向高斯学习讲究计算技巧

郑俊选

卡尔·弗里德里奇·高斯（1777－1855）是德国数学家、物理学家和天文学家，他对人类科学发展的影响，可以与阿基米德、牛顿并列。高斯出生在一个贫苦的家庭里，父亲原本不打算让他上学，但高斯很小就表现出在数学方面的才能。他10岁那年，数学教师布特纳要求学生求出1到100这一百个自然数的和。不一会儿，高斯就把算出了准确答案的石板交给了老师。在这之前，老师从未教过学生计算等差数列方面的知识，这就是著名的“高斯问题”。高斯年轻时就在数学方面作出了不少贡献，11岁发现二项式定理，15岁读完牛顿等数学家的著作，掌握了牛顿的微积分理论，18岁进入大学，19岁发现了用圆规和直尺进行正十七边形的作图方法，解决了悬而未决的几何难题，22岁证明了代数学基本定理，即每一代数方程必具有一个复数形式的根。24岁时，他继续证明了算术基本定理，即每个自然数均可表示为素数乘积的形式，而且这种表示方式是唯一的。他在超几何级数、复变函数论、统计数学、椭圆函数论等方面都有重大贡献。面对这一系列成就，他却谦虚地说：“如果其他人也像我那样持续不断地深入钻研真理，他们也会作出我所作的那种发现。”

如果我们今天也来解答那个著名的“高斯问题”：1＋2＋3……＋98＋99＋100＝？我想同学们大概不会采取把一百个自然数连续相加求和的办法吧，因为这个办法既不聪明又容易出错，更谈不上有什么计算技巧了。

求1至100这一百个自然数的和，可以采取头尾两数相加的办法：1＋100、2＋99、3＋98、4＋97……这样能得到50个101，用101×50便能迅速地求出它们的和是5050。当然还有其它的解法，如果我们用凑整百数的办法：1＋99、2＋98、3＋97、4＋96……便能得到49个100，再用100×49的积加上中间的数50与最后的数100，也能求出这一百个自然数的和。

如果我们展开想象的翅膀，可以把这一百个连续的自然数视为一个梯形，它的上底是1，下底是100，高是100。根据求梯形面积的公式：S＝（a＋b）×h÷2，这一百个自然数的和＝（1＋100）×100÷2＝5050。如果我们能找到这个梯形的中位线，即这一百个自然数的中间的一个数，便可以根据梯形的另一个求面积的公式：S＝m×h，这样一步就能求出得数。1至100的中间数应该在50与51之间，它是50.5，这一百个自然数的和＝50.5×100＝5050。啊！这个算法太妙了！假若德国数学家高斯还活在世上的话，他一定会坚起大拇指说：“中国的小学生真棒！”

计算的时候要认真审题，讲究计算技巧，使计算方法既正确又迅速，既合理又灵活。72×35÷36、42×54÷18，这两道题如果按照运算顺序，应该先算乘后算除，而乘或除都需要用竖式来进行计算。通过审题发现，这两道题改变其运算顺序，是不会影响计算结果的。将72×35÷36改为72÷36×35，将42×54÷18改为42×（54÷18），只需两次口算就能迅速地计算出它们的结果：72÷36×35＝2×35＝70，42

×（54÷18）＝42×3＝126。再如125×12÷20，我们可以将原式改写为125×＝125×＝75。这样的例子有很多，只要我们平时重视计算的技能与技巧的培养与训练，我们也会变得越来越聪明的。

（本文作者郑俊选为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事，北京景山学校特级教师。）

3度6度带高斯投影详解.

３度６度带高斯投影选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。海域使用的地图多采用保角投影，因其能保持方位角度的正确。我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，又叫横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。一般应该采用与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统。地图坐标系由大地基准面和地图投影确定，大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的IAG 75地球椭球体建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前GPS定位所得出的结果都属于WGS84坐标系统，WGS84基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心的坐标系。因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。采用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范 GB/T 8314-2001”）：椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky

换带计算专题

2.2.3坐标的换带计算为了限制高斯投影长度变形，将椭球面按一定经度的子午线划分成不同的投影带；或者为了抵偿长度变形，选择某一经度的子午线作为测区的中央子午线。由于中央子午线的经度不同，使得椭球面上统一的大地坐标系，变成了各自独立的平面直角坐标系，就需要将一个投影带的平面直角坐标系，换算成另外一个投影带的平面直角坐标，称为坐标换带。 2.2. 3. 1坐标换带的方法坐标换带有直接换带计算法和间接换带计算法两种。目前采用间接换带计算法，因此下面仅就此方法作一介绍。如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y和中央子午线的经度L。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L然后根据B,L和第二带的中央子午线经度按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标,。由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。虽然这种方法计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，故已成为坐标换带中最基本的方法。 2.2. 3. 2坐标换带的实际应用在生产实践中通常有以下两种情况需要换带计算 ⑴控制网中的已知点位于相邻的两个投影带中。如图5 （图5：坐标换带示意图）中的附合导线，A,B,C,D为已知高级点。A,B 两点位于西带内，具有西带的高斯平面直角坐标值；C,D两点位于东带内，具有东带的高斯平面直角

坐标值。在坐标平差计算时，就必须将它们的坐标系统统一起来，或是将A,B点的西带坐标值换算至东带，或是将C,D点的东带坐标值换算至西带。 ⑵国家控制点的坐标通常是6°带的坐标，而在工程测量中往往需要采用带或1.5°带，这就产生了6°带与带或 1.5°带之间的坐标换算问题。我们知道，带的中央子午线中，有半数与6°带的中央子午线重合。所以，由6°带到3°带的换算区分为2种情况： ① 3°带与6°带的中央子午线重合如图所示，3°带第（图6：坐标换带示意图） 41带与6°第21带的中央子午线重合。既然中央子午线一致，坐标系统也就一致。所以，图中P1点在6°带第21带的坐标，也就是该点在3°带第41带的坐标。在这种情况下，6°带与3°带之间，不存在换带计算问题。 ② 3°带中央子午线与6°带分带子午线不重合如图所示，若已知P2点在6°带第21带的坐标，求它在3°带第42带的坐标。由于这2个投影带的中央子午线不同，坐标系统不一致，必须进行换带计算。不过P2点在6°带第21带的坐标与它在3°第41带的坐标相同，所以6°带到3°带坐标换算，也可看作是3°带到3°带的邻带坐标换算。换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法，他适用于任何情况下的换带计算工作。这种方法的程序是：首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 ),按高斯投影坐标反算公式求得其大地坐标（B,L）;然后根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差,按高斯投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标（x2,y2）。例如，某点A在新54坐标系6°带的平面坐标为

80椭球高斯投影坐标换带计算编程

辽宁工程技术大学大地测量基础综合训练二教学单位测绘与地理科学学院专业测绘工程名称 80椭球高斯投影坐标换带计算编程班级测绘14-1 学号学生姓名指导教师王佩贤

目录一、高斯投影坐标换带的原理 (3) 二、高斯投影坐标换带的目的 (6) 三、坐标换带的意义 (8) 四、程序设计基础 (8) 五、程序界面及源码 (11) 六、程序验证 (15) 七、软件评价 (15) 八、软件使用说明 (16)

一、高斯投影坐标换带的原理 1.1高斯投影基本概念想象有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线(此子午线称为中央子午线或轴子午线)相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面。特点：（1）正形投影（角度不变，a=b:长度比与方向无关）；（2）中央子午线投影为纵坐标轴；（3）中央子午线投影后长度不变。 1.2高斯投影邻带换算

1.定义：将一个带的高斯平面坐标换算为另一带的高斯平面坐标称为高斯坐标的邻带换算 2.内容： 1 ）不同六度带和不同三度带之间的化算 2 ）三度带和六度带之间的化算 3.方法： 1 ）直接法: 利用相邻两带坐标之间关系式进行坐标互换 2 ）间接法：通过大地坐标进行高斯正反算互相换算目前广泛采用间接换带计算法，因此下面就此方法作介绍。如将第一带（东带或西带）的平面坐标换算为第二带（西带或东带）的平面坐标，方法是先根据第一带的平面坐标x,y 和中央子午线的经度L 。按高斯投影坐标反算公式求得大地坐标B,L 然后根据B,L 和第二带的中央子午线经度按高斯投影坐标正算公式求得在第二带中的平面坐标。由于在换带计算中，把椭球面上的大地坐标作为过渡坐标，因而称为间接换带法。这种方法理论上是严密的，精度高，而且通用性强，他适用于6°带与6°带，3°带与3°带，6°带与3°带之间的坐标换带。虽然这种方法计算量较大，但可用电子计算机计算来克服，故已成为坐标换带中最基本的方法。正算公式： 6 4256 4 42234 22)5861(cos sin 720)495(cos 24cos sin 2l t t B B N l t B simB N l B B N X x ''+-''+ ''++-''+''?''+=ρηηρ ρ

高斯投影正反算及换带计算VB程序设计

摘要本设计主要阐述了高斯投影分带以及高斯投影坐标正、反算的推导公式，从而根据公式来编写基于VB语言基础上的换带及坐标转换程序。作者系统介绍了测量中经常使用的坐标系以及地图投影的概念和高斯投影的具体含义，叙述了换带和临带计算的原因以及它们在运算时的原理、过程，详细叙述了在VB语言中实现的原理基础以及代码的编写设计。在设计中根据高斯的正反算公式写出了基于VB语言的程序设计，其程序设计任务完成了由地理坐标向54平面坐标系和80平面坐标系转换的功能，以及由54坐标系和80坐标系向地理坐标系转换的功能，同时也有同一平面坐标系不同投影带之间的换带计算和同一平面坐标系相同投影带临带计算等相互转换的功能。关键词：高斯投影、坐标正反算、换带计算、临带换算、程序设计 5程序设计 5.1界面设计本程序要实现的功能是根据所选择的椭球参数和指定的分带情况，将已知地理坐标或高斯投影坐标经正算和反算求得相应的高斯坐标和地理坐标，以及相应的换带计算和临带计算。因此需要用一个框架控件来组织椭球参数、两个框架分别组织分带选择和换算方式选择，两个框架组织地理坐标和高斯坐标，三个命令按钮分别执行投影计算、换带和临带计算。程

序设计界面如图5-1[9] 图5-1 高斯投影计算程序设计界面命令按钮属性设置表如表5-1 表5-1 命令按钮属性设置表

选择椭球框架内控件的属性值表5-2 表5-2 择椭球框架内控件的属性值单选按钮控件属性设置表5-3 5-3 单选按钮控件属性设置表 5.2程序代码设计在这里主要介绍高斯投影坐标转换的正反算代码设计，完整的代码见附录1所示。 5.2.1投影计算过程的正算子过程代码设计