07柯西基本定理

中值定理证明

中值定理 首先我们来瞧瞧几大定理: 1、 介值定理:设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及 f(b)=B,那么对于A 与B 之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

柯西不等式的变形公式的妙用

柯西不等式的变形公式的妙用 柯西不等式晌丝形公式的她用 湖北省襄阳市第一中学王勇龚俊峰441000 柯西不等式具有对称和谐的结构,应用的关键在 于抓住问题的结构特征,找准解题的正确方向,合理 地变形,巧妙地构造.作为新课程的选修内容,柯西不 等式(简记为"方和积不小于积和方")在数学的多个 领域都有着广泛的应用.课堂教学中,笔者与学生共 同探究了柯西不等式的一个变形公式的应用,方便快 捷,妙不可言,达到了化难为易,化繁为简,化陌生为 熟悉的目的. 柯西不等式的变形公式:设a,n,…,a为实 数,b,bz,…,为正数,则等+薏十…+筹≥ b1+62+…+ 等号. , 当且仅当一薏一?一时取 址明:田tⅡJ四个寺瓦,侍 ((22十~t2+…+等)(64.b24.…+) ()+(老)+..?+(老).][c,z +()4-…+()!] ≥(.+老'+...+老.) 一(口l十以2+…+甜). . . .bl,b2,…～b为正数,...bl4"b24-…+>O, .

? . 鲁+譬+…+譬≥. 当且仅当一-...一卿一… 时取等号. 下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法. 1在代数中的妙用 例1设n,b,C均为正数,且不全相等,求证: ++>. 证明:由柯西不等式的变形公式,得 ++一:一 04.b6+f.f+n2(a+6).2(bq-一c) l2 .2(c+a) ,(2+2+2)0 2(n+6)+2(64-c)+2(f+0) 4(a+6+f) 一 —— a4"b4"c' 当且仅当一一,即6 —6+f:f+n,亦即a~b=c时,上述不等式取等号. 因题设a,b,c不全相等,于是9l_+赢9+?) >? ._..I◆ 点评:将十+变形为+

柯西中值定理

§2 柯西中值定理和不等式极限 一柯西中值定理 定理(6.5) 设、满足 (i) 在区间上连续， (ii) 在内可导 (iii) 不同时为零; (iv) 则至少存在一点使得 柯西中值定理的几何意义 曲线由参数方程 给出，除端点外处处有不垂直于轴的切线， 则上存在一点 P处的切线平行于割线.。 注意曲线 AB在点处的切线的斜率为

， 而弦的斜率为 . 受此启发，可以得出柯西中值定理的证明如下： 由于， 类似于拉格朗日中值定理的证明，作一辅助函数 容易验证满足罗尔定理的条件且 根据罗尔定理，至少有一点使得，即

由此得 注2：在柯西中值定理中，取，则公式（3）可写成 这正是拉格朗日中值公式，而在拉格朗日中值定理中令，则 . 这恰恰是罗尔定理. 注3:设在区间I上连续，则在区间I上为常数，. 三、利用拉格朗日中值定理研究函数的某些特性 1、利用其几何意义 要点：由拉格朗日中值定理知：满足定理条件的曲线上任意两点的弦，必与两点间某点的切线平行。 可以用这种几何解释进行思考解题： 例1：设在（a ，b）可导，且在 [a，b] 上严格递增，若，则对一切 有。 证明：记A（），，对任意的x，记C（），作弦线AB，BC，应用拉格 朗日中值定理，使得分别等于AC，BC弦的斜率，但因严格递增，所以

＜，从而 ＜ 注意到，移项即得＜， 2、利用其有限增量公式 要点：借助于不同的辅助函数，可由有限增量公式 进行思考解题： 例2：设上连续，在（a，b）内有二阶导数，试证存在使得 证：上式左端 作辅助函数 则上式 =， =

，其中 3、作为函数的变形 要点：若在[a，b]上连续，（a，b）内可微，则在[a，b]上 （介于与 之间） 此可视为函数的一种变形，它给出了函数与导数的一种关系，我们可以用它来研究函数的性质。 例3 设在上可导，，并设有实数A＞0，使得 ≤在上 成立，试证 证明：在[0，]上连续，故存在] 使得 ==M 于是 M=≤A≤≤ 。 故 M=0，在[0，] 上恒为0。用数学归纳法，可证在一切[]（ i=1,2,…）上恒有 =0, 所以=0, 。

微积分基本定理的证明

理学院 School of Sciences 微积分基本定理的证明 Proof of the fundamental theorem of calculus 学生姓名：张智 学生学号：201001164 所在班级：数学101 所在专业：数学与应用数学 指导老师：杨志林

摘要 微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，自十七世纪以来，微积分不断完善成为一门学科。而微积分基本定理的则是微积分中最重要的定理，它的建立标志着微积分的完成，成为数学发展史的一个里程碑。因此就有了研究微积分基本定理的必要性。本文从十七世纪到二十世纪以来的科学家如巴罗、牛顿、莱布尼兹、柯西、黎曼、勒贝格等人对微积分基本定理的发展所作出的贡献展开论述。并论述了定理在微积分学理论发展中的应用。如换元公式、分部积分公式、Taylor中值定理的积分证明、连续函数的零点定理的证明，建立了微分中值定理与积分中值定理的联系，在一元函数和多元函数上的推广等等。最后给出定理的几个证明方法。 关键词：微积分基本定理，发展史，定理的应用，定理的证明

ABSTRACT Calculus the subject in the position of the development of mathematics is very important,since seventeenth Century,calculus constantly improved as a discipline.While the fundamental theorem of calculus is the most important theorems in calculus,which establishment marks the complete of the calculus, become a milepost of the development history of mathematics. So it is necessary to study the fundamental theorem of calculus. In this paper,since seventeenth Century to twentieth Century,launches the elaboration from scientists such as Barrow, Newton, Leibniz, Cauchy, Riemann, Lebesgue and others on made the contribution to the development of the fundamental theorem of calculus. And discusses the application of theorem in the development of the calculus theory.Such as the transform formula, integral formula of integration by parts, proof of the Taylor mean value theorem of continuous function, the zero point theorem proof, established the differential mean value theorem and the integral mean value theorem in contact,a unary function and multivariate function on the promotion and so on.Finally gave several proofs of the theorem. Keywords:Fundamental Theorem of Calculus,phylogeny,Application,Proof

复变函数的积分 柯西定理

第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z %为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=%L 把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -] 上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑, 其中1k k k z z z -?=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -?=-）趋于零时， 和式()1 n k k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿 路径C 由0z 到z %的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===?∑? ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ?? . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)

2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++?????? ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ????=-++???? ??， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-?%，z %、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±???????，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+???, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接 而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-??, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ??时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()C C f z dz f z dz - =-??蜒 ）。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)

柯西中值定理的证明及应用

柯西中值定理的证明及应用 马玉莲 （西北师范大学数学与信息科学学院，甘肃，兰州，730070） 摘要：本文多角度介绍了柯西中值定理的证明方法和应用, 其中证明方法有: 构造辅助函数利用罗尔定理证明，利用反函数及拉格朗日中值定理证明, 利用闭区间套定理证明, 利用达布定理证明, 利用坐标变换证明. 其应用方面有：求极限、证明不等式、证明等式、证明单调性、证明函数有界、证明一致连续性、研究定点问题、作为函数与导数的关系、推导中值公式. 关键词：柯西中值定理; 证明; 应用

1.引言 微分中值定理是微分学中的重要定理，它包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理，而柯西中值定理较前两者更具有一般性、代表性，其叙述如下： 柯西中值定理：设函数f(x),g(x)满足 (1) 在[,]a b 上都连续; (2) 在(,)a b 内都可导; (3) '()f x 和'()g x 不同时为零; (4) ()()g a g b ≠, 则存在(,)a b ξ∈，使得 ()()() ()()() f f b f a g g b g a ξξ''-=- . （1） 本文从不同思路出发，展现了该定理的多种证明方法及若干应用，以便其更好的被认识、运用. 2.柯西中值定理的证明 2.1构造辅助函数利用罗尔定理证明柯西中值定理 罗尔定理 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 上可导，且 ()()f a f b =则至少存在一点,(,)a b ξ∈ , 使得 因为()0g ξ'≠（若()g ξ'为0则()f ξ'同时为0, 不符条件）故可将（2）式改写为(1)式. 便得所证.

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第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =u r ，(,)n c d =r ，则22||m a b =+u r 22||n c d +r . ∵ m n ac bd ?=+u r r ，且||||cos ,m n m n m n =<>u r r u r r u r r g g g ，则||||||m n m n ≤u r r u r r g g . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 2222||a b c d ac bd +++g 或 2222||||a b c d ac bd +++g 2222a b c d ac bd ++≥+g . ④ 提出定理2：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 222222()()a b c d a c b d ++≥-+- 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈22222211221212()()x y x y x x y y ++≥-+-分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+22222211221212()()x y x y x x y y ++≥-+- 3. 如何利用二维柯西不等式求函数12y x x =--? 要点：利用变式2222||ac bd a b c d +++g . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数31102y x x =-- 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：31102y x x =-- → 推广：,(,,,,,)y bx c e fx a b c d e f R +=+-∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点：2222111111()()[()()][()]22x y x y x y x y x y +=++=++≥…

复变函数的积分柯西定理

第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变 函数积分的基本性质、柯西积分定理. 教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学过程： 一、复变函数的积分的定义 定义3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中 ),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点 B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=

在每个狐段上任取一点k k k ηξ?+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ? （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξ?+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =? C z z f d )())((lim 11 -=→-∑k n k k k z z f ?λ 当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作?- C z z f d )( 当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C ? 定理3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且 ,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C C C ++-= ?? ? （2） 证明： ) )((11 -=-∑k n k k k z z f ? )]())][(,(),([11 1k k n k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ ], ))(,())(,([) )(,())(,(1 1 11 11 1 11 1∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ 由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知 ),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有

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第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ① 提出定理 1：若 a 、 b 、 c 、 d 为实数，则 (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) (ac bd )2 . 证法一：（比较法） (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd ) 2 = .= ( ad bc) 2 0 证法二：（综合法） (a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) a 2c 2 a 2 d 2 b 2c 2 b 2d 2 ( ac bd ) 2 ( ad bc) 2 ( ac bd) 2 . （要点：展开→配方） ur (a,b) ， r ur a 2 b 2 r c 2 d 2 . 证法三：（向量法）设向量 m n (c,d ) ，则 | m | ， | n | ur r ur r ur r ur r ur r ur r ∴.. ∵ m ? n ac bd ，且 mgn | m |g| n |gcos m,n ，则 | mgn | | m |g| n | . 证法四：（函数法）设 f ( x) ( a 2 b 2 ) x 2 2( ac bd ) x c 2 d 2 ，则 f ( x) ( ax c)2 (bx d )2 ≥ 0 恒成立 . ∴ [ 2(ac bd)] 2 4(a 2 b 2 )( c 2 d 2 ) ≤ 0，即 .. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 | ac | | bd | 或 a 2 b 2 g c 2 d 2 ac bd . 2：设 ur ur ur ur | | ur ur ④ 提出定理 , 是两个向量，则 | g || | . 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） ur ur ur , → 讨论：上面时候等号成立？（ 是零向量，或者 共线） ⑤ 练习：已知 a 、 b 、 c 、d 为实数，求证 a 2 b 2 c 2 d 2 (a c)2 (b d) 2 . 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理 3：设 x , y , x , y R ，则 2 2 2 2 2 2 . 1 12 2 x 1 y 1 x 2 y 2 ( x 1 x 2 ) ( y 1 y 2 ) 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若 x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , x 3 , y 3 R ，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结： 二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 3.1 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程 ： (a 2 b 2 )(c 2 d 2 ) ( ac bd) 2 ； x 12 y 1 2 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 )2 3. 如何利用二维柯西不等式求函数 y x 1 2 x 的最大值 ? 要点：利用变式 | ac bd | a 2 b 2 g c 2 d 2 . 二、讲授新课： 1. 教学最大（小）值： ① 出示例 1：求函数 y 3 x 1 10 2x 的最大值？ 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式： y 3x 1 10 2x → 推广： y a bx c d e fx,( a,b,c,d ,e, f R ) ② 练习：已知 3x 2 y 1，求 x 2 y 2 的最小值 . 解答要点：（凑配法） x 2 y 2 1 ( x 2 y 2 )(3 2 22 ) 1 (3 x 2 y) 2 1 . 13 13 13 2. 教学不等式的证明： ① 出示例 2：若 x, y R ， x y 2 ，求证： 1 1 2 . x y 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造） 要点： 1 1 1 ( x y)( 1 1 ) 1 [( x )2 ( y )2 ][( 1 ) 2 (1)2 ] x y 2 x y 2 x y

柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用

（ 2012 届） 本科毕业论文（设计） 题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 学院：教师教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 班级：数学082 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 教务处制

诚信声明 我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日

授权声明 学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日

柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 王莉莉 （嘉兴学院数学与信息工程学院） 摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式. 关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理

高中数学-公式-柯西不等式

第一课时 二维形式的柯西不等式（一） 2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ ① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 证法一：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+. （要点：展开→配方） 证法三：（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =，则2||m a b =+，2||n c d =+ ∵ m n ac bd ?=+，且||||cos ,m n m n m n =<>，则||||||m n m n ≤. ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则 22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立. } ∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ?=-+-++≤0，即….. ③二维形式的柯西不等式的一些变式： 222||c d ac bd +≥+ 或 222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. ④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ） → 讨论：上面时候等号成立（β是零向量，或者,αβ共线） ⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义（构造三角形） 2. 教学三角不等式： ① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈ ? 分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明 → 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 第二课时 二维形式的柯西不等式（二） 教学过程： 22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 3. 如何利用二维柯西不等式求函数y = 要点：利用变式222||ac bd c d ++. 二、讲授新课： % 1. 教学最大（小）值： ① 出示例1：求函数y = 分析：如何变形 → 构造柯西不等式的形式 → 板演 → 变式：y = → 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313 x y x y x y += ++≥+=. 2. 教学不等式的证明： ① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证： 112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式 （注意对比 → 构造）

中值定理证明

中值定理 首先我们来看看几大定理： 1、 介值定理：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在该区间的端点取不同的函数值f(a)=A 及f(b)=B ，那么对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间(a,b)内至少有一点ξ使得f(ξ)=C(a<ξ

柯西不等式常见题型解法例说

上海中学数学2014年第3期 柯西不等式常见题型解法例说315500浙江省奉化中学陈晴应向明 柯西不等式≥：d；≥：研≥f≥]ni．6。1‘是基本 百鬲、百7 而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，不仅形式优美，而且还具有非常重要的应用价值．它原先只在数学竞赛中出现，但在2003年颁布的高中数学课程标准选修系列(4—5)《不等式选讲》里，已经加进了柯西不等式，也就是说它将成为选修学生的日常教学要求．用柯西不等式解决某些不等关系问题时往往比较简捷明了，但求解时灵活性较大，技巧性较强．其中一些常见的问题，其解决策略往往与其呈现方式直接相关．笔者就以其在近几年高考中的常见三维类型进行分类，例析对应的解决策略．三维的柯西不等式(盘；+丑；+口；)(躇+6；+鹾)≥(n。6，+口：6：+a。63)2揭示了任意两组数组即(n。，n。，n。)、(6，，6。，63)的平方和之积与实数积之和的平方的大小关系．应用时要解决的核心问题就是如何通过变换不等式，向柯西不等式“逼近”，构造出不等式所需要的两组数组(乜，，乜。，以。)、(6。，6：，6。)，这也是运用柯西不等式解题的基本策略． 1一次与二次 例1(2013湖南高考)已知口、6、c∈R，盘+26 +3c一6，则n2+462+9c2的最小值为——．解：n+26+3c一6，由柯西不等式得(n2+462 +9c2)(12+12+12)≥(n+26+3c)2， 可知n。+462+9c。≥婺一12，即最小值为12． 例2设．r，y，z∈R，且满足T2+y2+z2—5，则Lr+2y+3z之最大值为——． 解：(．f r+2y+32)2≤(L z’2+y2+z2)(12+22+ 32)一70，．‘．Ir+2y+3z最大值为√而． 例3如啪2∈R且与≯+≮型+竖j翌一1，求T+y+z的最大值、最小值．解：与竽+≮型+半一，，由柯西不等式得 [4z+渺+22]『c孚)2+c警)2+c字，2]≥…孚)惭(害)+z．(字)]2 号25×1≥b+y+z一2)2≥5≥l L r+y+z一2 ≥一5≤z+y+z一2≤5． ．‘．一3≤T+y+z≤7． 故T+y+z之最大值为7，最小值为一3． 评注：这类题型的最大特征就是条件与结论中分别出现了一次式与两次式，而要实现一次与两次不等关系的关键就是根据柯西不等式的形态进行构造，让其中一个数组为常数组，这样问题往往可以奏效． 2整式与分式 2．1两组数组对应的数分别为倒数型 例4(2012福建高考)已知函数厂(T)一m—z一2I，m∈R且，(z+2)≥o的解集为[一1，1]． (1)求m的值； (2)若口，6，c∈R，且丢+去+去一m，求证：n+26+3c≥9． 解：(1)厂(．r+2)一m—f．r}，／(T+2)≥o等价于I T l≤m， 由I T l≤m有解，得m≥O，且其解集为{丁l —m≤z≤m1)， 又，(z+2)≥o的解集为[一1，1]，故m一1． (2)由(1)知丢+去+去一1，又＆，6，c∈R， 由柯西不等式得 Ⅱ+26+3c一(n+26+3c)f丢+去+去)≥F‘去+何‘去+厄’去)2姐 评注：这类题型从结构来讲，两组数组分别是整式类型(口，，n z，n。)与分式类型(署，昙，去)(其中夕，q，，一为常数)，其实属于对勾函数的范畴，运用均值不等式也能完成，但不如柯西不等式简洁、方便．2．2分式中分子的次数高于分母型 例5(2009浙江高考)已知正数T，y，2，z+y 忙1．掘彘+毫+彘≥专． V十Z Z z十Z．r．r十二V0证法1：利用柯西不等式 (惫+矗+南)№他川z+ 2．十r)+(z+2v)]≥(．r+v+z)2．

牛顿-莱布尼茨公式的详细证明

牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?

微积分基本定理说课稿

《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：

柯西积分定理的一个简单证明

柯西积分定理的一个简单证明 摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。 本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。 柯西定理：假设D 是C 的一个开子集，γ是D 中的一个环。假设γ是与零同源的，并且每个E 中的D ω?都是确定的。那么对于每一个D 中解析函数f ： （1）()0f z dz γ=? （2）对于任意与γ无关且属于D 的w ，有11(,)()(2) ()()Ind w f w i z w f z dz γγπ--=-? 证明：考虑D D C ?→的函数g ，且对z w ≠满足(,)(()())/()g w z f z f w z w =--，(,)'()g w w f w =。可知g 是连续的，并且对每个,z w ，(,)g w z 是解析的。给定:h C C →，并且在D 上()(,)h w g w z dz γ=?，在E 上1()()()h w z w f z dz γ-=-?。假设C D E =?，由 于(,)0Ind w γ=，则这两种()h w 的表示在D E ?是相等的。 那么可知h 在D 和E 上都是可导的，所以h 是整函数。由于γ的映射是有限的，并且E 包含了∞的一个邻域，()0h w →时有w →∞。这表明h 是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D ω∈不依赖于γ，(,)g w z dz γ?=0。这样就证明了（2） 。最后设u 是D 中不依赖于γ的定点。将（2）用于函数()()z f z z u →-，计算w u =的情况，便得到（1）。