专题复习：圆与方程与平面向量(教师用)

专题复习――圆与方程

知识点一 圆的方程

1.圆的标准方程:222()()x a y b r -+-= ((,)C a b 为圆心,r 为半径) 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是:222x y r +=

2.圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （042

2>-+F E D ）

其中圆心(,)2

2

D E C -

-

，半径22

42

D E F

r +-=

知识点二 点和圆的位置关系

3.点和圆的位置关系给定点00(,)M x y 及圆C :222

()()x a y b r -+-=

①M 在圆C 内2

2

2

00()()x a y b r ?-+-< ②M 在圆C 上2

2

2

00()()x a y b r ?-+-= ③M 在圆C 外2

2

2

00()()x a y b r ?-+->

知识点三 直线和圆的位置关系

4.设圆C :222()()x a y b r -+-=； 直线:0l Ax By C ++= 22

(0)A B +≠

圆心(,)C a b 到直线l 的距离2

2

||

Aa Bb C d A B

++=

+

教材梳理

求圆的方程的主要方法有两种：一是定义法，二是待定系数法

定义法：是指用定义求出圆心坐标和半径长，从而得到圆的标准方程；

待定系数法：即列出关于,,D E F 的方程组，求,,D E F 而得到圆的一般方程，步骤为：

(1)根据题意，设所求的圆的标准方程为022=++++F Ey Dx y x (2)根据已知条件，建立关于,,D E F 的方程组；

(3)解方程组。求出,,D E F 的值，并把它们代人所设的方程中去，就得到所求圆的一般方程．

知识点四 圆和圆的位置关系

1.(2009重庆) 圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( ) A.2

2

(2)1x y ＋－＝ B .2

2

(2)1x y ＋＋＝ C .2

2

(1)(3)1x y －＋－＝ D .2

2

(3)1x y ＋－＝ 解析：由题意知圆心为(0,2)，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.

2.(2009辽宁)已知圆C 与直线040x y x y －＝及－－＝都相切，圆心在直线0x y ＋＝ 上，则圆C 的方程为 ( )

A.2

2

(1)(1)2x y ＋＋－＝ B.2

2

(1)(1)2x y －＋＋＝ C.2

2

(1)(1)2 x y －＋－＝ D.2

2

(1)(1)2x y ＋＋＋＝

题组一 圆的方程的求法

直线与圆的位置关系判断方法

(1)几何法:由圆心到直线的距离d 和圆r 的半径的大小关系来判断

①d r =时，l 与C 相切；②d r <时，l 与C 相交；③d r >时，l 与C 相离.

(2)代数法:由直线与圆的方程联立成方程组222

()()0

x a y b r A x B y C ?-+-=?

++=?

消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式?来判断 ①相交?0?> ②相切?0?= ③相离?0?<

圆与圆的位置关系判断方法

(1) 几何法：两圆的连心线长为l ，圆1C 的半径1r 与圆2C 的半径2r ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

①当12l r r >+时，圆1C 与圆2C 相离；②当12l r r =+时，圆1C 与圆2C 外切； ③当12l r r <+时，圆1C 与圆2C 相交；④当21l r r =-时，圆1C 与圆2C 内切； ⑤当210l r r ≤<-时，圆1C 与圆2C 内含.

(2)代数法：由两圆的方程联立消元得到关于x （或y ）的一元二次方程, 然后由判别式?来判断

①=0??为外切或内切 ②0?>?为相交 ③0?

解析：由圆心在直线x ＋y ＝0上．不妨设为C (a ，－a )．∴r ＝|a －(－a )|2＝|a －(－a )－4|

2

，

解得a ＝1，r ＝ 2. ∴C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.

3.若圆222(1)20x y a x ay a ＋＋－＋－＝关于直线10x y －＋＝对称，则实数a 的值为________． 解析：依题意知直线x －y ＋1＝0经过圆x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0的

圆心(－a 2－12，－a )，所以－a 2－1

2

＋a ＋1＝0，解得a ＝3或a ＝－1，

当a ＝－1时，方程x 2＋y 2＋(a 2－1)x ＋2ay －a ＝0不能表示圆，所以只能取a ＝3.

题组二

与圆有关的最值问题

4. 若实数x y 、满足2

2

(2)3x y －＋＝，则

y x

的最大值为________.，23x y -的最大值为________.

23x y -的最大值为________.

解析：y x ＝y －0x －0，即连结圆上一点与坐标原点的直线的斜率，因此y

x

的最值即为过原点的直线与圆相切时该

直线的斜率．设y x ＝k ，则kx －y ＝0.由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，

结合图形可得(y x )max ＝3，(y

x )min ＝－ 3.

题组三

与圆有关的轨迹问题

5.点(4,2)P -与圆22

4x y ＋＝上任一点连线的中点轨迹方程是 ( ) A.22(2)(1)1x y －＋＋＝ B.22

(2)(1)4x y －＋＋＝ C.22(4)(2)4x y ＋＋－＝ D.22

(2)(1)1x y ＋＋－＝

解析：设圆上任一点坐标为(x 0，y 0)，则2

0x ＋2

0y ＝4，连线中点坐标为(x ，y )，

则????? 2x ＝x 0＋4，2y ＝y 0－2??????

x 0＝2x －4，y 0＝2y ＋2

，代入20x ＋2

0y ＝4中得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1. 6.从原点O 引圆222

()(3)4x m y m －＋－＝＋的切线y kx ＝，当m 变化时,切点P 的轨迹方程是 ( )

A.22

4(0)x y x ≠＋＝ B.()2

2

34(0)x y x ≠－＋＝ C.()()2

2

135(0)x y x ≠－＋－＝ D.22

5(0)x y x ≠＋＝

解析：圆心为C (m,3)，设点P (x ，y )(x ≠0)，则|OP |2＋|PC |2＝|OC |2，

∴x 2＋y 2＋m 2＋4＝m 2＋32，故所求方程为x 2＋y 2＝5(x ≠0)．

题组四

圆的方程的综合问题

7.已知以点2(,),(,0)C t t R t t

∈≠为圆心的圆与x 轴交于点O A 、，与y 轴交于点O B 、，其中O 为原点． (1)求证: OAB ?的面积为定值；

(2)设直线24y x ＝-＋与圆C 交于点M N 、，若OM ON ＝，求圆C 的方程．

解：(1)证明：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0，由于圆心C (t ，2t )，∴D ＝－2t ，E ＝－4

t

，

令y ＝0得x ＝0或x ＝－D ＝2t ，∴A (2t,0)，令x ＝0得y ＝0或y ＝－E ＝4t ，∴B (0，4

t )，

∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12·|2t |·|4

t

|＝4(定值)．

(2)∵OM ＝ON ，∴O 在MN 的垂直平分线上，而MN 的垂直平分线过圆心C ，

∴k OC ＝1

2，∴2t t ＝12，解得t ＝2或t ＝－2，而当t ＝－2时，直线与圆C 不相交，∴t ＝2，

∴D ＝－4，E ＝－2，∴圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0.

8.(2010青岛)已知圆M 过两点(1,1)(1,1)A B －，－,且圆心M 在20x y ＋－＝上． (1)求圆M 的方程；

(2)设P 是直线3480x y ＋＋＝上的动点，PA PB 、是圆M 的两条切线,A B 、为切点,求四边形P A M B 面积的最小值．

解：(1)设圆M 的方程为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)， 根据题意得：?????

(1－a )2

＋(－1－b )2

＝r 2

(－1－a )2＋(1－b )2＝r

2

a ＋

b －2＝0

解得：a ＝b ＝1，r ＝2，故所求圆M 的方程为：(x －1)2＋(y －1)2＝4. (2)由题知，四边形P AMB 的面积为S ＝S △P AM ＋S △PBM ＝12|AM ||P A |＋1

2|BM ||PB |.

又|AM |＝|BM |＝2，|P A |＝|PB |，所以S ＝2|P A |，而|P A |＝|PM |2－|AM |2＝|PM |2－4， 即S ＝2|PM |2－4. 因此要求S 的最小值，只需求|PM |的最小值即可， 即在直线3x ＋4y ＋8＝0上找一点P ，使得|PM |的值最小， 所以|PM |min ＝

|3×1＋4×1＋8|

32＋42

＝3，所以四边形P AMB 面积的最小值为

S ＝2|PM |2－4＝232－4＝2 5.

专题复习――平面向量

考点一：向量的概念、向量的基本定理

例1、（2007上海）直角坐标系xOy 中，i j

，分别是与x y ，轴正方向同向的单位向量．在直角三角

形ABC 中，若j k i AC j i AB

+=+=3,2，则k 的可能值个数是（ ）

Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4

解：如图，将A 放在坐标原点，则B 点坐标为(2,1)，C 点坐标为(3,k)，所以C 点在直线x=3上，由图知，只可能A 、B 为直角，C 不可能为直角．所以 k 的可能值个数是2，选B

点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。

例2、（2007陕西）如图，平面内有三个向量O A 、OB 、OC ,其中与O A

与OB 的

夹角为120°，O A 与OC 的夹角为30°,且|O A

|＝|OB |＝1，|OC | ＝32，

若OC ＝λO A

+μOB （λ，μ∈R ）,

则λ+μ的值为 .

解：过C 作OA 与OC 的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，OC =32得平行四边形的边长为2和4，=+μλ2+4=6

点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC 用向量OA 与向量OB 作为基底表示出来后，求相应的系数，也考查了平行四边形法则。

考点二：向量的运算

例3、(2008湖北文、理)设a =(1,-2),b =(-3,4),c =(3,2),则(a +2b )·c =（ ） A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11

解：(a +2b )(1,2)2(3,4)(5,6)-+-=-，(a +2b )·c (5,6)(3,2)3=-?=-，选C

点评：本题考查向量与实数的积，注意积的结果还是一个向量，向量的加法运算，结果也是一个向量，还考查了向量的数量积，结果是一个数字。

例4、(2008广东文)已知平面向量),2(),2,1(m b a -==，且a ∥b ，则b a 32+=（ ） A ．（-2，-4） B. （-3，-6） C. （-4，-8） D. （-5，-10）

解：由a ∥b ，得m ＝－4，所以，

b a 32+＝（2，4）＋（－6，－12）＝（－4，－8）

，故选（C ）。 点评：两个向量平行，其实是一个向量是另一个向量的λ倍，也是共线向量，注意运算的公式，容易与向量垂直的坐标运算混淆。

例5、（2008江苏）已知向量a 和b

的夹角为0

120，||1,||3a b == ，则|5|a b -= ．

解：()

2

2

22552510a b

a b

a a

b b -=-=-?+ =22

125110133492???-???-+= ???

，5a b -= 7

点评：向量的模、向量的数量积的运算是经常考查的内容，难度不大，只要细心，运算不要出现错误即可。

考点四：向量与三角函数的综合问题

例6、（2008深圳福田等）已知向量(3sin ,cos ),(cos ,cos )a x x b x x == ,函数()21f x a b =?-

(1)求()f x 的最小正周期; (2)当[

,

]6

2

x π

π

∈时, 若()1,f x =求x 的值．

解：(1) 2

()23sin cos 2cos 1f x x x x =+-3sin 2cos 2x x =+2sin(2)6

x π

=+

.

所以，T ＝π.

(2) 由()1,f x =得1

sin 262

x π?

?

+

= ?

??， ∵[

,]62

x ππ

∈，∴72[

,

]6

2

6

x π

π

π+

∈ ∴526

6

x π

π+

=

∴ 3

x π

=

点评：向量与三角函数的综合问题是当前的一个热点，但通常难度不大，一般就是以向量的坐标形式给出与三角函数有关的条件，并结合简单的向量运算，而考查的主体部分则是三角函数的恒等变换，以及解三角形等知识点. 例7、（2007湖北）将π2cos 3

6x y ??=+

???的图象按向量π24??

=-- ???

，

a 平移，则平移后所得图象的解析式

为（ ） Ａ．π2cos 234x y ??

=+-

???

Ｂ．π2cos 234x y ??

=-

+

???

Ｃ．π2cos 23

12x y ??=-

-

???

Ｄ．π2cos 23

12x y ??

=+

+

???

解： 由向量平移的定义，在平移前、后的图像上任意取一对对应点()'

'

'

,P

x y ，(),P x y ，则

π24??=-- ???

，a ()'''

,

P P x x y y ==

--

'

'

,24

x x y y π

?=+

=+，代入到已知解析式中可得选Ａ

点评：本题主要考察向量与三角函数图像的平移的基本知识，以平移公式切入，为中档题。注意不要将向量与对应点的顺序搞反，或死记硬背以为是先向右平移

4

π

个单位，再向下平移2个单位，误选Ｃ