流体静力学基本方程式
第一节 流体静力学基本方程式
流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。
1-1-1流体的密度
一、密度
单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为：
V m =ρ （1-1）
式中 ρ——流体的密度，kg/m 3； m ——流体的质量，kg ； V ——流体的体积，m 3。
不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力P 和温度T 的函数。液体的密度随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。
流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气体和液体的密度值，可供查用。 二、气体的密度
气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态，从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。
对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为 '
''T V p T
pV =
将密度的定义式代入并整理得
'
''Tp p T ρρ= （1-2）
式中 p ——气体的密度压强，Pa ； V ——气体的体积，m 3； T ——气体的绝对温度，K ； 上标“'”表示手册中指定的条件。
一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。
RT
pM =ρ （1-3a ）
或 0
00004.22Tp p T Tp p T M ρρ== （1-3b ）
式中 p ——气体的绝对压强，kPa 或kN/m 2； M ——气体的摩尔质量，kg/kmol ； T ——气体的绝对温度，K ；
R ——气体常数，8.314kJ/（kmol ·K ）
下标“0”表示标准状态（T 0=273K ，p 0=101.3kPa ）。 三、混合物的密度
化工生产中所遇到的流体往往是含有几个组分的混合物。通常手册中所列的为纯物质的密度，所以混合物的平均密度ρ
m 需通过计算求得。
1．液体混合物 各组分的浓度常用质量分率来表示。若混合前后各组分体积不变，则1kg 混合液的体积等于各组分单独存在时的体积之和。混合液体的平均密度ρ
m 为：
n
wn B wB A wA m x x x ρρρρ+++= 1 （1-4）
式中 ρA 、ρB …ρn ——液体混合物中各纯组分的密度，kg/m 3； x wA 、x wB …x wn ——液体混合物中各组分的质量分率。
2．气体混合物 各组分的浓度常用体积分率来表示。若混合前后各组分的质量不变，则1m 3混合气体的质量等于各组分质量之和，即：
ρm =ρA x VA +ρB x VB +……+ρn x Vn （1-5） 式中 x VA 、x VB …x Vn ——气体混合物中各组分的体积分率。
气体混合物的平均密度ρ
m
也可按式1-3a 计算，此时应以气体混合物的平均摩尔质量
M m 代替式中的气体摩尔质量M 。气体混合物的平均分子量M m 可按下式求算：
M m =M A y A +M B y B +…+M n y n （1-6） 式中 M A 、M B …M n ——为气体混合物中各组分的摩尔质量； y A 、y B …y n ——气体混合物中各组分的摩尔分率。
【例1-1】 已知硫酸与水的密度分别为1830kg/m 3与998kg/m 3，试求含硫酸为60%（质量）的硫酸水溶液的密度为若干。
解：根据式1-4 998
4.018306.01+=m ρ =（3.28+4.01）10-4=7.29×10-4 ρm =1372kg/m 3
【例1-2】 已知干空气的组成为：O 221%、N 278%和Ar1%（均为体积%），试求干空气在压力为9.81×104Pa 及温度为100℃时的密度。
解：首先将摄氏度换算成开尔文 100℃=273+100=373K 再求干空气的平均摩尔质量
M m =32×0.21+28×0.78+39.9×0.01 =28.96
根据式1-3a 气体的平均密度为：
3
k g /m 916.0373
314.896.281081.9=???=m ρ
1-1-2 流体的静压强
一、静压强
流体垂直作用于单位面积上的力，称为压强，或称为静压强。其表达式为
A Fv
p （1-7）
式中 p ——流体的静压强，Pa ；
Fv ——垂直作用于流体表面上的力，N ； A ——作用面的面积，m 2。 二、静压强的单位
在法定单位中，压强的单位是Pa ，称为帕斯卡。但习惯上还采用其它单位，如atm （标准大气压）、某流体柱高度、bar （巴）或kgf/cm 2等，它们之间的换算关系为：
1atm=1.033kgf/cm 2=760mmHg=10.33mH 2O=1.0133bar=1.0133×105Pa 三、静压强的表示方法
压强的大小常以两种不同的基准来表示：一是绝对真空；另一是大气压强。以绝对真空为基准测得的压强称为绝对压强，以大气压强为基准测得的压强称为表压或真空度。表压是因为压强表直接测得的读数按其测量原理往往就是绝对压强与大气压强之差，即
表压=绝对压强—大气压强
真空度是真空表直接测量的读数，其数值表示绝对压强比大气压低多少，即
真空度=大气压强—绝对压强
绝对压强、表压强与真空度之间的关系可用图
1-1表示。 图1-1 绝对压强、表压强和真空度的关系
1-1-3 流体静力学基本方程式
流体静力学基本方程是用于描述静止流体内部，流体在重力和压力作用下的平衡规律。重力可看成不变的，起变化的是压力，所以实际上是描述静止流体内部压力（压强）变化的规律。这一规律的数学表达式称为流体静力学基本方程，可通过下述方法推导而得。
在密度为ρ的静止流体中，任意划出一微元立方体，其边长分别为d x 、d y 、d z ，它们分别与x 、y 、z 轴平行，如图1-2所示。
由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方
体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。
对于z 轴，作用于该立方体上的力有： 图1-2 微元流体的静力平衡
（1）作用于下底面的压力为p d x d y 。
（2）作用于上底面的压力为y x z z p p d d d ??? ?
???+-。 （3）作用于整个立方体的重力为－ρgdxdydz 。 z 轴方向力的平衡式可写成：
p d x d y y x z z p p d d d ??? ????+-－ρg d x d y d z =0 即 0d d d d d d =-??-
z y x pg z y x z
p
上式各项除以d x d y d z ，则z 轴方向力的平衡式可简化为
0=-??-pg z p （1-8a ）
对于x 、y 轴，作用于该立方体的力仅有压力，亦可写出其相应的力的平衡式，简化后得
x 轴 0=??-
x
p
（1-8b ）
y 轴 0=??-y p （1-8c ）
式1-8a 、式1-8b 、式1-8c 称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。
将式1-8a 、1-8b 、1-8c 分别乘以d z 、d x 、d y ，并相加后得
z g z z p y y p x x p d d d d ρ-=??+??+?? （1-8d ）
上式等号的左侧即为压强的全微分d p ，于是 d p+ρg d z =0 （1-8e ） 对于不可压缩流体，ρ=常数，积分上式,得
gz p +ρ
=常数 （1-8f ）
液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图1-3所示，则有
2211gz p
gz p +=+ρ
ρ （1-9a ）
或 p 2=p 1+ρg (z 1－z 2) (1-9b ) 图1-3 静止液体内的压强分布 为讨论方便，对式1-9b 进行适当的变换，即使点1处于容器的液面上，设液面上方的压强为p 0，距液面h 处的点2压强为p ，式1-9b 可改写为
p=p 0+ρgh （1-9c ） 式1-9a 、式1-9b 及式1-9c 称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式1-9c 可见：
（1）当容器液面上方的压强p 0一定时，静止液体内部任一点压强p 的大小与液体本身的密度ρ和该点距液面的深度h 有关。因此，在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压强都相等；
（2）当液面上方的压强p 0有改变时，液体内部各点的压强p 也发生同样大小的改变；
（3）式1-9c 可改写为h g
p p =-ρ0；
上式说明，压强差的大小可以用一定高度的液体柱表示。用液体高度来表示压强或压强差时，式中密度ρ影响其结果，因此必须注明是何种液体。
（4）由式1-8f ，式中gZ 项可以看作为mgz/m ，其中m 为质量。这样，gz 项实质上是单位质量液体所具有的位能。p /ρ相应的就是单位质量液体所具有的静压能。位能和静压能都是势能，式1-8f 表明，静止流体存在着两种形式的势能——位能和静压能，在同一种静止流体中处于不同位置的流体的位能和静压能各不相同，但其总势能则保持不变。若以符号E p /ρ表示单位质量流体的总势能，则式1-8f 可改写为：
p E
p gz ρρ=+=常数
即 E p =p+ρgz
E p 单位与压强单位相同，可理解为一种虚拟的压强，其大小与密度ρ有关。
虽然静力学基本方程是用液体进行推导的，液体的密度可视为常数，而气体密度则随压力而改变。但考虑到气体密度随容器高低变化甚微，一般也可视为常数，故静力学基本方程亦适用于气体。
【例1-3 】 本题附图所示的开口容器内盛有油和水。油层高度h 1=0.7m 、密度ρ1=800kg/m 3，水层高度h 2=0.6m 、密度ρ2=1000kg/m 3。
（1）判断下列两关系是否成立，即 p A =p'A p B =p'B
（2）计算水在玻璃管内的高度h 。
解：（1）判断题给两关系式是否成立 p A =p'A 的关系成立。因A 与A '两点在静止的连通着的同一流体内，并在同一水平面上。所以截面A-A'称为等压面。
p B =p'B 的关系不能成立。因B 及B '两点虽在静止流
体的同一水平面上，但不是连通着的同一种流体，即截面B-B '不是等压面。
（2）计算玻璃管内水的高度h 由上面讨论知，p A =p'A ，而p A =p'A 都可以用流体静力学基本方程式计算，即
p A =p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2 p A '=p a +ρ2gh
于是 p a +ρ1gh 1+ρ2gh 2=p a +ρ2gh
简化上式并将已知值代入，得 800×0.7+1000×0.6=1000h 解得 h =1.16m
例1-3 附图
1-1-4 流体静力学基本方程式的应用
一、压强与压强差的测量
测量压强的仪表很多，现仅介绍以流体静力学基本方程式为依据的测压仪器。这种测压仪器统称为液柱压差计，可用来测量流体的压强或压强差。 1．U 型压差计
U 型压差计结构如图1-4所示，内装有液体作为指示液。指示液必须与被测液体不互溶，不起化学反应，且其密度ρA 大于被测流体的密度ρ。
当测量管道中A 、B 两截面处流体的压强差时，可将U 型管压差计的两端分别与A 及B 两截面测压口相连。由于两截面的压强p 1和p 2不相等，所以在U 形管的两侧便出现指示液液面的高度差R 。因U 形管内的指示液处于静止状态，故位于同一
水平面1、2两点压强相等，即p 1=p 2据流体静力学基本方程可得：
p 1=p A +ρgh 1
p 2=ρB +ρg (h 2－R )+ρA gR
于是 （p A +ρgz A ）－（p B +ρgz B ）=Rg （ρA －ρ）
或 E 1－E 2=Rg （ρA －ρ） （1-10） 式1-10表明，当压差计两端流体相同时，U 形管压差计直接测得的读数R 实际上并不是真正的压差，而是1，2两截面的虚拟压强之差ΔE p 。
只有两测压口处于等高面上，z A =z B （即被测管道水平放置）时，U 形压差计才能直接测得两点的压差。
p A －p B =（ρA －ρ）gR
同样的压差，用U 形压差计测量的读数R 与密度差（ρA －ρ）有关，故应合理选择指示液的密度ρA ，使读数R 在适宜的范围内。 2．斜管压差计
当被测量的流体的压差不大时，U 形压差计
的读数R 必然很小，为了得到精确的读数，可采用如图1-5所示的斜管压差计。此压差计的读数R'与R 的关系为：
R'=R /sin α （1-11） 式中α为倾斜角，其值越小，将R 值放大为R'的倍数愈大。
3．微差压差计
若所测得的压强差很小，为了把读数R 放大，除了在选用指示液时，尽可能地使其密度ρ
A
与被测流体ρ
相接近外，还可采用如图1-6所示的微差压差计。其特
图1-4 U 形压差计
1-5 倾斜液柱压差计
图1-6 微差压差计
点是：
（1）压差计内装有两种密度相接近且不互溶的指示液A 和C ，而指示液C 与被测流体B 亦不互溶。
（2）为了读数方便，U 形管的两侧臂顶端各装有扩大室，俗称“水库”。扩大室内径与U 形管内径之比应大于10。这样，扩大室的截面积比U 形管的截面积大很多，即使U 型管内指示液A 的液面差R 很大，而扩大室内的指示液C 的液面变化仍很微小，可以认为维持等高。于是压强差p 1－p 2便可用下式计算，即
p 1－p 2=（ρA －ρC ）gR （1-12） 注意：上式的（ρA －ρC ）是两种指示液的密度差，不是指示液与被测液体的密度差。 【例1-4】 如本题附图所示，在异径水平管段两截面（1-1'、2-2’）连一倒置U 管压差计，压差计读数R =200mm 。试求两截面间的压强差。
解：因为倒置U 管，所以其指示液应为水。设空气和水的密度分别为ρg 与ρ，根据流体静力学基本原理，截面a-a'为等压面，则
p a =p a '
又由流体静力学基本方程式可得 p a =p 1－ρgM
p a '=p 2－ρg （M －R ）－ρg gR 联立上三式，并整理得 p 1－p 2=（ρ－ρg ）gR 由于ρg 《ρ，上式可简化为 p 1－p 2≈ρgR
所以p 1－p 2≈1000×9.81×0.2=1962Pa
【例1-5】 如本题附图所示，蒸汽锅炉上装置一复式U 形水银测压计，截面2、4间充满水。已知对某基准面而言各点的标高为
z 0=2.1m ， z 2=0.9m ， z 4=2.0m ， z 6=0.7m ， z 7=2.5m 。
试求锅炉内水面上的蒸汽压强。 解：按静力学原理，同一种静止流体的连通器内、同一水平面上的压强相等，故有
p 1=p 2，p 3=p 4，p 5=p 6 对水平面1-2而言，p 2=p 1，即 p 2=p a +ρi g （z 0－z 1） 对水平面3-4而言， p 3=p 4= p 2－ρg （z 4－z 2） 对水平面5-6有
p 6=p 4+ρi g （z 4－z 5） 锅炉蒸汽压强 p =p 6－ρg （z 7－z 6）
p =p a +ρi g （z 0－z 1）+ρi g （z 4－z 5）－ρg （z 4－z 2）－ρg （z 7－z 6）
例1-4附图
例1-5 附图
则蒸汽的表压为
p －p a =ρi g （z 0－z 1+ z 4－z 5）－ρg （z 4－z 2+z 7－z 6） =13600×9.81×(2.1－0.9+2.0－0.7)－1000×9.81× (2.0－0.9+2.5－0.7) =3.05×105Pa=305kPa 二、液面的测量
化工厂中经常需要了解容器里物料的贮存量，或要控制设备里的液面，因此要对液面进行测定。有些液位测定方法，是以静力学基本方程式为依据的。
最原始的液位计是在容器底部器壁及液面上方器壁处各开一个小孔，两孔间用短管、管件及玻璃管相连。玻璃管内液面高度即为容器内的液面高度。这种液面计结构简单，但易于破损，而且不便于远处观测。
如图1-7所示，是一远距离液面计装置。
自管口通入压缩空气（若贮罐5内液体为易燃易爆液体则用压缩氮气），用调节阀1调流量，使其缓慢地鼓泡通过观察瓶后通入贮罐。因通气管内压缩空气流速很小，可以认为贮罐内通气管出口处a 截面，与通气管上U 形压差计上b 截面的压强近似相等，即p a ≈p b 。若p a 与p b 均用表压强表示，根据流体静力学基本方程式得
p a =ρgh p b =ρA gR
所以， R h A ρρ= （1-13）
式中 ρA 、ρ——分别为U 形压差计指示液与容器内液体的密度，kg/m 3； R ——U 形压差计指示液读数，m ； h ——容器内液面离通气管出口的高 度，m 。 三、液封高度的确定
化工生产中经常遇到设备的液封问题。设备内操作条件不同，采用液封的目的也就不同。但其液封的高度都是根据流体静力学本方程确定的。
如图1-8，为了控制乙炔发生炉内的压强不超过规定的数值，炉外装有安全液封。其作
用是当炉内压力超过规定值时，气体就从液封管排出，以确保设备操作的安全。若设备要求压力不超过p 1（表压），按静力学基本方程式，液封管插入液面下的深度h 为
1-7 远距离液面计装置
1－调节阀 2－鼓泡观察器瓶 3－U 管压差计
4－通气管 5－贮罐
图1-8
a －乙炔发生炉
b －液封管
g
p h O H 2
1
ρ=
（1-14）
真空蒸发产生的水蒸汽，往往送入如图1-9所示的混合冷凝器中与冷水直接接触而冷凝。为了维持操作的真空度，冷凝器上方与真空泵相通，不时将器内的不凝气体（空气）抽走。同时为了防止外界空气进入，在气压管出口装有液封。若真空表读数为p ，液封高度为h ，则根据流体静力学基本方程可得：
p h g ρ= （1-15）
图1-9
1―与真空泵相通的不凝性气体出口 2―冷水进口 3―水蒸气进口 4―气压管 5―液封槽
流体静力学基本方程
三、流体静力学基本方程式 1、方程的推导 设：敞口容器内盛有密度为ρ的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积 均为Am 2。 作用在上、下端面上并指向此两端面的压力 分别为 P 1和 P 2 。 该液柱在垂直方向上受到的作用力有: （1）作用在液柱上端面上的总压力P 1 P 1= p 1 A (N) ↓ （2）作用在液柱下端面上的总压力 P 2 P 2= p 2 A (N) ↑ （3）作用于整个液柱的重力G G =ρgA(Z 1-Z 2) (N) ↓ 由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ： p 1 A+ ρgA(Z 1 -Z 2) -–p 2 A = 0 令： h= (Z 1 -Z 2) 整理得： p 2 = p 1 + ρgh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为 p 0 ； 则： p 0 = p 1 + ρgh 上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。 即：静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。 2、静力学基本方程的讨论: （1）在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。 （2）在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。 （3）当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。
（4） g h p p ρ+=12 或g p p h ρ12-= 压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。 （5）整理得：g g z p g z 2 21 1ρρ+=+ 也为静力学基本方程 （6）方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变化不大的情况。 3、静力学基本方程的应用 (1) 测量流体的压差或压力 ① U 管压差计 U 管压差计的结构如图。 对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起 化学作用，且其密度指ρ应大于被测流体的密度ρ。 通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。 测压差：设流体作用在两支管口的压力为1p 和2p ，且1p ＞2p ， A-B 截面为等压面 即：B A p p = 根据流体静力学基本方程式分别对U 管左侧和U 管右侧进行计算, 整理得： ()Rg p p ρρ-=-指21 讨论：（a ）压差（21p p -）只与指示液的读数R 及指示液同被测流体的密度差有关。（b ）若压差△p 一定时，（21p p -）越小，读数R 越大，误差较小。 （c ）若被测流体为气体， 气体的密度比液体的密度小得多，即()指指ρρρ≈-， 上式可简化为： Rg p p 指ρ=-21
流体静力学基本方程式
第一节流体静力学基本方程式 流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律 应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。 1-1-1流体的密度 一、密度 单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为： m(1-1) V 式中p -------------------流体的密度，kg/m3; m ---- 流体的质量，kg; V——流体的体积，m3。 不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力P和温度T的函数。液体的密度 随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。 流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气 体和液体的密度值，可供查用。 二、气体的密度 气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态， 从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算 为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。 对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为 pV p'V' T T' 将密度的定义式代入并整理得 '112 (1-2) 式中p——气体的密度压强，Pa; V ----- 气体的体积，m3; T——气体的绝对温度，K; 上标“’”表示手册中指定的条件。 一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。 pM (1-3a) RT 或M T o p T°p 22.4 Tp00Tp o
流体静力学基本方程
图卜2流体静力学皐木方程式的推导 (3) 作用于整个液柱的重力 G G = JgA(Z i -Z 2)(N) 0 由于液柱处于静止状态，在垂直方向上的三个作用力的合力为零，即 ： p i A+ ：?gA(Z i -Z 2) - — p 2 A = 0 令：h= (Z i -Z 2) 整理得： p 2 = p i +「gh 若将液柱上端取在液面，并设液面上方的压强为 p o ； 则:p 0 = p i + ：'gh 上式均称为流体静力学基本方程式，它表明了静止流体内部压力变化的规律。 即:静止流体内部某一点的压强等于作用在其上方的压强加上液柱的重力压强。 2、 静力学基本方程的讨论： (1) 在静止的液体中，液体任一点的压力与液体密度和其深度有关。 (2) 在静止的、连续的同一液体内，处于同一水平面上各点的压力均相等。 (3) 当液体上方的压力有变化时，液体内部各点的压力也发生同样大小的变化。 三、流体静力学基本方程式 1、 方程的推导 设：敞口容器内盛有密度为 二的静止流体，取任意一个垂直流体液柱，上下底面积 2 均为Am 。 作用在上、下端面上并指向此两端面的压力 分别为P 1和P 2。 该液柱在垂直方向上受到的作用力有 ： (1) 作用在液柱上端面上的总压力 P i P i = p i A (N) 也 (2) 作用在液柱下端面上的总压力 P 2 P = p A (N)
压强差的也大小可利用一定高度的液体柱来表示。 p P (5) 整理得：z 1g 1二z 2g 也为静力学基本方程 P g (6) 方程是以不可压缩流体推导出来的，对于可压缩性的气体，只适用于压强变 化不大的情况。 3、静力学基本方程的应用 (1)测量流体的压差或压力 ①U 管压差计 U 管压差计的结构如图。 对指示液的要求：指示液要与被测流体不互溶，不起 A 化学作用，且其密度：7指应大于被测流体的密度：、。 通常采用的指示液有：水、油、四氯化碳或汞等。 I 测压差：设流体作用在两支管口的压力为 p 1和 P 2，且P i > P 2 , A-B 截面为等压面 即：P A 二P B 根据流体静力学基本方程式分别对 U 管左侧和U 管右侧进行计算 整理得： P i - P 2 =：〔'指一'Rg 讨论： (a )压差(p i -P 2)只与指示液的读数 R 及指示液冋被测流体的密度差有 关。(b )若压差△ P 一定时，(P i - P 2 )越小，读数 R 越大，误差较小。 (C )若被测流体为气体， 气体的密度比液体的密度小得多，即 「指■ ! 打旨， 上式可简化为： P r _p 2二指 Rg (d )若订〈'时采用倒U 形管压差计。 口 - p 2 ： 尸指Rg (4) P 2 = P i h-g P 2 — Pl
流体静力学基本方程
流体静力学基本方程 一、静止液体中的压强分布规律 重力作用下静止流体质量力：X=Y=0，Z=-g 代入 Zdz)Ydy (Xdx dp ++=ρ (压强p 的全微分方程) 得：dp ＝ρ（-g ）dz ＝-γdz 积分得： p=-γz +c 即： 常数=+γp z 流体静力学基本方程 对1、2两点： γγ2211p z p z +=+ 结论： 1）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强随深度按线性规律增加。 2）自由表面下深度h 相等的各点压强均相等——只有重力作用下的同一连续连通的静止流体的等压面是水平面。 3）推广：已知某点的压强和两点间的深度差，即可求另外一点的压强值。 p 2=p 1+γΔh 4）仅在重力作用下，静止流体中某一点的静水压强等于表面压强加上流体的容重与该点淹没深度的乘积。 观看录像: 水静力学 观看动画: 静水力学基本方程演示 >> 二、静止液体中的压强计算 自由液面处某点坐标为z 0，压强为p 0；液体中任意点的坐标为z ， 压强为p ，则： γγ0 0p z p z +=+ ∴坐标为z 的任意点的压强 ：p ＝p 0＋γ（z 0－z ） 或 p ＝p 0＋γh
三、静止液体中的等压面 静止液体中质量力――重力，等压面垂直于质量力， ∴静止液体中的等压面必为水平面 算一算： 1. 如图所示的密闭容器中，液面压强p 0＝9.8kPa ，A 点压强为49kPa ， 则B 点压强为39.2kPa ,在液面下的深度为3m 。 四、绝对压强、相对压强和真空度的概念 1.绝对压强（absolute pressure ）：是以绝对真空状态下的压强（绝 对零压强）为起点基准计量的压强。 一般 p ＝p a +γh 2. 相对压强（relative pressure ）：又称“表压强”，是以当时当地大气压强为起点而计算的压强。可“＋”可“– ”，也可为“0”。 p '＝p-p a 3.真空度（Vacuum ）：指某点绝对压强小于一个大气压p a 时，其小于大气压强p a 的数值。 真空度p v ＝p a －p 注意：计算时若无特殊说明，均采用相对压强计算。 问题：流体能否达到绝对真空状态？若不能，则最大真空度为多少？ 不能，最大真空度等于大气压强与汽化压强的差值。 问题：露天水池水深5m 处的相对压强为：49kPa A. 5kPa ； B. 49kPa ； C. 147kPa ； D. 205kPa 。 例1 求淡水自由表面下2m 深处的绝对压强和相对压强。 解： 绝对压强： p ＝p 0＋ρgh ＝p a ＋ρgh ＝101325 N/m 2＋9800×2 N/m 2 绝对压强基准 绝对真空p ＝0 相对压强基准 大气压强p a 压强 p 1 p ' p 2 p v p a p
p a
流体静力学基本方程式
流体静力学基本方程式 流体静力学基本方程式 现讨论流体在重力和庄力作用下的平衡规律，这时流体处 于相对静止状态。由于重力就是地心吸力，可以看作是不变的，起变化的是压力。所以实质上是讨论静止流体内部压力（压强）变化的规律。描述这一规律的数学表达式，称为流体静力学基本方程式。此方程式可通过下面的方法推导而得。 在具有密度为ρ的静止流体中，取一微元立方体，其边长分别为dx、dy、dz，它们并分别与x、y、z轴平行，如图1-2所示。图1-2 微元流体的静力平衡 由于流体处于静止状态，因此所有作用于该立方体上的力在坐标轴上的投影之代数和应等于零。 对于z轴，作用于该立方体上的力有： （1）作用于下底面的压力为pdxdy。 （2）作用于上底面的压力为
（3）作用于整个立方体的重力为-ρgdxdydz。 z轴方向力的平衡式可写成： 即 上式各项除以dxdydz，则z轴方向力的平衡式可简化为：（1-7a） 对于x、y轴，作用于该立方体的力仅有压力，也可写 出其相应的力的平衡式，简化后得：x轴（1-7b）y轴（1-7c） 式1-7a、1-7b、1-7c称为流体平衡微分方程式，积分该微分方程组，可得到流体静力学基本方程式。 将式1-7a、1-7b、1-7c分别乘以z、dx、dy，并相加后
得：（1-7d） 上式等号的左侧即为压强的全微分dp，于是：（1-7e） 对于不可压缩流体，ρ=常数，积分上式，得：（1-7f） 液体可视为不可压缩的流体，在静止液体中取任意两点，如图1-3所示，则有：（1-8） 或（1-8a） 为讨论方便，对式1-8a进行适当的变换，即使点1处于容器的液面上，设液面上方的压强为p0，距液面h处的点2压强为p，式1-8a可改写为：（1-8b） 式1-8、1-8a、及1-8b称为流体静力学基本方程式，说明在重力场作用下，静止液体内部压强的变化规律。由式
流体静力学基本方程式
第一节 流体静力学基本方程式 流体静力学是研究流体在外力作用下达到平衡的规律。在工程实际中，流体的平衡规律应用很广，如流体在设备或管道内压强的变化与测量、液体在贮罐内液位的测量、设备的液封等均以这一规律为依据。 1-1-1流体的密度 一、密度 单位体积流体所具有的质量，称为流体的密度，其表达式为： V m =ρ （1-1） 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3； m ——流体的质量，kg ； V ——流体的体积，m 3。 不同的流体密度不同。对于一定的流体，密度是压力P 和温度T 的函数。液体的密度随压力和温度变化很小，在研究流体的流动时，若压力和温度变化不大，可以认为液体的密度为常数。密度为常数的流体称为不可压缩流体。 流体的密度一般可在物理化学手册或有关资料中查得，本教材附录中也列出某些常见气体和液体的密度值，可供查用。 二、气体的密度 气体是可压缩的流体，其密度随压强和温度而变化。因此气体的密度必须标明其状态，从手册中查得的气体密度往往是某一指定条件下的数值，这就涉及到如何将查得的密度换算为操作条件下的密度。但是在压强和温度变化很小的情况下，也可以将气体当作不可压缩流体来处理。 对于一定质量的理想气体，其体积、压强和温度之间的变化关系为 ' ''T V p T pV = 将密度的定义式代入并整理得 ' ''Tp p T ρρ= （1-2） 式中 p ——气体的密度压强，Pa ； V ——气体的体积，m 3； T ——气体的绝对温度，K ； 上标“'”表示手册中指定的条件。 一般当压强不太高，温度不太低时，可近似按下式来计算密度。 RT pM =ρ （1-3a ） 或 0 00004.22Tp p T Tp p T M ρρ== （1-3b ）
第一章 1[1].1流体流动静力学基本方程分析
第一章流体流动 1-0 概述 一学习本章的意义： 1．流体存在的广泛性。在化工厂中，管道和设备中绝大多数物质都是流体（包括气体、液体或气液混合物）。只是到最后，有些产品才是固体。 2 ．通过研究流体流动规律，可以正确设计管路和合理选择泵、压缩机、风机等流体输送设备，并且计算其所需的功率。 3 ．流体流动是化工原理各种单元操作的基础，对强化传热、传质具有重要的实践意义。因为热量传递，质量传递，以及化学反应都在流动状态下进行，与流体流动密切相关。 所以大家要认真学习这一章，充分打好基础。 二流体流动的研究范畴 1 流体定义：具有流动性的液体和气体统称为流体。 2 连续性介质假定：流体是由大量的单个分子组成，而每个分子之间彼此有一定的间隙，它们将随时都在作无规则随机的运动。所以，若把流体分子作为研究对象，则流体将是一种不连续介质，这将使研究非常困难。好在在化工生产过程中，我们对流体流动规律的研究感兴趣的并非是单个分子的微观运动，而是流体宏观的机械运动。所以我们不取单个分子作为考察对象，而取比分子平均自
由程大得多，比设备尺寸小得多的这样一个流体质点作为最小考察对象，质点是由大量分子组成的微团，它可以代表流体的性质。流体可以看成是由大量微团组成的，质点间无空隙，而是充满所占空间的连续介质，从而可以使用连续函数的数学工具对流体的性质加以描述。 提高：连续性介质假定 如图1所示，考虑一个微元体积内流体平均密度的变化情况：取包含P（x，y，z）点在内的微元体积⊿V，其中包含流体的质量为⊿m，则微元流体的平均密度为⊿m/⊿V，微元流体的平均密度随体积的变化如图2所示。当微元体积⊿V从非常小逐渐增大，趋向一个特定的微元体积V时，流体的平均密度逐渐趋向一个极限值，且不再随微元体积的继续增大而发生变化。当微元体积⊿V比δV小时，这时微元体积内所包含的流体分子数目是那样少，以致流体分子由于其无规则的热运动，进入或离开微元体积的流体分子数目已足以引起该微元体积内流体平均密度的随机波动。只有当微元体积大于δV后，其中
流体力学【依据伯努利方程的应用】
工程流体力学 综合报告 学院：机械工程学院专业：机械工程 班级： 学号： 学生姓名： 任课老师： 提交日期：2017年12月27 日
关于伯努利方程的应用 摘要 “伯努利原理“是著名的瑞士科学家丹尼尔·伯努利在1726年提出的。这是在流体力学的连续介质理论方程建立之前，水力学所采用的基本原理，其实质是流体的机械能守恒。理想正压流体在有势彻体力作用下作定常运动时，运动方程（即欧拉方程）沿流线积分而得到的表达运动流体机械能守恒的方程。即：动能+重力势能+压力势能=常数。其最为著名的推论为：等高流动时，流速大，压力就小。伯努利方程对于确定流体内部各处的压力和流速有很大意义，在水利、造船、航空等部门有着广泛的应用。 关键词：伯努利方程公式及原理应用流体力学 1 伯努利方程 伯努利原理往往被表述为p+1/2ρv2+ρgh=C，这个式子被称为伯努利方程。式中p为流体中某点的压强，v为流体该点的流速，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为该点所在高度，C是一个常量。它也可以被表述为p1+1/2ρv12+ρgh1=p2+1/2ρv22+ρgh2。 需要注意的是，由于伯努利方程是由机械能守恒推导出的，所以它仅适用于粘度可以忽略、不可被压缩的理想流体 1.1 流线上的伯努利方程 流线上的伯努利方程：
适于理想流体（不存在摩擦阻力）。式中各项分别表示单位流体的动能、位能、静压能之差。如果流动速度为0，则由伯努利方程可得平衡流体的流体静力学基本公式（C g p z =+ρ ）。 1.2 总流的伯努利方程 总流是无数元流的总和，将元流伯努利方程沿总流过流断面积分，即可推导出总流的伯努利方程，也即总流能量方程。 动能修正系数α为实际动能与按平均速度计算的动能的比值，α值反映了断面速度分布的不均匀程度。由于气体的动力黏度值较小，过流断面速度梯度小，实际的气流运动的速度分布比较均匀，接近于断面平均流速。所以，气体运动中的动能修正系数常常取1.0。管中水流多数也属于这种情况，此时总流与流线上的伯努利方程形式上无区别。 g V g p z g V g p z 222222221111αραρ++=++g V g p z g V g p z C g v g p z 222222221112++=++=++ρρρ
流体力学-03-2 静力学方程的基本应用
静力学基本方程的应用
静力学基本方程的应用 流体静力学是流体力学的一个分支，研究 是流体力学的一个分支研究相对静止流体(液体或气体)的压力、密度、温度分布以及流体对器壁或物体的作用力。 ①静止流体； ②质量力只有重力； ③z轴垂直地面。
?压强的定义 (-)( 工程上的测压表相应地分为两类： 用于被测系统压强高于外界大气压强的称为用于被测系统压强低于外界大气压的称为
(1) 液柱压力计(压差计)： (1) U型管压力计（压差计） (a) 普通U 型管压差计；(b) 倒U 型管压差计 (c) 倾斜U 型管压差计；(d) 微差压差计
种(倾 例1.用3种压差计普通U型管压差计、倾斜U型管压差计和微压差计)测量气体的微小压差Δp=100Pa，试问： ①用普通U型管压差计，以苯为指示液，其读数R为多少？ 用倾斜U型管压差计，α30，以苯为指示液，读数R为②=30°，以苯为指示液，读数R` 多少？ 若用微压差计，其中加入苯和水两种指示液，扩大室截面③若用微压差计其中加入苯和水两种指示液扩大室截面积远远大于U型管截面积，此时读数R``为多少？R``是用苯为指示液的普通U型管压差计读数的多少倍？ =879kg/m3，水的密度ρa=998kg/m3 已知苯的密度为ρ b
已知： ①气体的微小压差Δp=100Pa； ②3种压差计 ?U型管压差计：指示剂——苯 普通型管压差计指示剂 ?倾斜U型管压差计：指示剂——苯，α=30° ?微压差计：指示剂——苯和水 ③指示剂密度： ?水——ρa=998kg/m3 =879kg/m3 ?苯——ρ 求： ?3种压差计的读数：R 、R` 和R``？ ?:``=? R R?