几何中的作图、证明的麻烦，又可弥补空间想像能力的不足，发挥代数运算的长处。深入开发它的解题功能，平面法向量将在数学解题中起到越来越大的作用。
_向量在解析几何中的应用
_向量在解析几何中的应用 向量在解析几何中的应用第一章引言 1.1 研究背景向量（或矢量）,最初被应用于物理学．很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量.大约公元前350年前,古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量,两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到.“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段．最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿.向量在解析几何整个知识体系中占有非常重要的地位,向量是数学中的一个重要概念.它可以使图形量化,使图形间关系代数化.向量是研究图形问题的有力工具. 向量是一个具有几何和代数双重身份的概念,同时向量代数所依附的线性代数是高等数学中一个完整的体系,具有良好的分析方法和完整结构,通过向量的运用对传统问题的分析,可以帮助学生更好地建立代数与几何的联系,也为中学数学向高等数学过渡奠定了一个直观的基础．这方面的案例包括平面几何、立体几何和解析几何． 1.2 本课题的研究内容本课题主要是对向量法在有关平面问题中的应用的进一步探讨.具体从以下几个方面进行探讨：1、向量在建立平面方程中的应用. 2、向量在讨论平面与平面、平面与直线的位置关系中的应用. 3、向量在推导点到平面的距离公式中的应用. 4、向量在推导两平面的夹角公式中的应用. 5、向量在平
面其它方面的应用. 第二章向量法在有关平面问题中的应用 2.1 向量的基础知识 1.向量分解定理定理 1 如果向量,那么向量 与向量共线的充分条件是可以用向量线性表示,或者说是的线性组合, 即,并且系数被,唯一确定. 定理 2 如果向量,不共线,那么向量与向 量,共面的充要条件是可以用向量,线性表示,或者说可以分解成,的 线性组合,即,并且系数, ,被,,唯一确定.这时,叫做平面上向量的基 底. 2.向量平行、垂直的条件及夹角公式设空间中两个非零向量为 和则(1) (2) ∥ (3)即 3.向量乘法运算的有关内容: 设则 (1)数 量积：1) 2) 3) 4) 即 (2)向量积：1) 2)若不平行, 则图 1 3)若∥即 (3)混合积：1) 2)若不共面,则 2.2向量在建立平面方程中的应用 2.2.1 平面的点 法式方程如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法 向量. 法向量的特征：垂直于平面的任一非零向量. 已知平面上一 点和该平面的法向量. 设平面上的任一点则有 = 图 2 平面的点法 式方程为由点法式得到平面的一般是方程其中例1: 一平面过点和 且垂直于平面,求此平面的方程. 解: 平面的法向量设所求平面的 法向量∵在所求平面上∴从而有∵, 图3 ∴即 (1) 又∵所 求平面垂直于平面 , 从而有即即 (2) 由(1)(2)解得：∴∴所 求平面的方程为即另解：∵且∴该平面的法向量为图 4 ∴所 求平面的方程为即从以上两例可以看出,在用向量建立平面方 程时,首先要确定平面的法向量,熟记平面的几种特殊位置的方程,且 需注意两平面的位置特征. 2.2.2平面的参数式方程图5 在空间,
法向量的求法及其空间几何题的解答
状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分：
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C
苏教版数学高二 选修2-1测评3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
学业分层测评 (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、填空题 1．已知a ＝(1,4,3)，b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1，l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则x ＝________，y ＝________. 【解析】 由l 1∥l 2，得13＝4x ＝3 y ，解得x ＝12，y ＝9. 【答案】 12 9 2．设直线l 1的方向向量为a ＝(2，－1,2)，直线l 2的方向向量为b ＝(1,1，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 【解析】 ∵l 1⊥l 2，∴2－1＋2m ＝0，∴m ＝－1 2. 【答案】 －1 2 3．若平面α，β的法向量分别为(－1,2,4)，(x ，－1，－2)，并且α⊥β，则x 的值为________． 【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x －2－8＝0，所以x ＝－10. 【答案】 －10 4．设A 是空间任意一点，n 为空间任一非零向量，则适合条件AM → ·n ＝0的点M 的轨迹是________． 【解析】 AM →·n ＝0称为一个平面的向量表示式，这里考查的是基本概念． 【答案】 过点A 且与向量n 垂直的平面 5．已知直线l 1的方向向量为a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量为b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是________． 【解析】 因为|a |＝6，所以4＋16＋x 2＝36，即x ＝±4，当x ＝4时，a ＝(2,4,4)，由a·b ＝0，得4＋4y ＋8＝0，解得y ＝－3，此时x ＋y ＝4－3＝1；当x ＝－4时，
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
求法向量的练习题
求法向量的作业化考试-----2014-11-28 一、选择题（每小题6分，共24分） 1、m ＝｛8，3，a ｝，n ＝｛2b ,6,5｝，若m ∥n ，则a +b 的值为( ) A.0 B.25 C.2 21 D.8 2、已知()()()2,5,1,2,2,4,1,4,1A B C ---，则向量AB AC u u u r u u u r 与的夹角为（ ） A. 0 30 B.0 45 C.0 60 D.0 90 3、已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则实数λ等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 4.如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =2,AA 1=1,则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为（ ）A. 6 B.552 C.15 D.10 二、解答题（每小题15分，共计75分） 1.如图,已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长AA 1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC 1，平面A 1BC 1，平面ABC 1D 1的法向量。 2如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC ,1CC 上的点， 2CF AB CE ==,1::1:2:4AB AD AA = （1） 求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值； （2） 求平面1A ED 、1A ED F --的法向量。 3.如图，已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是A 1B 1的中点，求平面ABC 1D 1的法向量。 4.已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求平面A 1BC 1、 平面ABCD 的法向量。 A 1 B 1 C 1 D 1 A B C D x y z y x D 1 A 1 D B 1 C 1 C B A F E D 1 C 1 B 1 A 1 D C B A o z y E z D 1 y A C 1 B 1 A 1 B D C
1.法向量
法向量 1.已知(1,0,0),(2,2,3),(5,5,6) A B C,求平面ABC的法向量. 练习1：已知(1,2,3),(3,4,5),(3,6,3) A B C,求平面ABC的法向量. 2.已知(3,1,0),(0,4,33) =-=-,求平面ABC的法向量. AB ACλλ 3.在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC=CD, ∠BCD=90°，∠ADB=30°，E,F分别为AC,AD的中点。分别求出平面BEF与平面ABC的法向量，并判断平面BEF与平面ABC是否垂直.
作业 姓名 1. 已知(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C ,求平面ABC 的法向量. 2. 已知E (0,0,2)，C (2,2,0)，F (0,2,1),求平面ECF 的法向量. 3.已知1AC ＝(0，t, 3－2t )，AB ＝(t,0,0) ,求平面1ABC 的法向量. 4.已知(2,1,0),(0,4,12)AB AC λλ==-,求平面ABC 的法向量.
求法向量快速方法：行列式法 法一：移步看风景，化简才最美。 法二：复制粘贴去两边，十字相乘化最简。 例1．已知(1,2,3),(3,4,5),(3,6,3)A B C ,求平面ABC 的法向量. 书写规范格式： 草稿： 练习：1.已知(1,0,0),(2,2,3),(5,5,6)A B C ,求平面ABC 的法向量. 书写规范格式： 草稿： 2. 已知(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7)A B C ,求平面ABC 的法向量. 书写规范格式： 草稿： 3.已知1A P ＝(x －2, 2，－2x )，1C D ＝(0，－2，－4)，求法向量. 书写规范格式： 草稿： 4.已知1AC ＝(0，t, 3－2t )，AB ＝(t,0,0) ,求平面1ABC 的法向量. 书写规范格式： 草稿： 5.已知11 (3,,0),(,4,33)23 AB AC λλ=-=-,求平面ABC 的法向量. 书写规范格式： 草稿：
向量代数与空间解析几何习题详解
第六章 向量代数与空间解析几何 习 题 6—3 1、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()2 22321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-= z y x 化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程. 2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-222)4( 0 )4(22=+-∴y x 从而所求的轨迹方程为0)4(2 2 =+-y x . 3、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(2 2 2 =-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+= R ，所以球面方程为49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x （4）设所求的球面方程为：02222 22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以???????=-=++=+=08160621008160k h g g l 解之得???? ???=-=-==2210k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x .
整理法向量的快速求法
法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6
§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角
§立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的 班别： _____________ 学号： _____________ 高二理科数学 导学案
中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2， 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v， 直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A．cosθ＝μ·v |μ||v| B．cosθ＝ |μ·v| |μ||υ| C．sinθ＝ μ·v |μ||v| D．sinθ＝ |μ·v| |μ||v|
第3章 3.4～3.5 直线与平面的垂直关系 平面的法向量 Word版含解析
3．4～3.5直线与平面的垂直关系__平面的法向量 [读教材·填要点] 1．射影 (1)过空间任意一点P作平面α的垂线与α相交于点P0，则P0称为点P在平面α内的射影． (2)预先给定平面α，空间任何一个图形的每一个点P在平面α上都有一个射影P0，所有这些P0在平面α上组成一个图形，称为这个空间图形在平面α上的射影．2．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 3．平面的法向量 与平面α垂直的非零向量称为α的法向量． [小问题·大思维] 1．平面的法向量是唯一的吗？若不唯一，平面的法向量之间的关系是怎样的？ 提示：平面的法向量不是唯一的，平面的不同法向量是共线的． 2．若直线l的一个方向向量为(1,1,1)，向量(1，－1,0)及向量(0,1，－1)都与平面α平行，则l与α有怎样的位置关系？ 提示：∵(1,1,1)·(0,1，－1)＝0， (1,1,1)·(1，－1，0)＝0， 而向量(1，－1,0)与向量(0,1，－1)不平行，∴l⊥α. 利用判定定理用向量法证明线面垂直 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
[自主解答] 设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则A (2，0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)． EF ―→＝(－1，－1,1)，AB 1―→＝(0,2，2)，AC ―→ ＝(－2,2,0)． ∴EF ―→·AB 1―→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0， EF ―→·AC ―→＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0， ∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC .又AB 1∩AC ＝A ， ∴EF ⊥平面B 1AC . 利用判定定理，即通过证明向量数量积为0来验证直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直． 1．已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1，AB ＝2AD ，点E 是线段C 1D 1的中点，求证：DE ⊥平面EBC . 证明：建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝1，则AA 1＝1，AB ＝2，则可得D (0,0,0)，E (0,1,1)，B (1,2,0)，C (0,2,0)， DE ―→＝(0,1,1)，EB ―→＝(1,1，－1)， EC ―→ ＝(0,1，－1)， 因为DE ―→·EB ―→＝1－1＝0， DE ―→·EC ―→＝1－1＝0， 所以DE ⊥EB ，DE ⊥EC ， 又EB ∩EC ＝E ，所以DE ⊥平面EBC . 求平面的法向量 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，G ，E ，F 分别为AA 1，AB ，BC 的 中点，试建立适当的空间直角坐标系，求平面GEF 的法向量． [自主解答] 以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐 标系．
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
第06章 向量代数与空间解析几何习题详解知识分享
第06章向量代数与空间解析几何习题详 解
第六章 向量代数与空间解析几何 习 题 6—3 1、已知)3,2,1(A ，)4,1,2(-B ，求线段AB 的垂直平分面的方程. 解：设),,(z y x M 是所求平面上任一点，据题意有|,|||MB MA = ()()()2 22321-+-+-z y x ()()(),412222-+++-= z y x 化简得所求方程26270x y z -+-=.这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程. 2、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xOy 平面等距离，求该动点的轨迹方程. 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 (,,)M x y z C MA z u u u r ∈? = 亦即 z z y x =++-2 22)4( 0)4(22=+-∴y x 从 而所求的轨迹方程为0)4(22=+-y x . 3、 求下列各球面的方程： （1）圆心)3,1,2(-，半径为6=R ； （2）圆心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与；（4）通过原点与 )4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）所求的球面方程为：36)3()1()2(222=-+++-z y x （2）由已知，半径73)2(6222=+-+=R ，所以球面方程为 49222=++z y x （3）由已知，球面的球心坐标12 3 5,1213,3242=-=-=+-==+=c b a ， 球的半径21)35()31()24(2 1 222=++++-= R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
空间平面法向量求法
空间平面法向量求法 一、法向量定义 定义：如果，那么向量叫做平面的法向量。平面的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 二、平面法向量的求法 1、内积法 在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量=（x,y,1）[或=（x,1,z)或=（1，y,z）]， 在平面内任找两个不共线的向量,。由，得·=0且·=0，由此得到关于x,y的 方程组，解此方程组即可得到。 2、 任何一个x,y,z的一次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是x,y,z的一次方程。 Ax+By+Cz+D=0(A,B,C不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量=(A,B,C);若平面与3 个坐标轴的交点为P(a,0,0),P(0,b,0),P(0,0,c),则平面方程为:,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 3、外积法 设,为空间中两个不平行的非零向量，其外积×为一长度等于||||sinθ，（θ为两 者交角，且0<θ<π，而与,, 皆垂直的向量。通常我们采取“右手定则”，也就是右手四指 由的方向转为的方向时，大拇指所指的方向规定为×的方向,×=-×。 设=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2),则×= （注：1、二阶行列式:；2、适合右手定则。） Code public double[] GetTriangleFunction(ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point1, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point2, ESRI.ArcGIS.Geometry.IPoint point3) { try { double a = 0, b = 0,c=0; //方程参数
第八章空间解析几何与向量代数(整理解答)
第八章 空间解析几何与向量代数 一、空间直角坐标系，坐标面，坐标轴，投影坐标 8.3 点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； A. )2,4,1(-Q B. )2,0,1(-Q C. )0,4,1(-Q D. )2,4,0(Q 解：在yoz 面上，坐标x 分量必为零，所以选D. 二、向量，方向角，模，向量运算，数量积，向量积 8.5设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321π θθθ≤≤），则 =++322212cos cos cos θθθ（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3 解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。 8.8 向量)3,1,1(-=a ，)2,1,3(-=b ，则=?b a ( )； A. 0 B. 1 C. 2 D. )2,11 ,5(--- 解：311(1)232a b ?=-?+?-+?=，所以选C 。 8.12 向量}3,0,1{=a ，}2,1,1{-=b ，则=?b a ( )； A. 6 B. 6- C. }1,1,3{- D. }1,1,3{-- 解：1033112 i j k a b i j k ?==+--，所以选C 。 8.16 a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ?=( ). (A) sin ab θ (B) s i n a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ 解：由定义，选D 。 8.21 已知1,a b == a 与b 的夹角为4π，则a b +=( ). (A) (B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2|| ||cos 5θ+=++?=a b a b a b ，所以，+=a b A 。 8.23 设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ).
对法向量的透彻理解与灵活运用
对法向量的透彻理解与灵活运用 一、法向量概念理解 如果表示非零向量n 的有向线段所在的直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作α⊥n ，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 特别提醒：（1）法向量一定是非零向量，平面的法向量是不唯一的； （2）一个平面的所有法向量一定是平行向量； （3）向量n 是平面α的一个法向量，向量m 与平面平行或在平面内，则n m 0=； （4）因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，所以，已知平面内一点和平面的法向量，则这个平面是唯一确定的． 二、法向量求解步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解．一般步骤： （1）设出平面的法向量为(,,)x y z =n ； （2）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标111(,,)a b c =a ，222(,,)a b c =b ； （3）根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组0 =?? =?n a n b ； （4）解方程组，取其中的一个解，即得法向量（通常取其中一个未知数为1或1-）． 三、用法向量可以解决的问题 1．直线与平面成角 直线l 与平面α所成的角为θ，是直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）的余角，故有sin cos θβ== |||| l n l n ． 注意：求出直线l 的方向向量l 与平面α的法向量n 的夹角β（锐角）并不是直线与平面所成角，应取其余角． 2．平面与平面成角 设1n ，2n 分别是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则12
法向量详解
专题：法向量的详解 高中数学法向量的定义：如果向量⊥ a平面α，那么向量a叫做平面α的法向量。但是对于法向量在立体几何中的运用却没有详细介绍，其实灵活运用法向量去求解某些常见的立几问题如“求点到平面的距离”、“求异面直线间的距离”、“求直线与平面所成的角”、“求二面角的大小”、“证明两平面平行或垂直”等是比较简便的，现介绍如下： 一、求点到平面的距离 设A是平面α外一点，AB是α的一条斜 线，交平面α于点B，而是平面α 那么向量在方向上的正射影长就是点A到平面α的距离h， 所以h= ? = ※ 例1：已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的 距离。 解：如图建立空间直角坐标系， ＝（1，1，0），＝（0， 2 1，1）， 1 DA＝ （1，0，1） 设平面DBEF的法向量为n＝（x，y，z）， 则有：
?????=?=?00，即?????=+=+02 1 0z y y x 令2 1 11=-==z y x ，，, 取＝（1，－1，2 1 ），则A 1到平面DBEF 的距离1== h 注：此题A 1在平面DBEF 的射影难以确定，给求解增加难度，若利用（※）式求解，关键是求出平面DBEF 的法向量。法向量的求解有多种，根据线面垂直的判定定理，设n ＝（x ，y ，z ），通过建立方程组求出一组特解。 二、求异面直线间的距离 假设异面直线a 、b ，平移直线a 至a '，且交b 于点A ，那么直线a '和 b 确定平面α，且直线a ∥α，设n 是平面α的法向量，那么n ⊥a ，n ⊥。所以异面直线a 和b 的距离可以转化为求直线a 上任一点到平面α的距离，方法同例1。 结论：12,l l 是两条异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离，则|||| CD n d n ?=。 例2：已知棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，求直线DA 1和AC 间的距离。 解：如图建立空间直角坐标系， 则＝（－1，1，0），1DA ＝（1，0，1） 连接11C A ，则AC C A //11,设平面D C A 11的法向量为
法向量的快速求法
法向量的快速求法 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8-
法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝(112 2y z y z ，－112 2x z x z ，112 2 x y x y ) ，这更便于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 时，a 、b 的纵坐标就不参与运a ＝(1，2求z 时，a 、b 的竖坐标就不参与运
一定满足0 m a m b ??=???=??? 111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面α内的两个不共线向量，求平面 α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照右边“草稿纸上演算过程”. 而在运算的过程中往往会碰到在一个平面中的两个向量的坐标中会有一个坐标轴的数字为0，这时候也可以用下面这种方法来运算。 向量a ＝(x 1，y 1，0 )，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，设平面α的法向量为n ，先由0=?n a ，直接设),,(11n z x y n -=或),,(11n z x y n -=；再通过
空间向量知识点归纳总结(经典)知识讲解
空间向量与立体几何知识点归纳总结 一．知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r 运算律：⑴加法交换律：a b b a ???ρ+=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ????ρ?++=++ ⑶数乘分配律：b a b a ????λλλ+=+)( 运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρ?//。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。 （3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ= <=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中 （4）与a 共线的单位向量为a a ± 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r 与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r 。 （3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>y x AP += <=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r 不共面，那么对空间任一向量p r ，存 在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r 。
立体几何求法向量
一、平面法向量的概念 向量与平面垂直 如果表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。 平面的法向量 如果a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。 一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关 立体几何问题。求解平面法向量的常用方法如下： 1. 方程法： 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，师生容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以。 例如;已知向量、是平面α内的两个不共线的向量，()3,2,1=a ，)1,1,2(-=b ，求平面 α的一个法向量的坐标。 解：设),,(z y x =，则由⊥，⊥得 ???? ?=?=?0 b n a n 即???=-+=++02032z y x z y x 不妨设1=z ，得???=+-=+1233y x y x ， ?? ?? ? -==3735y x 取)1,37,35(-= 2．大学行列式求法向量 111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，1111 112 2 2 22 2 ( ,, )y z x z x y a b y z x z x y ?=- ， 其中行列式 1112212 2 y z y z y z y z =-，法向量取与向量a b ?共线的即可。 用这一方法解答上面的例如，先把平面内的两个向量坐标对齐写???? ?-==) 1,1,2() 3,2,1( 蒙住第一列，把后两列看成一个二阶行列式，计算531)1(2-=?--?就是向量a b ?的x 坐标，蒙住第二列，把前后两列看成一个二阶行列式，计算732)1(1-=?--?，取7-的相反数7作为a b ?的y 坐标，蒙住第三列，把前两列看成一个二阶行列式，计算 32211-=?-?作为z 坐标，所以)3,7,5(--=?b a ，可以取)3,7,5(--=n ，它与前面方
法向量求法及应用方法
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或 (,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得 0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长 度等于θsin ||||→ →b a ，（θ为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,21z z 21x x - ,21z z 21x x ??? ? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，