第1讲样本空间随机事件概率的定义及性质(精)

第1讲样本空间随机事件概率的定义及性质

教学目的：1．使学生理解随机试验，样本空间，随机事件, 频率及概率的概念。

2．使学生掌握并会运用概率的性质。

教学重点：随机事件，概率的概念和性质。

教学难点：概率的概念及性质。

教学时数：2学时。

教学过程：

第一章随机事件及其概率

§1.1 样本空间随机事件

1．随机试验与随机事件

确定性现象：在一定的条件下，必然会出现的某种确定的结果。

随机现象：在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果。

随机现象，从表面上看，由于人们事先不知道会出现哪种结果，似乎不可捉摸。其实不然，人们通过实践观察证明，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性，我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性。

为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学试验和对某一事物的观测统称为试验。如果试验具有下述特点：

（1）试验可在相同条件下重复进行；

（2）每次试验可能结果不止一个，但能确定所有的可能结果；

（3）每次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。

则称这种试验为随机试验，通常用字母E或E1， E2，…表示。例1试验E1: 抛一枚

硬币，分别用“H” 和“T” 表示正面朝上和反面朝上，观察出现的结果，可能是“H” 也可能是“T”。

例2试验E2: 从一批产品中任意取10个样品，观察其中的次品数，可能是0，1，

2， (10)

例3 试验E 3: 记录某段时间内电话交换台接到的呼唤次数，可能是0，1，2，…。 例4 试验E 4: 掷一颗骰子，观察可能出现的点数。

我们把试验的结果中发生的现象称为事件。在每次试验的结果中，如果某事件一定发生, 则称为必然事件；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件。在试验的结果中，可能发生、也可能不发生的事件称为随机事件, 简称事件，通常记作A ，B ，C 等。

例5 在试验E 1中: H —“正面朝上”，T —“反面朝上”，都是随机事件。 例6 在试验E 2中: B —“取出10个样品有1至3个次品” 是随机事件。 例7 在试验E 3中: C —“在该段时间内电话交换台接到的呼唤次数不超过8次” 是随机事件。

例8 在试验E 4中:D —“出现的点数是6”是随机事件。

定义1 设随机事件A 在n 次试验中发生了A n 次，则比值

n

n A 称为随机事件A 的频率，记作()A f n ，即

()n n A f A n = 实践证明：在大量重复试验中，随机事件的频率具有稳定性。

2．样本空间

随机试验的每一个可能的结果称为样本点,记作ω；随机试验的所有样本点组成的集合称为样本空间，记作Ω。

任一随机事件A 都是样本空间Ω的一个子集，称事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。

几个特殊的事件:

基本事件：只包括一个样本点的子集。

必然事件：样本空间Ω 所表示的事件,每次试验必然发生。

不可能事件：不含任何样本点的空集,用Φ 表示。

3．事件的关系及运算

（1）事件的包含

若事件A 发生必导致事件B 发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件A 包含于事件B ，记作

B ?A 或 A ?B

（2）事件的相等

若事件B 包含事件A ，且事件A 包含事件B ，即

B ?A 且 A ?B

则称事件A 与事件B 相等，记作

A=B

（3）事件的并

“两个事件A 与B 至少有一个发生”这一新事件称为事件A 与B 的并，记作

A B

事件的并可以推广到有限个或可列无穷多个事件的情形：

“n 个事件A 1, A 2,…, A n 至少有一个发生” 这一新事件称为这n 个事件的并，记作

n A A A 21

“可列无穷多个事件A 1, A 2,…,A n ，…至少有一个发生” 这一新事件称为这些事件的并，记作 n

i i A 1=。

（4）事件的交

“两个事件A 与B 同时发生”这一新事件称为事件A 与B 的交，记作

A B 或AB

“n 个事件A 1, A 2,…, A n 同时发生” 这一新事件称为这n 个事件的交，记作

n A A A 21或n A A A 21

“可列无穷多个事件A 1, A 2,…,A n ，…同时发生”这一新事件称为这些事件的交，记作 n

i i A 1=。

（5）差事件

“事件A 发生而事件B 不发生” 这一新事件称为事件A 与B 的差事件,记作

A －

B 或B A

（6）互不相容事件（互斥事件）

若事件A 与B 不能同时发生，即

AB ＝Φ

则称事件A 与B 是互不相容的（互斥的）。

以后把互斥的事件A 与B 的并记作

A +B

若n 个事件A 1, A 2,…, A n 中任意两个事件互斥，即

)1(n j i A A j i ≤<≤Φ=

则称这n 个事件互斥。

以后把n 个互斥的事件A 1, A 2,…, A n 的并记作

n A A A +++ 21

（7）对立事件

若两个互斥的事件A 与B 中必有一个事件发生，即

Ω=+Φ=B A AB 且

则称事件A 与B 是对立的，并称事件B 是事件A 的对立事件（或逆事件）；同样，事件A 也是事件B 的对立事件，记作A B =或B A =。

于是有 A A =

Φ=A A

Ω=+A A

若用平面上某个矩形区域表示样本空间Ω，矩形区域内的点表示样本点，则上述事件的关系及运算可以用集合图形直观地表示出来，见图1.1。

图1.1

与集合运算的性质相似，事件的运算具有以下性质：

（1）交换律：A B ＝B A ，AB ＝BA

（2）结合律：(A ∪B)∪C ＝A ∪(B ∪C)，(AB)C ＝A(BC)

（3）分配律：(A ∪B)C ＝(AC)∪(BC)，(AB)∪C ＝(A ∪C)(B ∪C)

（4）德摩根(De Morgan)定律：

§1.2 概率的定义及性质

.,,

k

k k k k k k k A A A A B A AB B A B A ====可推广

1.概率的定义

任意随机事件A 的频率()A f n 具有以下性质：

（1） 非负性： ()0≥A f n

这是因为在n 次试验中随机事件A 发生的次数0≥A n ，所以

()n

n A f A n =0≥ （2） 规范性： ()1=Ωn f

这是因为在n 次试验中事件Ω发生的次数n n =Ω，所以

()n

n A f n Ω=1= （3） 有限可加性： 对于n 个互斥的事件A 1, A 2,…, A n ，有

()∑∑===??? ??n

i i n n i i n A f A f 1

1 定义

2 设随机试验的样本空间为Ω，对于任一随机事件A （Ω?A ），都有确定的实值函数P(A)，满足下列性质：

（1） 非负性：P(A)0≥；

（2） 规范性：P(Ω)1=；

（3）有限可加性：对于n 个互斥的事件A 1, A 2,…, A n ，有

()∑∑===??? ??n

i i n i i A P A P 1

1 更一般地

（'3）可列可加性：对于可列无穷多个互斥的事件A 1, A 2,…，有

()∑∑∞

=∞==??? ??1

1i i i i A P A P 则称P(A)为随机事件A 的概率。

2. 概率的性质

（1）不可能事件的概率等于零，即

P （Φ）=0

证 因为Φ+Ω=Ω，由概率的有限可加性得

)()()(Φ+Ω=ΩP P P

故

P （Φ）=0

（2）对于对立事件A 和A ，有

)(1)(A P A P -=

证 因为Ω=+A A ，故有

()()1)()(=+=+=ΩA P A P A A P P

所以

)(1)(A P A P -=

（3）事件A 包含于事件B ，即B A ?，则

()()B P A P ≤

证 因为B A ?，故有()A B A B -+=，()()A B P A P B P -+=)(

再由0)(≥-A B P ，所以

()()B P A P ≤

（4）对任意随机事件A ，有

()1≤A P

事实上，因为Ω?A ，由性质（3）即得

()()1=Ω≤P A P

（5）对于任意两个随机事件A 与B ，有

P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B ）－P （AB ）

证 因为()B AB AB B A B A ?-+=? ,，故有

P （A ∪B ）＝P （A ）＋P （B-AB ）

=P （A ）＋P （B ）－P （AB ）

上述公式通常称为概率加法公式，概率加法公式可以推广到多个事件的情形。如对于任意三个事件A ，B ，C ，有

P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）+P（C）－P（AB）－P（BC）－P（AC）+P（ABC）例9 已知()()()9.0

B

P

A

P

P 。求：（1）()B A

,6.0

A

,5.0=

=

=B

P。

P；（2）()B A 解（1）由概率加法公式得

()()()()2.0

P

B

P

A

A

AB

P

P

-

5.0=

6.0

=B

+

9.0

=

+

-

因为B

=，所以()()()B A

A+

A

AB

P+

=。由此得

A

P

P

AB

()()()3.0

A

P

P

A

B

P

5.0=

=AB

-

2.0

-

=

（2）因为B

=，所以

A

A

B

()1.0

A

B

P

A

P

B

P

A

=B

=

(

)

1

1

)

(=

-

=

-

9.0