深圳市宝安区2016届高三第一学期调研考试(理数)

深圳市宝安区2016届高三第一学期调研考试

数学（理科）

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列函数中，不满足．．．：(2)2()f x f x =的是 A ．()||f x x = B ．()||f x x x =-

C ．()1f x x =+

D ．()f x x =-

2．复数Z =

32i

i

-++的共轭复数是 ( ) A ．2i + B ．2i -

C ．1i -+

D ．1i --

3．集合{|lg 0}M x x =>，2{|4}N x x =≤，则M N =

A ． (1,2)

B ． [1,2)

C ． (1,2]

D ． [1,2]

4．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结 果是（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．8

5．已知点A(0,1),B(3,2)，向量(4,3)AC =--

,则向量

BC =

( )

A ．(-7,-4)

B ．(1,2)

C ．(-1,4)

D ．(1,4)

6．双曲线

22

214x y b

-=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于

A ．5

B ．24

C ．3

D ．5 7．已知函数()23

3x f x x +=，数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *+??==∈ ???

.数列{}n a 的通项公式；

A ．2133n a n =

+ B ．2133n a n =- C ．1133n a n =+ D ．2134

n a n =+ 8．下列命题正确的是

A ．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行

B ．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C ．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

D ．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行

9．设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a b

a b =

成立的充要条件是

A ．a b =-

B ．//a b 且方向相同

C ．2a b =

D ．//a b 且||||a b =

10．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法

共有 A ．60种 B ．63种 C ．65种 D ．66种 11．设函数??

?=为无理数

为有理数

x x x D ,0,1)(，则下列结论错误的是

A ．)(x D 的值域为}1,0{

B ．)(x D 是偶函数

C ．)(x

D 不是周期函数 D ．)(x D 不是单调函数

12．已知四边形ABCD 是椭圆2

214

x y +=的内接菱形，则四边形ABCD 的内切圆方程是( ) A ．2

2

15x y +=

B ．222(1)5x y -+=

C ．2245x y +=

D ．22

35

x y += 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.

13．已知递增的等差数列{}n a 满足2

1321,4a a a ==-，则_____n a =

14．函数x x f

6log 21)(-=的定义域为 15．4

)(x a +的展开式中3

x 的系数等于8，

则实数=a _________

16．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出

的尺寸，则这个几何体的体积是

三、解答题:本大题共6小题(其中22、23、24题任选一题)，满分70分. 解答须写出文字说

明、证明过程和演算步骤. 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是a b c ，，，且,,A B C 成等差数列，

（1）若1,a b ==求sin C ；

（2）若a b c ，，成等差数列，试判断ABC ?的形状.

18．（本小题满分12分）

某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，可见部分如下：

试根据图表中的信息解答下列问题：

（1）求全班的学生人数及分数在[70,80)之间的频数；

（2）为快速了解学生的答题情况，老师按分层抽样的方法从位于[70,80)，[80,90)和[90,100]

分数段的试卷中抽取8份进行分析，再从中任选3人进行交流，求交流的学生中成绩位于[70,80)分数段的人数X 的分布列和数学期望． 19．（本小题满分12分）

在平行四边形ABCD 中，6,10,8AB AD BD ===,E 是线段AD 的中点．如图所示，沿直线BD 将BCD ?翻折成BC D '?，使得平面BC D '⊥平面ABD .

（1）求证：C D '⊥平面ABD ；

（2）求直线BD 与平面BEC '所成角的正弦值． 20．（本小题满分12分）

如图，在抛物线2

:4E y x =的焦点为F ，准线l 与x 轴的交点为A ．点C 在抛物线E 上，以C 为圆心OC 为半径作圆，设圆C 与准线l 的交于不同的两点,M N ． （1）若点C 的纵坐标为2，求MN ；

（2）若2

AF

AM AN =?，求圆C 的半径．

21．（本小题满分12分）

设函数()y f x =在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，若在(,)a b 上，()0f x ''<恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凸函数”．已知

432

113()1262

f x x mx x =

--． （Ⅰ）若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，试确定实数m 的值；

（Ⅱ）若当实数m 满足||2m ≤时，函数()f x 在(,)a b 上总为“凸函数”，求b a -的最大值．

22．（本题满分10分）选修4-1几何证明选讲

如图，AB 为圆O 的直径，AC 与圆O 相切于点A ，BC 交

圆O 于点E

（1）若D 为AC 的中点，证明DE 是圆O 的切线； （2

）若OA =,求ACB ∠的大小。

23．（本题满分10分）选修4-4极坐标与参数方程

已知曲线22

:149x y C +=，直线2:(22x t L t y t =+??=-?

为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线L 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与直线L 夹角为0

30的直线交L 于点A ，求PA 的最大值与最小值。

24．（本题满分10分）选修4-5不等式选讲 已知函数()2f x x a x =++-

（1）当3a =-，求不等式()3f x ≥的解集；

（2）若()4f x x ≥-的解集包含[1,2]，求a 的取值范围。

A

B

数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的. CDCBAA ACBDC C

二、填空题：本大题共4小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.

13.21n - 14.(

0 15.2 16.12

三、解答题:本大题共6小题，满分70分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

17. （本小题满分12分）

解:(1)由.

3,2,π

π=

+==++B C A B C B A 得 ………………………2分

.21sin ,233sin 1,sin sin ===A A B b A a 得得由 ………………………4分

.2

6

3

,6

,0π

π

π

ππ

=

-

-

=∴=

∴<

.1sin =∴C

………………………6分

.24,2:)2(222c ac a b c a b ++=+=得由证明

.222ac c a b -+=又 ………………………8分

.,0)(3,

244422222c a c a c ac a ac c a =∴=-++=-+得得

………………………10分

.3

,32,π

π===∴=+=∴B C A C A C A 又

所以△ABC 是等边三角形. ………………………12分

18． 解：(1)由茎叶图可知，分数在[50,60)上的频数为4，频率为0.008×10＝0.08，故全班的学生人数为40.08

＝50.

分数在[70,80)之间的频数等于50－(4＋14＋8＋4)＝20.…………4分 (2)按分层抽样原理，三个分数段抽样数之比等于相应人数之比．

又[70,80]，[80,90]和[90,100]分数段人数之比等于5∶2∶1，由此可得抽出的样本中分数在[70,80]之间的有5人，分数在[80,90]之间的有2人，分数在[90,100]之间的有1人．

从中任取3人，共有C 38＝56种不同的结果． ………………6分 被抽中的成绩位于[70,80]分数段的学生人数X 的所有取值为0,1,2,3. 它们的概率分别是：

P (X ＝0)＝C 3356＝156，P (X ＝1)＝C 15C 2

3

56＝1556

，

P (X ＝2)＝C 25C 1356＝3056＝1528，P (X ＝3)＝C 35

56＝1056＝528

.

∴X 的分布列为

分

∴X 的数学期望为E (X )＝0×156＋1×1556＋2×1528＋3×528＝10556＝15

8.

………………12分 19.（本小题满分12分）

(1)证明 平行四边形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BD ＝8，沿直线BD 将

△BCD 翻折△D C B '，

可知D C '＝CD ＝6，C B '＝BC ＝10，BD ＝8， 即C B '2＝D C '2＋BD 2∴D C '⊥BD .

又∵平面D C B '⊥平面ABD ，平面D C B '∩平面ABD ＝BD ，

D C '?平面BC ′D ，∴D C '⊥平面ABD . ………………5分

(2)解 由(1)知D C '⊥平面ABD ，且CD ⊥BD ， 如图，以D 为原点，建立空间直角坐标系D －xyz . 则D (0,0,0)，A (8,6,0)，B (8,0,0)，C ′(0,0,6)． ∵E 是线段AD 的中点，

∴E (4,3,0)，BD →

＝(－8,0,0)．……………………7分

在平面BEC ′中，BE →＝(－4,3,0)，BC ′→

＝(－8,0,6)， 设平面BEC ′法向量为n

＝(x ，y ，z )，

∴?????=?'=?,

0,0n C B n 即?????

－4x ＋3y ＝0，－8x ＋6z ＝0， 令x ＝3，得y ＝

4，z ＝4，故n

＝(3,4,4)．………………………………9分

设直线BD 与平面BE C '所成角为θ，则

sin θ＝|cos

>||

|||BD n

＝34141.

∴直线BD 与平面BE C '所成角的正弦值为341

41

.………………………12分

20. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）抛物线24y x =的准线l 的方程为1x =-，……………………………………1分 由点C 的纵坐标为2，得点C 的坐标为(1,2)所以点C 到准线l 的距离2d =，

又||CO =．

所以||2MN ===.……………………………………………………4分

（Ⅱ）设200(,)4y C y ，则圆C 的方程为24

222

0000

()()416y y x y y y -+-=+， 即22

200202

y x x y y y -+-=.

由1x =-，得22

0210

2y y y y -++=…………………………………………………………6分

设1(1,)M y -，2(1,)N y -，则：

2

220002

01244(1)2402

12y y y y y y ??=-+=->????=+??…………………………………………………………8分

由2||||||AF AM AN =?，得12||4y y =……………………………………………………10分

所以2

142

y +=

，解得0y =，此时0?>

所以圆心C

的坐标为3(2

或3

(,2

从而233||4CO =

，||CO =，即圆C

分

21.（本小题满分12分）

解：由函数432

113()1262

f x x mx x =

--得，2()3f x x mx ''=--………………2分 (Ⅰ) 若()f x 为区间(1,3)-上的“凸函数”，则有2

()30f x x mx ''=--<在区间(1,3)

-上恒成立，由二次函数的图像，当且仅当

(1)130

(3)9330

f m f m ''-=+-≤??

''=--≤?， 即2

2m m ≤??

≥?

2m ?=． …………………………………………………5分 (Ⅱ)当||2m ≤时，2

()30f x x mx ''=--<恒成立?当||2m ≤时，2

3mx x >-恒成

立．……………………………………………………………………………6分

当0x =时，()30f x ''=-<显然成立。 …………………………………7分

当0x >，3x m x -

<∵m 的最小值是2-．∴3

2x x

-<-． 从而解得01x << …………………………………………………………………9分 当0x <，3x m x -

>∵m 的最大值是2，∴3

2x x

->， 从而解得10x -<<． ………………………………………………………………11分 综上可得11x -<<，从而max ()1(1)2b a -=--= ………………………………12分 22. （本小题满分10分）

(1)证明：连结AE ，∵AB 为圆O 的直径，∴0

90=∠AEB ,即0

90=∠AEC . 在AEC Rt ?中,∵D 为AC 的中点，∴DE=AD.……………2分 连结,,OE OD 易证EDO ADO ???，∴,DEO DAO ∠=∠

又∵AC 与圆O 相切于点A ，,900=∠DAO ∴OE DE DEO ⊥=∠,900,DE 是圆O 的切线。…………………………5分 (2)由切割线定理CB CE AC ?=2

, 又∵,2

1

3AB CE OA =

=CB AB AC ?=∴232,………………………7分 在CAB Rt ?中,032322

2

=-?-AB CB AB CB , 解得,2

3sin ,23=∠=

ACB CB AB ∴.600=∠ACB -------------------------------10分 23.（本小题满分10分）

（1）曲线C 的参数方程为)(sin 3cos 2为参数θθθ

?

??==y x ，.……………2分直线L 的普通方程为

;062=-+y x …………3分

（2）设曲线C 上任意一点P ),sin 3,cos 2(θθP 点到直线L 的距离

5

6

sin 3cos 4-+=

θθd ，…………5分

由题意可得

)3

4tan (|,6)sin(5|552|6sin 3cos 4|5

5

230sin ||0

=-+=

-+==???θθθ满足其中d PA …………8分

从而当1)sin(-=+?θ时，PA 最大，最大值为

5

5

22； 当1)sin(=+?θ时，PA 最小，最小值为.5

5

2…………10分 24.（本小题满分10分）

(1)当3a =-，23)(-+-=x x x f

①当,3时≥x 解得;4≥x ②当,32时<

};41|≥≤x x x 或…………4分

（1）()4f x x ≤-的解集包含[1,2]，即()4f x x ≤-在[1,2]恒成立,从而

,42x x a x -≤-++在[1,2]恒成立,…………6分

解得x a x -≤≤--

22在[1,2]恒成立,…………8分

最后求得a 的取值范围为03≤≤-

a 。…………10分